Решение о количестве отдельных целей в составе гц. Далее осуществляется процедура оценки угловых координат традиционным способом (9)
Обработка сигналов в радиотехнических системах
Полученные оценки комплексных амплитуд сравниваются с порогом. По результатам сравнения принимается решение о количестве отдельных целей в составе ГЦ. Далее осуществляется процедура оценки угловых координат традиционным способом (9).
Анализ выражения (9) показывает, что процесс получения оценок угловых координат одиночных целей из состава групповой сводится к одной из разновидностей весовой обработки. В частности, последней подвергаются элементы вектора , формируемые в результате когерентного накопления входного сигнала.
Л
итература
1. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. – 584 с.
2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М., Мир, 1990. – 655 с.
3. И. С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений. Т. 1. М., ГО ФМЛ – 464 с.
resolution on angular coordinates of sources of secondary EMANAtion
Silchenkov S.
Military academy
of army antiaircraft defense of Armed forces of the Russian Federation
named after Marshal of Soviet Union Vasilevsky A.M., Smolensk
The purpose of the article is disclosing the essence of one of approaches to the resolution on angular coordinates of sources of secondary emanation forming the group purpose. The suggested approach is focused on the realization in perspective radar-tracking systems with digital processing signals.
The approach is based on the hypothesis that echo-signal is formed with the help of a set of apriori of unknown number of sources of secondary emanation linearly distributed on a time plane. Thus, the model of the reflected signal is a pack of pulses, and each pulse is the sum of M of useful fluctuations and noise. Mathematically, the problem of processing such an alarm mix is solved with the help of one of the modifications of a method of the least squares.
In the article the reasons of bad conditionality of a matrix of basic signals at the solving a problem of defining the quantity of the single targets from structure group in survey radar stations are analyzed in detail. There suggested an approach to solving the given problem due to introduction of a concept of a multivariate directional characteristic and optimization of the received system of the equations with the use of restrictions of inequalities type.
Автоматизированный пеленгатор помех РЭС специального назначения в диапазоне 900 МГц
Сухацкий С.В.
МТУСИ
Введение
Наблюдаемая в настоящее время повышенная востребованность аппаратуры автоматизированного радиомониторинга (АРМ), к числу которой принадлежит аппаратура автоматизированного пеленгования, обусловлена рядом причин, одна часть которых связана с продолжающимся техническим прогрессом средств радиосвязи, а другая – с изменениями экономического и политического характера, которые произошли в нашей стране и в мире.
Перечень задач, решаемых с помощью средств АРМ, включает выявление и анализ радиоизлучений для идентификации источников сигналов и помех, измерение параметров сигналов и помех, оценку их опасности или ценности для пользователя, измерение напряженности электромагнитного поля или плотности потока мощности, определение положения источников радиосигналов и радиопомех на местности.
Отправной точкой развития отечественных средств АРМ, стимулируемого множеством факторов, можно считать создание автоматизированных пеленгаторов помех, отличающихся универсальностью и многофункциональностью.
Постановка задачи
Учитывая особенности использования мобильных станций радиопеленга, назначением которых может быть как «дослеживание» на местности источников радиоизлучений (ИРИ), выявленных стационарными системам пеленгования, так и самостоятельный анализ ЭМО, сопровождающийся оперативным определением местоположения ИРИ, можно сформулировать основные тактико-технические характеристики:
Диапазон частот – от 800 МГц до 1200 МГц;
Чувствительность в рабочем диапазоне частот (чувствительность радиопеленгатора, обеспечивающая пеленгование радиопередатчиков, создающих в месте приема поле напряженностью) – не менее 4 мкВ/м;
Инструментальная точность (СКО) для антенной системы – 3 - 5°;
Разработка структуры пеленгатора
Наиболее распространенными в настоящее время видами пеленгаторов являются: системы на основе вращающейся направленной антенны; двухканальные автоматические пеленгаторы (Ватсона-Ватта, Эдкока); квазидоплеровские системы; фазовые интерферометры; корреляционные интерферометрические измерители (КИИ). Каждый из методов пеленгования имеет свои достоинства и недостатки.
Так как в поставленной задаче нет упора на высокую производительность или чрезвычайную точность, то наиболее подходящим является способ пеленгования, основанный на обработке данных о мощности излучения, принимаемого направленными антеннами, расположенными по кругу – амплитудный метод пеленгования. На рис. 1 показана ориентация ДН антенных элементов и условно обозначен способ определения направления на источник излучения.
Структура пеленгатора должна включать следующие блоки и устройства: антенная системы, радиоприемный тракт, устройство цифровой обработки и устройства вычисления и отображения результатов пеленгования. Обобщенная структурная схема представлена на рис. 2.
Рис. 1 – Графическая иллюстрация амплитудного метода пеленгования
Рис. 2 – Обобщенная структурная схема пеленгатора
В зависимости от предъявляемых требований в структурную схему могут быть добавлены дополнительные блоки, например, система навигации для определения собственного местоположения и ориентации радиопеленгатора, модули дистанционного управления по кабельным линиям или радиоканалу, блоки тестирования работоспособности и т. д.
Антенная система состоит из 6-ти идентичных антенных элементов (АЭ), расположенных по кругу. Максимумы их диаграмм направленности ориентированы через каждые 60°, как это показано на рис. 1. С точки зрения возможности реализации АЭ, работающих в заданном частотном диапазоне, обладающих небольшими массогабаритными показателями и достаточным коэффициентом усиления подходит антенна, имеющая ширину ДН порядка 60-70°.
Радиоприёмный блок, в технике радиопеленгования, как правило, содержит от одного до трех каналов приема. Антенные элементы подключаются к трактам приема последовательно с помощью высокочастотных коммутаторов.
Применительно к нашей задаче, в качестве радиоприёмного блока и блока цифровой обработки выступает анализатор спектра. Однако перспективным направлением эволюционного развития автоматизированного пеленгатора является возможность использования многоканальных цифровых радиоприемных устройств (ЦРПУ).
В качестве устройства вычисления и отображения результатов пеленгования, предназначенного для вычислений и представлений результатов в форме, понятной оператору выступает персональный компьютер. Кроме вычисления и отображения результатов пеленгования и спектрального анализа, ПК используется для управления работой аппаратуры, хранения баз данных с результатами пеленгования и т. д.
