Системы счисления Система счисления

Системы счисления

Система счисления

• 1.Это способ изображения чисел и соответствующие ему правила действия над числами.

• 2.Это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр и знаков.

Все системы счисления

Непозиционная С.С.

• В таких с.с. от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает

• Пользовались египтяне, древние греки, римляне и другие народы.

Непозиционная С.С.

• I=1

• V=5

• X=10

• L=50

• C=100

• D=500

• M=1000

Непозиционная С.С.

• CCXXXII

• Складывается из двух сотен, трех десятков и двух единиц и равно 232.

Непозиционная С.С.

• Правила записи:

• Цифры записываются слева направо в порядке убывания и их значения складываются.

• Если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются.

• VI=5+1=6 IV=5-1=4

Непозиционная С.С.

• Были более или менее пригодны для выполнения сложения и вычитания, но непригодны для выполнения умножения и деления

Позиционная С.С.

• Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

• Основание позиционной С.С. – количество используемых цифр

• Ак рк +Ак-1рк-1 + … +А1 р + А0 р0

• р0=1

• Где р – основание с.с.

• а – цифры с.с

• к – число целых разрядов

Позиционная С.С.

• 2749

• 2 *103 + 7*102 + 4*101+9*100

• 2000+700+40+9=2749

• 384,9506

• 3*102 +8*10 + 4+ 9*10-1+5*10-2+6*10-4=

• 300+80+4+0,9+0,05+0,0006=384,9506

Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев , а восемь, то человечество пользовалось восьмиричной системой.

• Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев , а восемь, то человечество пользовалось восьмиричной системой.

• Н.Н. Лузин

• математик

Позиционная С.С.

• Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n<=10 используют n первых арабских цифр, а при n>10 к десяти арабским цифрам добавляют буквы.

Позиционная С.С.

• Вот примеры алфавитов нескольких систем:

Позиционная С.С.

• Основание системы, к которой относится число обозначается подстрочным индексом:

• 1011012, 36718, 3В8Е16

Перевод чисел из одной с.с. в другую

• 1123=1 *32+1*31+2*30=9+3+2=14

• 1011012=1*25+0*24+1*23+1*22+0*21+1*20

• Обратный перевод: 1510=8+4+2+1=1*22+1*22+1*21+1=11112

Перевод чисел из одной с.с. в другую

• Как перевести 15710= ?2

Сложение в двоичной с.с.

• В основе сложения чисел в двоичной системе счисления лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел.

Сложение в двоичной с.с.

• Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц производится перенос в старший разряд.

• В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 1102 и 112:

Проверим правильность вычислений

• 1102=1*22+1*21+0*20=610

• 112=1*21+1*20=310

• 10012=1*23+0*22+0*21+1*20=910

• 610+310=910

• Сложение выполнено верно.

Вычитание в двоичной с.с.

• В основе вычитания двоичных чисел лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел.

• При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда

Вычитание в двоичной с.с.

• Для примера производим вычитание двоичных чисел 1102 и 112:

Умножение чисел в двоичной с.с.

• В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел.

Умножение чисел в двоичной с.с.

• Рассмотрим пример умножения двоичных чисел 1102 и 112:

Деление чисел в двоичной с.с.

• Выполняется подобно операции деления в десятичной с.с.

• Разделим двоичное число 1102 и 112:

Задания

• Чему равны в десятичной с.с. следующие числа:XI, IX, LX, CLX, MDCXLVIII.

• Запишите римскими цифрами числа: 13; 99; 666; 444; 1692

Задания

• 3. Переведите числа из одной системы счисления в другую:

• 5610=?2 11112=?10

• 23С16=?10 5610=?8

• 5610=?5 1788=?10

• 1235=?10 2328=?10

• 2А,416=?10

Ответы:

• 5610=1110002 11112=1510

• 23С16=57210 5610=708

• 5610=2115 1748=12410

• 1235=3810 2328=15410

• 2А416=67610

Использование приложения «Калькулятор».

Переведите числа из десятичной с.с в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную с.с:

• 856, 664, 5012, 6435, 78, 214, 89, 998, 653, 111, 523, 65, 7000, 2307, 325, 12, 524, 76, 121, 56.