Решение По условию задачи числа нечетные, последовательные. Всякое нечетное число при делении на 2 дает в остатке один, поэтому оно будет иметь вид: 2

Дополнительные материалы

к главе 1 «Целые числа и многочлены»

учебника «Алгебра и начала анализа.

10 класс», автор М.И. Башмаков,

издательство «Дрофа»

Мы предполагаем, что эти материалы будут использоваться для проведения индивидуальной работы на уроке или на дополнительных занятиях. Раздел устроен так:

– указывается перечень рассматриваемых алгоритмов;

– в соответствии с перечнем по каждому алгоритму рассматривается краткая теория, образцы решения примеров, дается тренажер с аналогичными разобранным в «образцах решения примеров» заданий и ответы к ним.

Алгоритмы:

1. Разложение числа на множители для решения задачи на делимость

2. Применение сравнения чисел по модулю для решения задач

3. Решение уравнения в целых числах способом разложения на множители

4. Решение линейных диофантовых уравнений
1. Разложение числа на множители для решения задачи на делимость

Теория

Теорема. Всякое натуральное число можно однозначно разложить на простые множители, т. е. представить в виде произведения степеней простых чисел.

Свойства делимости

1. Если два числа делятся на n, то и их сумма делится на n.

2. Если число n делится на d, то и число nk делится на d при любом k.

3. Если число n делится на m, а число m делится на d, то число n делится на d.

Образцы решения задач

1. Рассмотрим решение задачи из учебника № 3.6): Докажите, что разность квадратов двух последовательных нечетных чисел делится на 8.

Решение

По условию задачи – числа нечетные, последовательные. Всякое нечетное число при делении на 2 дает в остатке один, поэтому оно будет иметь вид: 2n + 1, следующее за ним нечетное число будет иметь вид 2n + 3. Составим разность их квадратов и разложим полученное выражение на множители: (2n + 1)² – (2n + 3)² = (4n² + 4n + 1) – (4n² – 12n + 9) = 16n – 8 = 8(2n – 1).

Один из множителей полученного произведения равен 8, поэтому произведение делится на 8.

2. Найдите все целые числа z, при которых выражение является целым числом.

Решение

Для выполнения условия задачи, требуется, чтобы число z + 1 являлось делителем числа 6. Рассмотрим число 6, его делителями являются числа ±1, ±2, ±3, ±6. Находим значения z, решая уравнения z + 1 = ±1, z + 1 = ±2, z + 1 = ±3, z + 1 = ±6.

Ответ: z –7, –4, –3, –2, 0, 1, 2, 5.

3. Решите уравнение (3x – 1)(y² + x + 2) = x² + 1 в целых числах.

Решение

Сначала найдем значения x. Рассуждаем так: если (x, y) – решение уравнения, то x² + 1 делится на (3x – 1), а значит и 9(x² + 1) делится на
(3x – 1). Делим: . Число 3x – 1 должно быть делителем числа 10, т. е. 3x – 1 = ±1, ±2, ±5, ±10. По условию x – целое число, получаем x = 0, 1, 2, –3. Находим соответствующие целые значения y, подставляя найденные значения x в данное уравнение.

Ответ: (–3; 0).
Тренажер 1

1. Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел делится на 24.

2. Найдите наибольшее натуральное n, при котором 65! делится нацело на 5ⁿ.

3. Найдите наибольшее натуральное n, при котором 100! делится нацело на 3ⁿ.

4. Разложите числа на простые множители: а) 10⁶ – 1; б) 2²⁴ – 1; в) 2¹⁵ +1.

5. При каких целых n значение выражения является целым числом:

а) ; в) ;

б) ; г) .

6. Найдите все целые значения x и y, при которых выполняется равенство:

а); б) .

Ответы: 1. Указание: применить свойства: из двух последовательных четных чисел одно кратно 4; из трех последовательных натуральных чисел одно из них кратно 3. 2. 13. 3. 47. 4. а) 3⁷  7  11  13  37; б) 3³  5  7  13  17  67; в) 3  11  983. 5. а) 6, –8, –20; б) –1, –2, 4, –5, –10, 11, –17; в) 1, –3, –5; г) –2, 4, –6, 0. 6. а) (0; 3), (–2; –1), (1; 2), (–3; 0); б) (0; 4), (2; 2), (4; 0).
2. Применение сравнения чисел по модулю для решения задач

Теория

1. Запись чисел выражениями.