Определение пеленга по известным показаниям антенн
Как указывалось ранее, определение пеленга по известным уровням принятых сигналов осуществляется путём решения системы уравнений, для решения которой необходимо задаться конкретным видом аппроксимирующей ДН АЭ функции – например, функции Гаусса.
=> (1)
Решение этой системы можно найти, воспользовавшись нетрадиционным решением квадратного уравнения, при этом оперируя логарифмическими единицами. Решение имеет следующий вид:
, (2), где ; ; .
Если рассмотреть нахождение более подробно, то можно заметить, что функция, аргумент которой и есть – имеет вид может иметь различный вид. Для равных и – это прямая, при различных и , – парабола, причём её вид зависит от того, какое из и больше.
Используя такую интерпретацию задачи определения пеленга можно оценить номинальную точность выбранного метода пеленгования. Для чего необходимо вычислить значение производной от разностной функции в диапазоне углов между направлениями ориентации соседних антенн.
Рис. 3 – Зависимость производной от разностной функции от угла
Из рис. 3 видно, что при схожих параметрах антенн, значение производной от разностной функции остается постоянным во всем диапазоне углов. При ширине ДН антенн ~ 60° – 70° это значение составляет ~ 0,4 дБ/°. Это означает, что при типичной точности измерительного оборудования 1 дБ инструментальная точность составляет около 2,5°, что вполне удовлетворяет поставленной задаче.
Программная реализация алгоритма пеленгования
Как уже было упомянуто, ядром пеленгатора является ПК с установленным на него специализированным программным обеспечением (СПО), на долю которого приходится множество функций. В том числе: управление ВЧ-коммутатором и измерительным устройством, считывание и запись в память значений мощности от каждого из АЭ, вычисление относительного пеленга, считывание информации о позиционировании, вычисление истинного пеленга и отображение результатов на карте.
На рис. 4 и показана экранная форма карты в виде аэрофотоснимка с отображенными пеленгами, произведенными из разных точек. Здесь изображён результат пеленга некой неизвестной базовой станции сети стандарта GSM-900, работающей на 10-м канале (что соответствует частоте 937,0 МГц).
Использование цифровых радиоприемных устройств (ЦРПУ)
Стоит отметить, что решение задач радиомониторинга в полном объеме всегда связано с определенными финансовыми сложностями. В этой ситуации одним из выходов может служить использование многофункциональных средств, обеспечивающих выполнение большинства задач АРМ с высокой эффективностью при меньших затратах [1]. К этим средствам, в частности относится многоканальные ЦРПУ.
Ядром ЦРПУ является цифровой сигнальный процессор (ЦСП), характеристики которого определяют быстродействие устройства. При этом, как показано в (8), затраченное на выполнение быстрого преобразования Фурье (БПФ) количество циклов, для разных процессоров сильно разнится. В табл.1 представлено сравнение количества циклов, а также общее время, затраченное на выполнение БПФ, для процессоров TMS320C6701, ADSP-TS101, ADSP-TS201 и 1892ВМ2Т МС-24.
Рис. 4 – Отображение результатов пеленга на цифровой карте местности
Таблица 1 – Сравнение ЦСП
-
TMS320C6701
ADSP-TS101
ADSP-TS201
1892ВМ2Т МС-24
циклы
мкс
циклы
мкс
циклы
мкс
циклы
мкс
23120
192,7
10441
34,8
10682
17,8
10300
103
В приведенном примере размерность преобразования Фурье составляла 1024 точки. При необходимости длина временной выборки может быть увеличена. Также в ЦСП могут осуществляться дополнительные виды обработки, такие как обнаружение сигналов, детектирование, цифровая демодуляция и др. Что касается времени выполнения БПФ, то наименьшее время требуется процессору ADSP-TS201, хотя по числу тактов выигрывает 1892ВМ2Т МС-24.
В заключение можно добавить, что цифровые радиоприемные устройства (особенно многоканальные), выгодно отличаются функциональностью, производительностью, и массогабаритными показателями. Так, например, при использовании многоканального комплекса, описанного в [1] доступны функции от панорамного спектрального анализа с высокой скоростью до записи радиосигналов на ПЧ в векторной форме на жесткий диск. При этом одной из дополнительных возможностей данного средства является обнаружение радиосигналов с динамической частотно-временной структурой. Учитывая возможность параллельного синхронного анализа и вычисления параметров радиосигналов, в частности – мощности, применение предложенного метода пеленгации будет осуществляться с максимальной эффективностью и скоростью.
Выводы
В результате проведённых исследований, было получено следующее:
выбран амплитудный способ пеленгования, основанный на направленных свойствах антенн, что с одной стороны обеспечивает требуемую точность, а с другой – возможность обнаружения и пеленгации слабых сигналов, что расширяет зону, контролируемую мобильным комплексом;
определена структурная схема пеленгатора, где ПК с СПО выступают в качестве центрального звена, что оправдано с позиции объединения функций управления, считывания и записи в память информации, вычислений, формирования БД и отображения результатов;
получена формула для определения пеленга . Она применима для произвольных параметров ДН, что позволяет минимизировать СКО ошибки аппроксимации антенн;
получена потенциальная погрешность пеленгования, вызванная различными факторами;
разработан и опробован алгоритм обработки результатов измерения ДН АЭ, и получения дополнительных параметров, существенно поднимающих результирующую точность пеленгования.
После проведения исследовательских и подготовительных работ, было реализовано:
антенный комплекс, устанавливаемый на крышу автомобиля под радиопрозрачный обтекатель;
автоматизированы измерительные и вычислительные процессы за счет написания сочетающей в себе все необходимы функции управления, обработки, вычисления результатов и отображения их непосредственно на цифровой карте программы MobileLab;
на базе автомобиля Volkswagen автоматизированный пеленгатор;
проведены натурные испытания и выявлены особенности функционирования системы пеленгации в различных условиях работы.
