Т. А. Муканов, С. Т. Муканова эквивалентность понятий «обобщение производной шварца и исправленной производной с. Шарипова»

УДК 517.22
Т.А. Муканов, С.Т.Муканова
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПОНЯТИЙ «ОБОБЩЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ШВАРЦА И ИСПРАВЛЕННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ С. ШАРИПОВА»

В статье доказывается эквивалентность понятий «обобщение производной Шварца и исправленной производной по С. Шарипову».

Пусть дана функция




удовлетворяющая условиям:
У



словие (2) означает ,что функция С(x) непрерывна в точке t=a , а условие (3) означает , что это функция в точке t=a имеет левые и правые производные , но не дифференцируема по Ньютону . В остальных точках промежутка [t0 , T] , кроме точки t=a , данная функция дифференцируема по Ньютону .

Точку А(а , С(а)) будем называть точкой излома графика функции С(t).



Обобщение производной Шварца функции С(х) в точке t=a , как известно [1] , определяется равенством:





и

находится по формуле :



Исправленная производная функции С(х) по С. Шарипову в точке

t
=a , как известно [2], определяется равенством:



и находится по формуле :











Точку М0(а , С(а)) С. Шарипов назвал урчуктная точка , а функцию С(х) урчуктная функция . Считаем, что термин урчуктная функция не совсем удачен , так как этот термин звучит и не по-русски и не по-кыргызски.


Введя число


из формулы (5) получим формулу:

Докажем , что числа А и r в формулах (7) и (12) равны , т.е. что эти формулы совпадают. Для чего преобразуем предел (8).





Б
есконечно малые величины, как известно из теории классического анализа [3], всегда представимы в виде :






Учитывая равенства (14), найдём :












Рассмотрим случаи :

1. Пусть p=q , т.е. бесконечно малые величины

являются бесконечно малыми величинами одного порядка .В этом случае имеем:
П
оэтому

2

. Пусть

Тогда

П
оэтому

С другой стороны , в рассматриваемом случае

представимы в виде




Т

Отсюда заключаем , что
аким образом ,и в этом случае А=r
3
. И , наконец , пусть

В
этом случае имеем :

и А=0.


С другой стороны , в рассматриваемом случае

п
редставимы в виде :

О
тсюда заключаем , что

И
так , и в этом случае

Объединяя все эти три случая, доказали следующую теорему :

Теорема 1. Пусть функции С(х) удовлетворяют условиям (2) , (3) и имеют место определения (4),(5) .

Тогда верно равенство

Докажем следующую важную теорему :

Теорема 2. Понятия «обобщение производной Шварца и исправленной производной С. Шарипова» эквивалентны .
Д
оказательство. Сначала покажем ,что из определения (4) следует определение (6). Действительно , введя обозначения в определения (4)


и, учитывая, что

имеем:







Поэтому верно равенство (17) .

Обратное следование определения (4) из определения (6) вытекает из доказательства теоремы 1. Между прочим, в том случае, когда


бесконечно малые величины одного порядка это доказывается непосредственно. Действительно, в этом случае




и




, p=q .Поэтому из определения (6) получим:









Отсюда получим истинность формулы (17) и доказательство теоремы 2.
Рассмотрим следующий пример.

П
ример:

Точка М0(1,1) есть точка излома графика функции ,т.к.

С
огласно доказанной теоремы и формул (7) и (12) находим :

Т ак как
то , согласно теоремы [3], данная функция в точке
имеет максимум:

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Муканов Т.А. Следствие формулы нахождения обобщенной производной Щварца //Вестник ИГУ, -№9, -2003.
   
1. 
   Шарипов С., Шарипов К.С. Об единственности производной урчуктной непрерывной функции //Вестник ИГУ, -№9, -2003.
   
2. 
   Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1, -М.:Наука, 1969.
   
3. 
   Муканов Т.А., Муканова С.Т. Обобщение производной Шварца и её геометрический смысл //Вестник ИГУ, -№11, -2004.