А. Н. Тихонов, А. А. Самарский о разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами 1

^{Доклады Академии наук СССР 1956. Том 108, № 3}

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
О разностных схемах для уравнений

с разрывными коэффициентами

1. Различные конечноразностные схемы, пригодные для решения определенного типа дифференциальных уравнений, могут различаться как по порядку точности, так и в смысле применимости в зависимости от класса коэффициентов этих уравнений. Автоматизация вычислений, свя­занная с использованием машин, ставит вопрос о выборе «наилучших» разностных схем, обладающих как максимальной точностью, так и при­менимостью в возможно более широком классе коэффициентов. Так, на­пример, желательно, чтобы одна и та же разностная схема позволяла решать задачи для дифференциальных уравнений как в случае непре­рывных, так и в случае разрывных коэффициентов, без явного выделе­ния точек разрыва.

Рассмотрим ряд относящихся сюда вопросов на примере следующей краевой задачи:

(1)

в классе кусочно-непрерывных коэффициентов .

2. Будем рассматривать трехточечную разностную схему

(2)

где являются функциями величин а h - шаг равномерной сетки.

Будем обозначать: - класс функций, имеющих p непрерывных производных в интервале ; - класс функций, кусочно-непрерывных и имеющих кусочно-непрерывные производные до p-го порядка в интервале . Будем считать, что .

Определение 1. Разностную схему будем называть однородной, если

,,. Иными словами, для однородной схемы вычисление коэффициентов происходит во всех точках по единому закону.

Определение 2. Трехточечную однородную разностную схему бу­дем называть линейной, если функции линейны относительно своих аргументов, т. е

(3)

где - постоянные числа.

В этой заметке мы ограничимся изучением только линейных одно­родных схем.

Определение 3. Пусть - некоторый дифференциальный опера­тор m -го порядка, а - некоторый разностный оператор, определен­ный для всякого значения h. Будем говорить, что разностный опе­ратор имеет в точке локальный порядок точности, равный n, если разность , где - произвольная функция, имеющая (m+n)-ю непрерывную производную.

Определение 4. Разностная схема для дифференциального оператора (1) имеет порядок n, если для всякой функции из класса соответствующий разностный оператор имеет n-й локальный порядок точности.

Определение 5. Разностная схема называется безавостной, если краевая задача для нее разрешима при любом заданном шаге h, любых значениях коэффициентов и любой правой части уравнения.

Если разностная схема не удовлетворяет такому условию, то при ма­шинном счете для этого значения h и этих коэффициентов и правой части будет иметь место аварийный останов машины («авост»). Так как наличие машинного авоста, вызванное неудачным выбором шага h, не означает неразрешимости краевой задачи для дифференциального уравнения, то такой авост естественно назвать схемным авостом.

3. Рассмотрим схему (2) для и потребуем, чтобы она имела первый порядок точности:

(4)

Разлагая в окрестности , получим

(5)

Сравнение с (4) дает
(6)
Отсюда следует, что
(7)

Для линейных схем отсюда также получаем
, (8)

(9)

4. Пусть - точка разрыва функции из класса и . Решение уравнения (1) удовлетворяет при условиям сопряжения

.

Разлагая и в окрестности точки , получим:

, (10)

(11)

Если в окрестности точки при , где >0 - любое число, не содержится других точек разрыва и дифференцируема, то для схемы 1-го порядка точности разность удовлетворяет уравнениям

(12)

5. Лемма. Пусть - некоторая фиксированная точка интервала и удовлетворяет условиям (12) для любого шага h, причем . Для сходимости любой последовательности решений разностного уравнения к решению дифференциального уравнения (1) в некотором интервале необходимо выполнение условия

(13)

где при быстрее, чем первая степень h.

Полагая в условии (13) и пользуясь для формулой (11), получаем необходимое -условие сходимости раз­ностной схемы в точке разрыва:

()

6. Для линейных схем 1-го порядка из -условия получаем 4 урав­нения для , решая которые совместно с уравне­ниями (9), приходим к следующим 4 семействам схем:

I.

II.

III.

IV.
7. Условие безавостности, предъявляемое нами к разностным схемам, означает, что и при любых значениях . В самом деле, рассмотрим краевую задачу и предположим, что n - наибольший номер, при котором . Если для , то можно написать:



Полагая для , а , получим , т. е. разностная краевая задача неразрешима. Если при m>n, то аналогичное рассуждение также приводит к противоречию. Если , то аналогичные рассуждения следует провести для задачи .

Для линейных однородных схем требование безавостности означает неотрицательность .

8. Нетрудно видеть, что из четырех схем, полученных в п. 6, только первая схема при является безавостной.

Если , то такую разностную схему будем называть консер­вативной. Для консервативной схемы можно ввести понятие потока , относимого к «полуцелой» точке , и записать разностное уравнение в виде

(14)

Если уравнение (14) интерпретировать как некий «закон сохранения» для интервала , означающий, что разность потоков равна источнику , то для консервативной схемы закон сохранения для любого интервала имеет вид

.

Формулу следует рассматривать как интерполяционную формулу для вычисления потока при .

Нетрудно заметить, что всякая консервативная схема 1-го или 2-го порядка точности удовлетворяет - условию.

Если точки разрыва являются узловыми точками разностной сетки, то формулы для и следует брать в виде

9. Теорема 1. Пусть - однородная, линейная, трехточечная разностная схема, удовлетворяющая требованию безавостности, необхо­димому - условию сходимости на разрыве. Тогда:

1) если она имеет 1-й порядок точности, то она принадлежит однопараметрическому семейству консервативных разностных схем:

(15)

2) если она имеет 2-й порядок точности, то она определена одно­значно:

(15)

Теорема 2. Решение разностной краевой задачи





сходится к решению краевой задачи (1), если коэффициент .

Если , то

.

Аналогичные теоремы имеют место и для линейных краевых условий других типов.