Литература
Рембовский A.M., Ашихмин А.В., Козьмин В.А. Радиомониторинг: задачи, методы, средства/Под редакцией А. М. Рембовского. - М: Горячая линия-Телеком, 2006. – 492 с.;
Справочник по радиоконтролю. МСЭ 2002. – Женева. 2004;
Spectrum Analyzers from Rohde & Schwarz. Product Overview
http://www2.rohde-schwarz.com/file_4031/Spektrumanalyse_bro_en_.pdf;
Стандартизация функциональных и технических характеристик оборудования радиоконтроля / О.Б. Зубарев, Н.А. Логинов, А.А. Александров, А.П. Павлюк // Электросвязь. 1999. № 9.;
Introduction into Theory of Direction Finding. Radiomonitoring and Radiolocation 2000/2001. Rohde & Schwarz GmbH & Co. KG Editor: Gerhard Kratschmer, HW-UKD;
http://www.compitech.ru/html.cgi/arhiv/02_08/stat_152.htm;
http://www.electronics.ru/issue/2005/6/12;
http://electronix.ru/forum/index.php?act=Attach&type;=post&id;=7809.
The equipment of the automated radio monitoring was being investigated in this work. By means of this equipment it is possible to solve such problems, as revealing and the analysis of radio emissions for identification of sources of signals and hindrances, measurements of parametres of signals and hindrances, measurements of intensity or density of a stream of capacity of an electromagnetic field.
The amplitude method was chosen and the necessary block diagramme of a direction finder was generated after the analysis of existing methods radio direction finding.
The formula for definition radio direction finding, and also a potential error of an applied method radio direction finding was received as a result of researches. The algorithm of processing of results of measurement of parametres of the antenna elements was developed and tested. He allows to raise essentially a resultant accuracy radio direction finding.
The example of automation of measuring and computing processes by a writing of program “MobileLab” combining all necessary functions of management, processing, calculation of results and their display to a digital card was stated. The example of carrying out of natural tests and approbation of functioning of system of direction finding in various working conditions was considered.
Possibility of use as the measuring tool of the digital radio device which kernel is the digital alarm processor was considered. As for several types of processors comparison of quantity of cycles, and also the general time spent for performance of fast Fourier transformation was resulted.
АНАЛИЗ ВОЗМОЖНОСТИ ПОВЫШЕНИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ цифровой радиолокационной станции
Тараканов А.В.
Военная академия
войсковой противовоздушной обороны Вооруженных Сил Российской Федерации
им. маршала Советского Союза А. М. Василевского, г. Смоленск
Работа направлена на исследование возможности использования нестандартных методов анализа сигналов в частотной и временной областях применительно к задаче оценки количества сигналов (разрешения сигналов) в принятой смеси эхосигналов цифровой активной радиолокационной системой с пассивным ответом. Использование классических методов не всегда позволяет добиться требуемого разрешения при заданном отношении сигнал-шум. Решение данной проблемы может быть найдено при использовании неклассических («современных») методов разрешения сигналов. В настоящее время насчитывается достаточно большое количество указанных методов. Это методы максимального правдоподобия, линейного предсказания, максимальной энтропии, Прони, собственных векторов (Писаренко, MUSIC, EV, ESPRIT, минимальной нормы) и др.
Следует отметить, что описанию и обоснованию классических и «современных» методов разрешения сигналов уделено достаточное внимание в работах отечественных и зарубежных авторов, но при этом сравнительная оценка различных методов, выявление наиболее эффективных из них в известных работах не приводится.
Целью проведенных в настоящей работе исследований, является выявление наиболее эффективного метода разрешения сигналов, применение которого позволит повысить разрешающую способность цифровой радиолокационной станции.
В классическом определении интервал разрешения, характеризующий разрешающую способность, является величиной постоянной. При этом считается, что он не зависит от условий наблюдения, в частности, от таких параметров, как отношение сигнал-шум (ОСШ) и требуемые вероятности разрешения. Однако более обоснованным, будет являться статистическое толкование разрешающей способности, учитывающее вероятностные характеристики процедуры разрешения эхосигналов. В настоящей работе в качестве одного из исследуемых показателей эффективности разрешения сигналов принята матрица вероятностей исходов обработки, – максимально возможное количество принимаемых сигналов [1]. Элементом матрицы является вероятность того, что при наличии сигналов в составе смеси будет принято решение о наличии сигналов. Вероятности являются вероятностями принятия правильных решений. Вероятностью ложной тревоги далее будет называться сумма вероятностей , т. е. сумма элементов -ой строки матрицы , следующих за элементом. В дальнейшем при моделировании значения вероятности правильного разрешения () определялись при фиксированном значении ложной тревоги ().
В качестве интегрального показателя разрешающей способности выбран интервал разрешения , понимаемый как такое минимальное отстояние сигналов по разрешаемому параметру , при котором в заданных условиях обеспечиваются требуемые вероятности разрешения. На практике удобно использовать относительное отстояния сигналов по разрешаемому параметру , где – абсолютное отстояние между сигналами по разрешаемому параметру ; – интервал разрешения по параметру , в соответствии с условно принятым в радиолокации критерием Рэлея, то есть , где – ширина автокорреляционной функции по заданному уровню. Соответственно в дальнейшем использовался относительный интервал разрешения (ОИР) по разрешаемому параметру.
Использование предлагаемых показателей разрешающей способности позволяет наиболее объективно оценивать реальную разрешающую способность в различных условиях и проводить сравнительные исследования возможностей по разрешению сигналов различных по своей сущности и реализации методов разрешения сигналов.
В работе представлены результаты имитационного моделирования разрешения двух эхосигналов, отраженных от целей. Оценка эффективности «современных» и классических методов разрешения проводилась при следующих условиях и ограничениях: формировались комплексные огибающие эхосигналов, принятых на фоне некоррелированных гауссовских шумовых помех; эхосигналы моделировались как непрерывные на интервале наблюдения; в реализациях случайными полагались помеховый фон и начальные фазы эхосигналов целей; начальные фазы эхосигналов принимались равномерно распределенными на промежутке ; диапазон изменения отношения сигнал-шум 10–30 дБ.
Исследования выполнялись в два этапа. Первый этап посвящен исследованию параметров и свойств методов разрешения применительно к частотной области.
Были рассмотрены следующие неклассические методы спектрального оценивания: метод оценивания частоты, основанный на анализе собственных значений (Multiple Signal Classification MUSIC) [3], компенсационный способ с модульными коэффициентами линейного предсказания (КСМК) [4], метод многомерного оценивания неортогональных сигналов (nonorthogonal signals estimation NOSE) [5], классический способ, основанный на алгоритме БПФ [6].