Если число a делится на число b c остатком q, то его можно записать в виде выражения: a = bk + q, где k  Z, q принимает значения, равные 0, 1, 2, …,
b – 1.

2. Представление множества целых чисел.

Множество целых чисел Z можно рассматривать как объединение всех классов вычетов по данному модулю.
Образцы решения задач

1. При каких целых значениях z число 5z + 2 делится на 9?

Решение

Множество чисел z разобьем на классы вычетов по модулю 9 и рассмотрим, при каких из них данное выражение будет делиться на 9. Множество чисел z можно представить выражением 9k + p, где p = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, а k – любое целое число.

Число 5z + 2 = 5(9k + p) + 2 = 45k + (5p + 2). 45k делится на 9.

Находим подстановкой, при каких значениях p число (5p + 2) будет делиться на 9. Подходит только значение p, равное 5.

Ответ: z = 9k + 5, где k  Z.

2. Рассмотрим решение задач из учебника № 7.3): p, 4p² + 1, 6p² + 1 – простые числа. Найдите p.

Решение

Заметим, что простые числа 2 и 3 не удовлетворяют условию. Следующее простое число 5. Все простые числа разобьем на классы по модулю 5, т. е. рассмотрим случаи: p = 5k, p = 5k + 1, p = 5k + 2, p = 5k + 3, p = 5k + 4.

Проверим для каждого случая, будут ли числа p, 4p² + 1, 6p² + 1 простыми.

При k = 1 число 5k удовлетворяет условию, p = 5 – простое, 4p² + 1 = 101 – простое, 6p² + 1 = 151 – простое.

p = 5k + 1, число 4p² + 1 = 4(5k + 1)² + 1 = 100k + 40k + 5 делится на 5 – составное, не удовлетворяет условию.

p = 5k + 2, число 6p² + 1 = 6(5k + 2)² + 1 делится на 5, составное, не удовлетворяет условию.

Аналогично, числа p = 5k + 3, p = 5k + 4 не будут удовлетворять условию.

Ответ: 5.

3. Может ли число делится на 8, а при делении на 12 давать в остатке 10?

Решение

По условию число делится на 8, значит, его можно записать как 8k, k – любое целое число. При делении на 12 дает в остатке 10, значит, его можно записать как 12n + 10, n – целое. Получим равенство 8k = 12n + 10, 8k – 12n = 10, 4k – 6n = 5, последнее равенство невозможно, так как левая его часть – четное число, а правая часть – нечетное.

Ответ: нет.

Тренажер 2

1. При каких целых n число 7n – 2 делится на 9?

2. При каких целых n значение выражения является целым числом?

3. При каких целых n значение выражения является целым числом?

4. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает в остатке 3, а при делении на 7 дает в остатке 4.

5. Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает в остатке 2, а при делении на 7 дает в остатке 6.

6. Остаток от деления нечетного числа на 7 равен 2. Найдите остаток о деления этого числа на 14.

7. Найдите все простые числа p, при которых число p2 + 1 – простое.

8. Найдите все простые числа p, при которых p + 4 и p + 20 – простые.

9. При каких натуральных n число 4n4 + 1 простое?

10. Для каких натуральных n > 4 НОД(n; n – 4) = 2?

Ответы: 1. n = 9k + 8, k – целое. 2. n = 5k + 1, k – целое. 3. n = 6k + 1, k – целое. 4. 18. 5. 27. 6. 9. 7. 2. 8. 3; указание: разбить число p на классы по модулю 3, т. е. рассмотреть случаи, когда p = 3k + 2, p = 3k. 9. 1; указание: в выражении 4n⁴ + 1 выделяем полный квадрат, раскладываем на множители, один из которых равен 1. 10. n = 2k, k – нечетное число; указание: применить свойство НОД(a, b) = НОД(a – b, b).
3. Решение уравнения в целых числах способом разложения на множители

Теория

Способы разложения на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, неопределенных коэффициентов, по формулам.

Формулы: a² – b² = (a + b)(a – b);

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), где x₁, x₂ – корни квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Теорема. Если многочлен Q(x) имеет корень x = a, то его можно представить в виде произведения Q(x) = (x – a) · P(x), где P(x) – многочлен степени на единицу меньшей, чем Q(x).
Образцы решения задач

Решите уравнения в целых числах:

1. x² – y² = 15; 2. xy + 2x + 3y = –1.