На данном этапе были проведены исследования параметров метода MUSIC. При использовании метода MUSIC необходима некоторая априорная информация о количестве регулярных составляющих сигнала, другими словами, требуется знать размерность сигнального подпространства [3]. Кроме того при обработке смеси сигналов методом MUSIC входная реализация делится на фрагменты (прямоугольные окна), размер которых также определяется размерностью сигнального подпространства. Проведенные исследования показали, что оптимальным значением параметра (относительное значение размерности сигнального подпространства , где – абсолютное значение размерности сигнального подпространства, – количество отсчетов обрабатываемой выборки) является 0,25. Данное значение использовалось при дальнейшем исследовании эффективности метода MUSIС. Следующим этапом обоснования параметров алгоритма MUSIC явилось исследование влияния размерности окна разбиения входной выборки Nwin [3]. Моделирование проводилось по аналогичной методике, рассмотренной ранее, при фиксированных значениях , и вероятности ложной тревоги не более значения 0,05. Результаты моделирования подтверждают тот факт, что оптимальным значением рассматриваемого параметра Nwin является значение, равное 4×. Следует отметить, что при увеличении детализации входной выборки значения вероятностей разрешения незначительно возрастают, но при этом возникает противоречие, связанное с увеличением времени накопления эхосигнала и технической реализацией рассматриваемого метода. В связи с этим считается, что установленные значения параметров являются наиболее рациональными и в дальнейшем использовались при расчете эффективности метода MUSIC.
Для сравнительной оценки методов спектрального оценивания моделировалась ситуация разрешения двух сигналов с помощью стандартного алгоритма, основанного на анализе огибающей на выходе БПФ, дополненного нулями до -точечной последовательности, алгоритма MUSIC, алгоритма КСМК, метода многомерного оценивания неортогональных сигналов NOSE (nonorthogonal signals estimation) [5].
По результатам моделирования были получены эмпирические зависимости относительного интервала разрешения от отношения сигнал-шум, характеризующие эффективность методов разрешения сигналов. Для сравнения и оценки, насколько результаты, полученные с помощью имитационного моделирования, приближены к потенциально возможных интервалам разрешения, была выбрана потенциальная оценка относительного интервала разрешения (ПОИР), полученная по обобщенной методике Хэлстрома [7]. Результаты представлены на рисунке 1.
Рис. 1 – Оценка разрешающей способности алгоритмов БПФ, MUSIC, КСМК, NOSE в частотной области
В целом, можно сделать вывод о более высокой эффективности современных методов разрешения по частоте в сравнении с классическими методами спектрального оценивания. При обработке сигналов алгоритмом БПФ в диапазоне ОСШ до 30 дБ можно добиться ОИР по частоте не ниже значения 0,9. Разрешение сигналов в рабочем диапазоне ОСШ при относительных отстояниях по частоте меньших 0,6 методом MUSIC также не представляется возможным. При разрешении сигналов методом NOSE и алгоритмом КСМК значения ОИР равные 0,5 достигались при ОСШ порядка 12 и 13 дБ соответственно и вероятности разрешения = 0,5; 15 дБ для метода MUSIC и 19 дБ для метода NOSE при вероятности разрешения = 0,8. Таким образом, применение метода NOSE при разрешении сигналов по частоте позволяет достичь относительного интервала разрешения по частоте при ОСШ меньшем на 1–4 дБ по сравнению с алгоритмом КСМК, на 10–12 дБ по сравнению с методом MUSIC.
Второй этап посвящен исследованию параметров и эффективности методов разрешения применительно к временной области. Исследовались возможности по разрешению сигналов классического метода разрешения, алгоритма КСМК и метода NOSE. В данной части работы были определены оптимальные параметры классического алгоритма основанного на анализе перегибов (локальных максимумов) огибающей на выходе оптимального фильтра; для метода NOSE определен минимально возможный относительный интервал разрешения сигналов по времени (). При исследовании использовались показатели качества разрешения сигналов аналогичные рассмотренным при оценке эффективности разрешения сигналов в частотной области.
По результатам моделирования были получены эмпирические зависимости относительного интервала разрешения от отношения сигнал-шум для исследуемых методов. Результаты представлены на рисунке 2. Также на рисунке 2 показан потенциальный относительный интервал разрешения (ПОИР).
По результатам проведенных исследований сделаны следующие выводы:
- разрешение сигналов стандартным методом с заданными показателями эффективности в диапазоне ОСШ (10–30 дБ) при относительных отстояниях по времени меньших 0,35 не представляется возможным;
- обработка алгоритмом КСМК позволяет получить высокие показатели разрешающей способности при высоких отношениях сигнал-шум;
- обработка методом NOSE позволяет получить максимальные показатели разрешающей способности на всем интервале отношениях сигнал-шум.
Рис. 2 – Оценка разрешающей способности алгоритмов стандартной обработки, КСМК, NOSE
во временной области
Относительные интервалы разрешения во временной области в диапазоне ОСШ 10–30 дБ существенно отличаются для рассматриваемых методов. При разрешении сигналов алгоритмом КСМК значения ОИР равные 0,25 достигались при ОСШ порядка 21 дБ для вероятности разрешения = 0,5 и при ОСШ порядка 27 дБ для вероятности разрешения = 0,8. При разрешении сигналов методом NOSE для тех же ОИР требуемое значение ОСШ составило 11 дБ и 15 дБ для вероятностей разрешения равной 0,5 и 0,8 соответственно. Разрешение сигналов в диапазоне ОСШ (10–30 дБ) при относительных отстояниях по времени меньших 0,35 стандартным методом не представляется возможным. Таким образом, применение метода NOSE при разрешении сигналов во временной области позволяет достичь относительного интервала разрешения при ОСШ меньшем на 10–12 дБ по сравнению с алгоритмом КСМК.
Литература
1. Чижов А.А., Авласёнок А.В. Эффективность оценивания количества и параметров движения одиночных радиолокационных целей из состава групповой сосредоточенной. Радиоэлектроника. Изв. ВУЗов.: т. 46, 2003. № 12. с. 20–29.
2. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер с англ. М., Мир, 1990. 584 с.
3. Патент РФ № 2293349 от 10.02.2007 г. МПК G 01 S 13/04.
4. Chizhov A.A. A method for estimation of many-dimensional images with super-rayleigh resolution in processing of echo signals at coherent sounding. New York. Alerton Press, Inc.: Radioelectronics and Communication Systems. Vol. 49, 2006. No. 9. pp. 23–28.
5. Чижов А.А. Метод многомерного оценивания неортогональных когерентных сигналов с максимизацией априорной определенности используемой статистики. Труды Российского научно-технического общества радиотехники, электроники и связи имени А. С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. Выпуск: X-1. М., 2008.
6. Васин В.В., Власов О.В., Григорин-Рябов В.В., Дудник П.И., Степанов Б.М. Радиолокационные устройства. М., «Советское радио», 1970, 680 с.
7. Хэлстром К. Статистическая теория обнаружения сигналов. М., ИЛ, 1963.
ANALYSIS of the POSSIBILITY of INCREASING of RESOLUTING ABILITIES of DIGITAL RADAR STATION
Tarakanov А.
Military academy
of army antiaircraft defense of Armed forces of the Russian Federation named after Marshal of Soviet Union Vasilevsky A.M., Smolensk
This work is directed on the research of the possibility of using non-standard methods of the signal’s analysis in frequent and time areas with reference to the problem of estimation of the amount of signals in the accept mixture of echo-signals by digital active radar system with passive answer. Use the classical methods not always allows to obtain the required permits under given relation signals-noise. The Decision given problems can be found when use неклассических ("modern") of the methods of the permit signal. At present numbers it is enough big amount of the specified methods. This methods of the maximum plausibility, linear prediction, maximum entropy, Proni, eigenvectors (Pisarenko, MUSIC, EV, ESPRIT, minimum norm) and others.
Follows to note that description and motivation classical and "modern" methods of the permit signal is spared sufficient attention in work domestic and foreign authors, but herewith comparative estimation of the different methods, discovery the most efficient of them in the known work does not happen to.
The Purpose called on in persisting functioning the studies, is a revealing the most efficient method of the permit signal, using which will allow to raise the allowing ability to digital radar station.
Проектирование радиотехнических систем передачи информации на основе эффектов хаотической динамики
Тележкин В.Ф., Казимиров А.Н.
Южно-Уральский государственный университет
При проектировании радиотехнических систем передачи информации (РСПИ) требуется решать задачу оптимального распределения и преобразования взаимодействующих между собой потоков энергии и информации. Традиционно сложившаяся задача синтеза структуры РСПИ по показателям качества функционального процесса передача информации при соблюдении заданных требований по технико-экономическим показателям качественно расширена до задачи, в которой её оптимальный структурно-параметрический синтез осуществляется как по показателям качества функционирования, так и по показателям временной структуры комплексного сигнала. При синтезе РСПИ, большое внимание уделяется вопросам выбора и принятия их оптимальной пространственной структурно-параметрической организации. Учитывая современный этап развития РСПИ, проводятся исследования междисциплинарного характера и развитие на их основе математических методов динамического анализа и синтеза новых технических решений для произвольной (незаданной) структуры объекта проектирования [1].
Проектирование РСПИ на основе эффектов хаотической динамики является новым направлением, задачу проектирования необходимо ориентировать на максимальное использование базы данных разработки традиционных РСПИ. Новыми будут хаотические модули, реализующие методы введения информации в хаотический сигнал и формирующие хаотическую несущую.
Ограничиваясь рассмотрением модельных представлений характеристик хаотических систем сложно выйти на конкретные задачи РСПИ и практические инженерные решения. Использование технологии проектирования традиционных РСПИ обеспечит создание конкурентно способных систем на основе хаотической динамики.
Техника передачи информации с помощью хаотических сигналов находится в стадии становления, и эффективные инженерные решения достаточно ограничены по элементной базе. Особое значение при этом имеет отбор существующих решений на модельном уровне и практически реализуемых устройств на существующей элементной базе, в частности на сигнальных процессорах с фиксированной точкой, используемых для формирования хаотической последовательности.
При построении РСПИ применяются широкополосные сигналы, обеспечивающие высокую достоверность передачи цифровой информации в условиях многолучевого распространения сигналов и помехоустойчивость к организованным помехам. Широкополосные сигналы могут формироваться на основе хаотического сигнала, причем, используются как аналоговые, так цифровые генераторы хаоса. Теоретической базой для исследований РСПИ с использованием хаотических сигналов служат исследования в области физики открытых систем. Для описания динамики таких систем в основном используются нелинейные дифференциальные уравнения типа модели Лоренца или Рёсслера. В настоящее время для создания хаотической РСПИ используются модели на основе генератора Чуа, логистического отображения, одномерного TENT-отображения и двумерного отображения Хеннона.
Для исследования хаотического поведения необходимо усложнение генератора Ван дер Поля. Оно может быть осуществлено различными способами. Один из них принадлежит В.С. Анищенко и В.В. Астахову. Они ввели дополнительную обратную связь с использованием полупериодного детектора. Такой генератор описывается системой трех дифференциальных уравнений, которые содержат два управляющих параметра: параметр обратной связи и характерный временной параметр, определяющий степень запаздывания. При этом в широкой области значений параметров наблюдалась достаточная близость результатов физического и численного анализа. Это соответствие нарушается, однако, вблизи критических точек – точек бифуркации, где динамическая математическая модель генератора оказывается недостаточной. Отметим, что введение информации в хаотическую несущую осуществляется воздействием на управляющие параметры при их соответствующем выборе.