Решение

1. x² – y² = 15

Разложим левую и правую часть уравнения на множители, получим: произведение взаимно простых двучленов (x – y) и (x + y) равняется произведению 5 · 3 или произведению 15 · 1.

Рассуждаем так: один из множителей левой части равен ±5, другой в это время равен ±3; или один из множителей равен ±15, другой в это время равен ±1. Решаем системы:

1) 

2) 

3) 

4) 

Из полученных ответов нужно выбрать целые.

Ответ: (4; ±1), (–4; ±1), (8; ±7), (–8; ±7).

2. xy + 2x + 3y = –1

Решение

Раскладываем на множители буквенную часть: xy + 2x + 3y = (xy + 2x) + + (3y + 6) – 6 = (y + 2)(x + 3) – 6. Решаем уравнение (y + 2)(x + 3) – 6 = –1, (y + 2)(x + 3) = 5. Решаем системы, когда один из множителей равен ±5, а другой ±1.

Ответ: (–2; 3), (–4; –7), (2; –1), (–8; –3).

Тренажер 3
1. Решите уравнения в целых числах:
1) x2 – y2 = 3;	7) ;
2) x2 + 23 = y2;	8) ;
3) x2 – 1 = 3y;	9) xy + y2 – x – y = 4;
4) x2 + xy = 10;	10) x2y – 3xy + 5x = 20;
5) x2 – xy – 6y2 = 6;	11) xy2 + xy – y = 4;
6) x2 – 2xy – 3y2 = 5;	12) x2 – 3xy + 2y2 = 3.
2. При каких целых n значение выражения является натуральным числом?
а) ;	в) ;
б) ;	г) .

Ответы: 1. 1) (2; 1), (–2; 1); 2) (11; 12), (11; 12); 3) (2; 1); 4) (2; 3), (5; 3); 5) (4; 1), (3; –1); 6) (2; 1), (4; 1); 7) указание: приводим к целому виду, представляем в виде (x – 5)(y – 7) = 35; (6; –28) (4; 42) (–30; 8), (40; 6) (–2; 12) (12; 2); 8) указание: привести к целому виду и разложить буквенную часть на множители; (0; y – целое, y  0), (1; 8), (11; 32); 9) (2; 2), (2; –3), (4; 5), (–4; 0), (–1; –1), (–1; 3); 10) указание: представить в виде (x – 3)(xy + 5) = 5; (–2; 3) (4; 0) (2; –5); 11) (0; –4), (1; 2), (1; –2); 12) (5; 2), (2; 1). 2. а) 1, 7; б) 1, 2; в) 2, 7; г) 3, 9.
4. Решение линейных диофантовых уравнений

Теория

Теоремы

1. Уравнение ax + by = с имеет целочисленное решение в том и только в том случае, если с делится на НОД(a, b).

2. Если (x₀, y₀) – целочисленное решение уравнения ax + by = c, где a и b – взаимно простые числа, то любое целочисленное решение этого уравнения имеет вид x = x₀ + bt, y = y₀ – at, где t – целое число.
Образцы решения задач

1. Решите в целых числах уравнение 3x + 5y = 45.

Решение

НОД(3, 5) = 1, 3 и 5 – взаимно простые числа, уравнение имеет решения в целых числах. Подберем одно из них. Например, пара чисел (5, 6) являются решением этого уравнения. Тогда решениями этого уравнения будут числа (5 + 6t, 6 – 3t, t  Z).
Тренажер 4

1. Решите уравнение 3x + 5y = 13 в целых числах. Найдите среди корней такие, при которых выражение |x + y| принимает наименьшее значение.

2. Решите уравнение 7x – 3y = 11 в целых числах. Найдите среди корней такие, при которых выражение |x – y| принимает наименьшее значение.

3. Решите уравнение 5x + 3y = 44 в целых числах. Найдите среди корней такие, при которых выражение xy принимает наибольшее значение.

4. Решите уравнение 11x – 5y = 73 в целых числах. Найдите среди корней такие, при которых выражение xy принимает наименьшее значение.

Ответы: 1. x = 5 + 6t, y = 2 – 6t, t  Z; x = 16, y = – 16. 2. x = 2 – 3t, y = 1 – 7t, t  Z; x = 2, y = 1. 3. x = 1 + 3t, y = 13 – 5t, t  Z; x = 4, y = 8. 4. x = 3 – 5t, y = –8 – 11t, t  Z; x = 3, y = –8.