Декодирование сообщения основывается, в частности, на использовании алгоритмов нелинейной динамики – алгоритмах анализа временных рядов. В ряде случаев это решение обратной задачи нелинейной динамики. Критерием качества восстановления динамических характеристик системы, которые и могут быть параметрами модуляции хаотического колебания является горизонт прогноза, то есть время предсказания динамического поведения системы при заданных величине ошибки предсказания, а также отношении сигнал-шум. Г.Г. Малинецкий и А.Б. Потапов [4] предлагают вполне «оптимистичную» оценку длины временного ряда при заданной фрактальной размерности (см. ниже). На основании этих результатов может быть выбрана длина хаотической последовательности для кодирования отдельных символов сообщения. Проблема выбора параметров реконструкции динамической системы (параметров временного ряда сигнала) на основе методов нелинейной динамики соответствует, в несколько ином виде, классической задаче цифровой обработки сигналов – применение теоремы Котельникова. Решение обратной задачи динамики – восстановление динамической модели по временной реализации одной переменной (наблюдаемому процессу), что может быть необходимо для декодирования сообщений, как правило, ограничивается вычислением коэффициентов модели заданной структуры и базируется на обработке 1000 и более точек наблюдаемого процесса. Использование длинных хаотических последовательностей, кодирующих информационные символы, снижает скорость передачи информации. Актуальной является задача оценки минимальной длины реализации хаотической последовательности достаточной для практических приложений.
Дальнейшие исследования могут идти в двух направлениях:
Построение математических моделей физических систем обладающих хаотическим поведением;
Создание дискретных моделей с параметрами обоснованными с точки зрения методов нелинейной динамики (анализа временных рядов), и далее их реализация средствами цифровой микроэлектроники, например на сигнальных процессорах с фиксированной точкой [5].
В [2] описан генератор хаотических колебаний с регулируемыми свойствами, который содержит двоичный N - разрядный счетчик.
Пусть каждый элемент такого счетчика связан с двухполюсником, который может находиться в двух состояниях. Если в соответствующем разряде счетчика находится «0», то на выходе двухполюсника сигнал равен , где x - входной сигнал. Если в этом разряде находится «1», то на выходе двухполюсника сигнал равен . Здесь «a» и «b» некоторые регулируемые параметры. Все двухполюсники связаны в цепочку, как показано на рисунке. На вход этой цепочки подается сигнал – . На выходе такой цепочки будет генерироваться сигнал, описываемый рекуррентным соотношением: , . Здесь «n», - дискретное время, отсчитываемое счетчиком.
Предложенный генератор выдает сигнал с известными характеристиками, в частности, величина размерности Хаусдорфа «D», генерируемой последовательности, вычисляется из простого соотношения: .
Например, для увеличения скорости передачи информации хаотическая последовательность, кодирующая один символ сообщения, должна быть минимальной длины. С другой стороны, для обеспечения скрытности передачи информации и верного декодирования сообщения в приемнике необходимо увеличить хаотическую последовательность. В [4] определяется длина выборки N, по которой можно оценить величину размерности хаотической последовательности . Размерность соответствует фрактальной размерности Хаусдорфа – «D». При использовании счетчика с разрядностью 6 длина последовательности будет составлять 64 отсчета, что позволяет использовать модель третьего порядка. Таким образом, задав величину D, определяем параметры генератора хаоса a и b () и минимальную длину хаотической последовательности, кодирующей один символ информационного сообщения.
Использование аналоговых генераторов хаоса в передатчике и приемнике требует точности подбора элементов генераторов на уровне менее 1%.
Таким образом, структурно – параметрический синтез генераторов хаоса и далее всей РСПИ требует дополнительных модельных и физических экспериментов по определению параметров хаотический последовательностей передающих информационные символы.
Литература
1. Тележкин В.Ф. и др. Проектирование сложных технических систем. Учебное пособие. – Челябинск: Издательство ЮУрГУ. 2000.
2. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Генератор фрактального сигнала // Письма в ЖТФ, 1992, том 18, вып. 24. с. 19 – 21.
3. Капранов М.В., Кулешов В.Н. и др. Свойства систем передачи информации с манипуляцией параметрами и начальными условиями генераторов хаотических колебаний // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. – 2000. №11. с.48 – 59.
4. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: Эдиториал УРСС. 2000. – 336 с.
5. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. – 1997. №10. с.4 – 25.
Designing of radio engineering systems of transfer of the information on the basis of effects of chaotic dynamics
Telezhkin V., Kazimirov A.
The South-Ural state university
Designing of radio engineering systems of transfer of information (RSTI) on the basis of effects of chaotic dynamics is a new direction, directing a problem of designing on maximal use of a database of development of traditional radio engineering systems. The chaotic modules realizing methods of introduction of the information in a chaotic signal and forming chaotic bearing will be new.
Decoding of the message is based, in particular, on use of algorithms of nonlinear dynamics - algorithms of the analysis of time numbers. In some cases this decision of a return problem of nonlinear dynamics. The problem of an estimation of the minimal length of realization of a chaotic sequence sufficient for practical appendices is actual.
The engineering of transfer of the information with the help of chaotic signals is in a stage of becoming, and effective engineering decisions are limited enough on element base. Special value thus has selection of existing decisions at a modeling level and practically sold devices on existing element base, in particular on alarm processors with the fixed point.
Let's consider the generator of chaotic fluctuations with adjustable properties which contains binary N - the digit counter.
On an input of this chain the signal moves – . On an output(exit) of such chain the signal described by a recurrent parity will be generated: , where n - the discrete time counted by the counter.
The offered generator, gives out a signal with size hausdorff to dimension D which is calculated from a simple parity: .
Let's define length of sample N on which it is possible to estimate size of dimension of a chaotic sequence . Dimension corresponds fractal to dimension Hausdorff - D. At use of the counter with word length 6 length of a sequence will make 64 readout that allows to use model of the third order. Thus, having set size D, we determine parameters of the generator of chaos a and b () and the minimal length of the chaotic sequence coding one symbol of a report of information.
Structural - parametrical synthesis of generators of chaos and further all RSTI demands additional modeling and physical experiments with definition of parameters chaotic sequences transmitting information symbols.
МЕТОД СУБОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ЗАДАЧЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ФМ-4 СИГНАЛОВ
Логинов А.А., Морозов О.А., Хмелев С.Л.
Научно-исследовательский физико-технический институт Нижегородского Государственного университета им. Н.И. Лобачевского
Задача цифровой фильтрации возникает во многих областях прикладной физики и техники. В частности, в задачах оценки параметров фазоманипулированных (ФМ) сигналов цифровая фильтрация может быть использована для предварительной обработки, целью которой является фильтрация гармонического заполнения с выделением информационной составляющей. Применение подобной предварительной обработки в условиях неточного знания несущей частоты сигнала (что может быть вызвано, например, эффектом Доплера) позволяет избежать введения вычислительно громоздких схем компенсации неизвестного частотного сдвига. В частности, при решении задачи определения взаимной временной задержки между сигналами при распространении по различным каналам [1], использование данного подхода позволяет на порядок сократить время вычислений. Другим примером может служить задача обработки сигналов систем связи с разделением по времени. Традиционные подходы, основанные на введении схем автоподстройки частоты, в данном случае могут оказаться малоэффективными вследствие необходимости соблюдения компромисса между временем начальной подстройки и точностью синхронизации с сигналом.
Для решения задачи предварительной обработки ФМ 2 сигналов в работах [2, 3] был предложен алгоритм, основанный на обобщении подхода минимальной дисперсии Кейпона на случай нелинейной фильтрации. Алгоритм заключается в фильтрации ФМ сигнала с помощью короткого нелинейного фильтра, настроенного на пропускание несущей частоты сигнала . Пока на вход фильтра поступает немодулированная синусоида, выходом является некоторое примерно постоянное значение. Отклик фильтра на участок сигнала с манипуляцией на радиан в идеальном случае равен нулю. Обработанный таким образом сигнал неявно содержит информацию о модулирующей последовательности и может быть использован для последующего анализа. Данная работа посвящена обобщению предложенного в [2, 3] подхода для обработки ФМ 4 сигналов.
Рассмотрим процесс обработки ФМ сигнала узкополосной цифровой фильтрующей системой, инвариантной к временному сдвигу. Для формирования одного отсчета выходного сигнала обрабатывается отрезок входного сигнала конечной длины . Пусть на вход системы в некоторый момент времени поступает следующий сигнал: (1), где – несущая частота, – случайная начальная фаза, – изменение фазы, соответствующее фазовой манипуляции. Здесь и далее предполагается, что все частоты выражены в относительных величинах, т.е. , где – частота дискретизации. Сигнал (1) соответствует участку комплексного сигнала с фазовой манипуляцией. Модуль спектра данного сигнала может быть записан в следующем виде:
. (2).
Рис. 1. Модуль спектра (а), зависимость для сглаженного линейного фильтра (б) и зависимость для квадратичного фильтра (в) для , , (линия 1), (линия 2), (линия 3), (линия 4).
На рис. 1(а) приведены кривые, соответствующие для . Необходимо отметить, что при {, } значение функции (2) максимально (рис.1 (а) – линия 1), а при {, } равно нулю (рис.1 (а) – линия 2). Вместе с тем, для значений (что соответствует случаю ФМ 4 сигнала) происходит смещение спектра сигнала (1) относительно несущей частоты (рис.1 (а) – линии 3, 4), направление смещения определяется знаком . Отклик фильтра, настроенного на , для сигнала (1) с не только не является максимальным, но и оказывается независящим от знака ; кроме того, отклик достаточно сильно чувствителен к частотному сдвигу. Данные ограничения приводят к необходимости обобщения предложенного ранее подхода обработки [2, 3] путем введения дополнительных фильтров, настроенных на соответствующие характерные частоты спектра сигнала (1) с . Выбор частот производится на основе критерия максимизации величины отклика на соответствующие фазовые манипуляции, а их положение определяется видом спектра и свойствами используемой фильтрующей системы.
Выражение (2) соответствует спектру непрерывного сигнала (1) и характеризует зависимость модуля отклика линейного фильтра минимума нормы на данный сигнал от частоты, на которую фильтр настроен. Соответствующая зависимость, построенная для любого другого полосового фильтра, будет иметь аналогичную форму, но характеризоваться изменением положения частот (использование произвольного линейного полосового фильтра можно трактовать как применение полосового фильтра минимума нормы с предварительным сглаживанием, что приводит к более широкому главному спектральному лепестку). Кроме того, положение частот зависит от длины фильтра и начальной фазы в случае действительного обрабатываемого сигнала. В конечном итоге определение частот должно производиться для каждого конкретного фильтра на основе построения усредненных по начальной фазе характеристик. На рис.1 (б) в качестве иллюстрации приведена зависимость , построенная для линейного фильтра, полученного сглаживанием фильтра минимума нормы с помощью треугольного окна.
Традиционные алгоритмы оптимальной обработки, как правило, нацелены на работу со стационарными участками сигнала, однако также могут быть настроены на работу с нестационарными участками сигнала, свойства которых априорно известны. Так, для обработки ФМ-4 сигнала может быть предложена схема с 4 фильтрами, согласованными с сигналом (1) для . АЧХ таких фильтров будет совпадать с модулем спектра . Тогда использование полосовых фильтров, настроенных на частоты , , является аппроксимацией трех согласованных фильтров. Четвертый согласованный фильтр, соответствующий (рис.2 (а), линия 2), не может быть аппроксимирован полосовым фильтром, но, как показано выше, это и не требуется, поскольку использование фильтра, настроенного на является достаточным для выделения манипуляций фазы на . Таким образом, предлагаемый в данной работе подход является аппроксимацией подхода, основанного на согласованной фильтрации нестационарных участков сигнала, что позволяет говорить о его субоптимальности.
Использование нелинейной фильтрации позволяет повысить частотную избирательность фильтрующей системы без увеличения длительности переходных процессов, что является важным моментом при работе на высоких скоростях передачи данных с точки зрения повышения устойчивости к аддитивным шумам. В данной работе в качестве основы для алгоритма фильтрации предлагается использовать квадратичный фильтр, являющийся обобщением подхода минимальной дисперсии Кейпона [4].
Подход Кейпона заключается в построении линейного фильтра, дисперсия выхода которого минимальна при условии единичного коэффициента пропускания на заданной частоте . На основе линейного фильтра может быть построен квадратичный, выход которого определяется выражением [2]:
, (3), где экспоненциальный множитель отвечает за учет комплексной фазы обрабатываемого сигнала, – вектор отсчетов входного сигнала, – вектор комплексных экспонент частоты , – выходной сигнал, – автокорреляционная матрица (АКМ) гармонического сигнала частоты . На практике учет экспоненциального множителя оказывается трудно осуществимым. Отказ от него приводит к незначительному (для низких соотношений сигнал/шум) ухудшению вида выходного сигнала. Вычисление обратной матрицы при произвольном порядке фильтра, вообще говоря, должно быть заменено вычислением псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза [4]. Знаменатель выражения (3) представляет собой нормировочный множитель и для простоты вычислений может быть опущен. В результате получаем следующую формулу: , (4), где – матрица, псевдообратная АКМ гармонического сигнала частоты . Данный фильтр пропускает частоты близкие к , подавляя все остальные. Построим следующую величину, которая для фильтра (4) соответствует : , где – вектор отсчетов сигнала (1). Величина показывает зависимость уровня выхода квадратичного фильтра (4) от частоты , на которую фильтр настроен при обработке участка сигнала с фазовой манипуляцией . Вид для приведен на рис.1 (в). Из рисунка видно, что характерный вид зависимости аналогичен зависимости , построенной для линейного фильтра.
Таким образом, предлагаемый алгоритм предварительной обработки ФМ 4 сигналов заключается в построении фильтрующей системы, состоящей из квадратичных фильтров (4), настроенных на частоты . Выход фильтра, настроенного на частоту отвечает за выделение фазовых манипуляций на величину . Фильтры, настроенные на частоты отвечают за выделение фазовых манипуляций на величину . Для удобства дальнейшей обработки выходные сигналы фильтров вычитаются друг из друга, что позволяет сформировать на выходе фильтрующей системы комплексный сигнал, реальная и мнимая части которого содержат в неявном виде информацию о манипулирующей последовательности: , где , и вычисляются по формуле (4) для частот , и соответственно.
На основе полученного таким образом сигнала могут быть решены различные задачи оценки параметров сигналов. В частности, может быть решена задача определения взаимной временной задержки при распространении по различным каналам при наличии неизвестного частотного сдвига, вызванного эффектом Доплера. Предложенный алгоритм допускает эффективную реализацию на базе встраиваемых вычислительных систем для работы в реальном масштабе времени.
Литература
Коростелев А.А., Клюев Н.Ф., Мельник Ю.А. и др. Теоретические основы радиолокации: учебное пособие для вузов. М.: Сов. радио, 1978. 608 с.
Логинов А.А., Морозов О.А., Солдатов Е.А., Фидельман В.Р. Алгоритм нелинейной цифровой фильтрации гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов. // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2006, № 8, с. 704-711.
Логинов А.А., Морозов О.А., Солдатов Е.А., Хмелев С.Л. Комбинированная цифровая фильтрация гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов в задаче определения временной задержки. // Известия вузов. Радиофизика. 2007, № 3, с. 255-264.
Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 551 с.
The suboptimal nonlinear filtration method in the task of psk-4 signals preprocessing
Khmelev S., Loginov A., Morozov O.
Physical-Technical Research Institute of N.I. Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
The task of digital filtration arises in different fields of applied physics and engineering. Particularly, in the task of phase-shift-keying (PSK) signals parameters estimation digital filtration can be used for preprocessing. In this case the aim of preprocessing is to suppress harmonic filling and to extract informational component of a signal. Applying such preprocessing in the case of inexact knowledge of carrier frequency (that may be caused, for example, by Doppler effect) allows to avoid using computationally bulky schemes for unknown frequency shift compensation.
Earlier for the task of PSK 2 signals preprocessing an algorithm based on the Capon minimum dispersion approach generalization for the case of nonlinear filtration was proposed. Algorithm consists in PSK signal processing with short nonlinear filter, tuned to the carrier frequency . While the input of the filter is a sinusoid of corresponding frequency, the output is some nearly constant value. The response of the filter tuned to for the fragment of a harmonic signal with phase manipulation on radian is zero under ideal conditions. An output signal of such filter implicitly contains information about the modulating sequence and can be used for the following analysis.
At the same time the response of the filter tuned to for the fragment of a signal with (that corresponds to the PSK 4 signal) is not maximal, does not depend on the sign of and rather sensitive to frequency shift. This limitations lead to the necessity of previously proposed algorithm generalization by appending additional filters tuned to the corresponding distinctive frequencies of a harmonic signal fragment with phase manipulation spectrum. The choice of frequencies should be made up on the base of criterion of maximizing filter response to the corresponding phase manipulations. Values of are defined by the properties of a spectrum and a filtration system being used.
The nonlinear filtration makes it possible to sharpen frequency selectivity of a filtration system without increasing transient processes time. This becomes important in the case of working on high data transmission speed in sense of robustness against additive noise. In this work we propose to use a quadratic filter (which is a generalization of Capon minimum dispersion filter) as a base for processing algorithm.
So, the proposed algorithm of PSK 4 signals preprocessing lies in the constructing of filtration system that consists of three quadratic filters tuned to frequencies . The output signal of a filter tuned to the frequency contains information about phase manipulations and forms the real part of the combined output signal. Filters tuned to the frequencies contain information about phase manipulations . Their outputs are subtracted one from another to form an imaginary part of a combined output signal. The real and imaginary parts of combined output signal of the proposed scheme implicitly contain information about modulating sequence.
МАСШТАБИРОВАНИЕ АНТЕННОЙ РЕШЕТКИ ПРИ РЕАЛИЗАЦИИ БЕСПОИСКОВОГО МЕТОДА ОЦЕНКИ ПЕЛЕНГА
Хоружий С.Г.
ФГУП «ВНИИ «Градиент», Ростов-на-Дону
Решение задачи определения пеленга по результатам приёма сигнала источника излучения (ИИ) антенной решёткой (АР), как правило [1-3], основывается на оптимизации некоторого функционала, нелинейно зависящего от угловых координат ИИ. Ускорение поиска оптимальных оценок может быть достигнуто при наличии достаточно точного начального приближения, полученного беспоисковыми прямыми алгоритмами оценивания. При реализации таких алгоритмов для круговых АР фиксированного радиуса и возможных на практике диапазонах частот возникают целочисленные неоднозначности перехода от разностных задержек к соответствующим фазовым соотношениям. В данной работе предлагаются замкнутые выражения для оценок угловых координат ИИ и преобразование, масштабирующее данные, полученные АР радиуса , к данным, которые могли бы быть получены концентрической АР радиуса .
Полученные оценки могут быть использованы и как самостоятельные результаты пеленгования, и в качестве начальных приближений, позволяющих упростить поиск оценок, оптимальных в смысле критериев, определённых в работах[1-3].
страница 1страница 2
скачать
Другие похожие работы: