Теория сигналов и систем

ПРИМЕНЕНИЕ КОМБИНИРОВАННЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ АНАЛИЗА СИСТЕМЫ ТАКТОВОЙ И ЦИКЛОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ
Чвало В.А., Новиков В.Ю., Волченков А.В.
Ярославский Государственный Университет им. П.Г. Демидова

В большинстве методов анализа системы цикловой синхронизации учет работы системы тактовой синхронизации осуществляется за счет значений ее средней ошибки. Интерес представляет исследование влияния реальных помех на обе системы в целом. Для этого необходимо две простых системы синхронизации представить как одну комбинированную. Сложность состоит в переводе систем более низкого уровня синхронизации во временное измерение систем высокого уровня.

В данной работе предложен метод для исследования комбинированной системы тактовой и цикловой синхронизации в условиях воздействия фазовой и аддитивной помехи. На рис. 1. показана комбинированная цепь Маркова, которая состоит из двух графов разных уровней синхронизации.

а) б)

Рис. 1. Математическая модель системы синхронизации в виде графа комбинированной цепи Маркова.
На рис. 1а. показан граф системы тактовой синхронизации (СТС) [1], где номер состояния i обозначает текущее значение скомпенсированного фазового сдвига v, P_x,y - вероятность перехода цепи Маркова из состояния X в состояние Y (1), вероятность P_x,y учитывает аддитивную помеху и связана с реализацией алгоритма ВМКО [1], S_X,Y – вероятность перехода (2), обусловленная фазовыми флуктуациями, N – число отчетов на бит. На рис. 1б. показан граф системы цикловой синхронизации (СЦС) на основе алгоритма выбора максимума корреляции битов (ВМКБ) с параллельным исканием, где j – ее текущее состояние, L – длина цикла, G1_X,Y (3) и G2_X,Y (4) – вероятности перехода, учитывающие аддитивную помеху после СТС, и связаны с реализацией алгоритма ВМКБ. Система состоит из двух параллельно работающих подсистем: удержания цикловой синхронизации и поиска синхрослова.

Рис. 2. Функциональная схема 4-х канального циклового синхронизатора, построенного по алгоритму ВМКБ

Функциональная схема СЦС ВМКБ приведена на рис. 2. Система является четырехканальной цифровой системой слежения, в которой подстройка опорного генератора осуществляется за счет анализа корреляционных свойств применяемых последовательностей. В этой схеме на вход СЦС поступает последовательность битовых сигналов, искажённая аддитивной помехой r(k). Схему можно разделить на две подсистемы: на одноканальную систему поиска синхрослова и на трехканальную систему удержания. В первой подсистеме рассчитывается корреляционный момент Z(i) последовательности битов с генератора циклического сдвига T[k+i] (i – постоянный битовый сдвиг на цикле) и отсчётов сигнала r[k] на интервале, равном длительности синхрослова. В схеме выбора максимума (СВМ₁) полученный момент сравнивается с предыдущим максимумом, если результат сравнения положительный, в буфер, который при каждом срыве синхронизма сбрасывается, записывается значение момента, а в блок оценки момента синхронизации №2 посылается текущее значение битового сдвига i. Если результат сравнения отрицательный, то посылается 0. Тем самым с каждым шагом происходит корректировка подсистемы удержания, принцип работы которой аналогичен СТС ВМКО [1].

Элементы матрицы перехода P_NxN цепи Маркова СТС, отвечающей за алгоритм работы ВМКО [1]:

, (1)

где - вектор центрированных корреляционных моментов [1], Q - матрица корреляции компонентов этого вектора [1].

Элементы матрицы перехода S_NxN, отвечающей за фазовое воздействие на СТС [1]:

, (2)

где – нормированное СКО фазового шума, j = 0…N–1, i = 0…N–1.

Элементы матрицы G1_LxL, характеризующей работу подсистемы удержания [1]:

, (3)

где – вектор центрированных корреляционных моментов, Q1_SFS – матрица корреляции компонентов этого вектора [1], L – длина цикла, K – длина синхрослова, σ_SFS – СКО аддитивного шума на выходе детектора, ₁, ₂, ₃ – области в пространстве вектора центрированных корреляционных моментов, в которых соответствующий его компонент больше остальных.

Элементы матрицы G2_LxL, характеризующей работу подсистемы поиска синхрослова [1]:
(4)

где – вектор центрированных корреляционных моментов,

.

Получаем матрицу состояния комбинированной цепи: , (5)

где – матрица, характеризующая работу СТС за цикл (6), G – матрица перехода СЦС (8).

, (6), где W – матрица, характеризующая работу СТС за бита (7).

. (7). Матрица перехода цепи Маркова СЦС: . (8)

Выражение (5) можно представить в следующем виде: , (9)

где R_NLxNL ­– матрица, характеризующая работу комбинированной цепи.

Состояние комбинированной цепи определяется двумя состояниями (i, j) и определяется матрицей состояния M_NxL (9). Рабочее время системы равно одному циклу. Всего возможных состояний системы – NL.

Полученные выражения (5) и (9) позволяют рассчитать достаточно широкий набор статистических характеристик, описывающих качество работы системы, таких как среднее время вхождения в синхронизм, среднее время до срыва слежения, средняя ошибка синхронизации.

На основе построенной модели и полученных выражений для матрицы вероятностей перехода были проведены исследования статистических характеристик описанной модули цикловой синхронизации. Некоторые результаты для случая комбинированного воздействия аддитивной и фазовой помех представлены на рис. 3. Здесь σ – СКО фазового шума на входе СТС, q1 – отношение сигнал / аддитивный шум на входе СТС, N – количество отсчетов на бит, L – длина цикла, K – длина синхрослова, q2 – отношение сигнал / аддитивный шум на входе СЦС.

Рис. 3. СКО ошибки синхронизации для q1 = 20 дБ ,q2 = 20 дБ, N = 16, K=4.
На рис. 3 показана зависимость СКО ошибки от σ для разных длин цикла. Интересным результатом здесь является уменьшение СКО ошибки при увеличении L. Данный результат можно объяснить тем, что, чем длиннее цикл, тем у СТС возрастает время для возвращения в состояние синхронизма, выход из которого зависит от интенсивности помех в канале.

Детальный анализ результатов показывает, что наличие комбинированных шумов в канале очень сильно влияет на работу СЦС. Поэтому качество ее работы практически зависит от функционирования СТС.

Литература

1. Александров А.С., Чвало В.А. и др. Применение цепей Маркова для анализа системы тактовой синхронизации, функционирующей в условиях комбинированных случайных воздействий // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004, №3. C.83-95.

2. Чвало В.А. и др. Применение цепей Маркова для анализа комбинированной системы тактовой и цикловой синхронизации. // труды научно-технического семинара "Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания", Белгород, 2006, С.48-50.

3. Брени С. Синхронизация цифровых сетей связи. М.: Мир, 2003. 456 с.

4. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: "Советское радио", 1977. 488 с.


Application of combined Markov chains for the analysis of system of clock and frame synchronization
Chvalo V., Novikov V., Volchenkov A.

Yaroslavl State University

Development of modern systems of transfer of the information generate need for universal and more effective methods of the analysis. In the majority of methods of the analysis of system of frame synchronization (SFS) the account of work of system of clock synchronization (SCS) is carried out due to values of its average mistake. Interest represents research of influence of real noise on both systems as a whole. For this purpose it is necessary to present two simple systems of synchronization as one combined. Complexity consists in translation of systems of lower level of synchronization in time measurement of systems of a high level. For satisfaction of such need the method of the analysis on the basis of Markov chains (fig. 1), described by expression (1) well approaches.


Fig. 1. Mathematical model of system of synchronization in the form of the column of combined Markov chain.
The equation of combined Markov chain [1]: , (1)

where R_NLxNL ­– matrix, describing work of the combined chain, M_NL – a matrix of conditions, N – number of readout on bit, L – number of bits in a frame, i – a current condition of a circuit.

Expression (1) allows to calculate wide enough set of the statistical characteristics describing quality of work of system, such as average time of ocurrence in synchronism, average time before failure of tracking, an average mistake of synchronization.

The detailed analysis of the results received by means of (1), shows, that presence of the combined noise on an input of system of clock synchronization very strongly influences work SFS. Therefore quality of its work practically depends on functioning SCS.

Bibliography

1. Александров А.С., Чвало В.А. и др. Применение цепей Маркова для анализа системы тактовой синхронизации, функционирующей в условиях комбинированных случайных воздействий // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2004, №3. C.83-95.

2. Чвало В.А. и др. Применение цепей Маркова для анализа комбинированной системы тактовой и цикловой синхронизации. // труды научно-технического семинара "Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания", Белгород, 2006, С.48-50.

3. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: "Советское радио", 1977. 488 с.




АНАЛИЗ КИХ-ФИЛЬТРОВ ПРИ ВХОДНЫХ СИГНАЛАХ КОНЕЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ

Мокеев А.В.

Архангельский государственный технический университет
В работах [1,2] рассмотрен анализ стационарных и нестационарных режимов БИХ-фильтров на основе спектральных представлений сигналов и систем в координатах комплексной частоты при входных сигналах в виде совокупности затухающих колебательных составляющих.

Рассмотрим использование рассмотренного подхода для анализа работы аналоговых КИХ-фильтров для случая, когда входной сигнал фильтра представляет собой совокупность затухающих колебательных составляющих конечной длительности.

Математическая модель входных сигналов КИХ-фильтра представим в матричной форме как совокупность затухающих колебательных составляющих конечной длительности . (1)

При этом выражения для i-х элементов векторов и , определяющих i-ю составляющую входного сигнала

, (2)

, (3)

где и - соответственно время начало и конца i-й составляющей входного сигнала.

Амплитуда и начальная фаза второй компоненты (3) должны быть подобраны таким образом, чтобы обеспечить конечность i-й составляющей входного сигнала , .

Изображения по Лапласу входного сигнала , где i-е элементы векторов и равны , ,

и - диагональные матрицы, i-е элементы которых равны и .

Обобщенную весовую функцию КИХ-фильтра представим также в виде в виде совокупности затухающих колебательных составляющих конечной длительности . (4)

При этом выражения для j-х элементов векторов и

, ,

где - длительность (длина) весовой функции.

Для обеспечения конечности j-й составляющей весовой функции необходимо выполнение следующих условий: ,.

Передаточная функция КИХ-фильтра , где j-е элементы векторов и равны , , - диагональная матрица, j-й элемент которой равен .

В [2,3] показано, что для входных сигналов и фильтров с весовыми функциями в виде затухающих колебательных составляющих при использовании спектральных представлений сигналов и систем в координатах комплексной частоты можно определить не только принужденные составляющие выходного сигнала фильтра, но и свободные составляющие выходного сигнала частотного фильтра.

Распространим указанный подход на случай сигналов и весовых функций в виде совокупности затухающих колебательных составляющих конечной длительности.

Выражение принужденной составляющей реакции фильтра согласно принципа суперпозиции можно определить как разность двух компонент, определяемых соответственно как реакции на воздействия первой и второй компонент входного сигнала . (5)

При этом элементы векторов и определяются на основании физического смысла частотных характеристик в координатах комплексной частоты [1,2] с учетом временного сдвига составляющих входного сигнала и составляющих второй компоненты передаточной функции

, , где и - диагональные матрицы, элементы которых определяются как значения передаточных функций и на комплексных частотах, соответствующих параметрам составляющих входного сигнала; и - векторы комплексного сигнала, соответствующие компонентам входного сигнала и , с учетом временного сдвига составляющих входного сигнала; и - векторы комплексного сигнала, соответствующие и , с учетом временного сдвига составляющих входного сигнала и дополнительного сдвига, создаваемого второй компонентой передаточной функции фильтра.

Приведем выражения для i-х составляющих векторов , , и

, ,

, .

Выражение для свободной составляющей можно вывести, используя схожесть математического описания сигналов и фильтров [1,2] . ( 6)

Выражения для определения первой и второй компоненты

, , где и - диагональные матрицы, элементы которых определяются как значения и на комплексных частотах, соответствующих параметрам составляющих весовой функции фильтра; и - комплексные векторы, соответствующие компонентам весовой функции и , с учетом временного сдвига составляющих входного сигнала; и - векторы комплексного сигнала, соответствующие и , с учетом временного сдвига составляющих входного сигнала и дополнительного сдвига, создаваемого второй компонентой передаточной функции фильтра.

Приведем выражения для j-х составляющих векторов ,, и

, ,

, .

Из-за специфики КИХ-фильтров принужденная составляющая различна для различных отрезков времени, что не совсем согласуется с традиционными представлениями. В том случае, когда необходимо обеспечить одинаковую зависимость для принужденной составляющей на всем рассматриваемом промежутке времени, то рекомендуется использовать следующие выражение для расчета принужденной составляющей КИХ-фильтра , (7)

где диагональная матрица, элементы которых определяются как значения передаточной функции на комплексных частотах, соответствующих параметрам одноименных составляющих входного сигнала.

При этом разность между в этом случае следует отнести к свободной составляющей выходного сигнала КИХ-фильтра . (8)

Так как все вектора должны иметь одинаковую размерность, то вектор (или два вектора) меньшей размерности дополняется нулями.

Рассмотрим простой пример. Математическое описание фильтра и сигнала

, , , .

Изображения компонент входного сигнала и весовой функции

, , , , ,

Комплексный сигнала и весовая функция

, , , , , ,

, .

Предварительно определяем

, , ,, .

Принужденные составляющие

,

,

Свободные составляющие

,

,

Принужденная составляющая согласно (7)

,

На рис. 1 приведены графики принужденной (кривая 1) и свободной (кривая 2) составляющих выходного сигнала и суммарный выходной сигнал


1

а)

б)


Предложенный метод анализа КИХ-фильтров с использованием спектральных представлений в координатах комплексной частоты может быть достаточно просто распространен и для анализа цифровых КИХ-фильтров. При этом необходимо использовать дискретные аналоги выражений (1÷8).

Литература

1. 
   Мокеев А.В. Анализ фильтров в координатах комплексной частоты // Труды РНТОРЭС им. А.С.Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. Выпуск: IX-1.- Москва, РНТОРЭС , 2007. – (в настоящем сборнике).
   
2. 
   Мокеев А.В. Использование спектральных представлений сигналов и систем на основе преобразования Лапласа для анализа линейных систем // Труды РНТОРЭС им. А.С.Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. Выпуск: VIII-1.- Москва, РНТОРЭС , 2006. - т.1, с.43-47.
   
3. 
   Мокеев А.В. Анализ и синтез частотных фильтров с использованием спектральных представлений на основе преобразования Лапласа // Сборник докладов XII Междунар. научно-техн. конф. «Радиолокация, навигация, связь» (RLNC-2006). – Воронеж, 2006. - т.1, с. 1174-1186.
   



ANALYSIS OF FIR FILTERS UNDER INPUT SIGNALS OF FINITE DURATION

Mokeev A.

The Arkhangelsk State Technical University

In the report it is considered the analysis of frequency filters for a case, when impulse function of the filter and an input signal are represented as set of fading oscillatory components of finite duration.

The description of a signal and impulse function of the filter in the matrix form , , where elements of vectors , ,, are fading oscillatory components.

Differences of two vectors due to selection of parameters of fading oscillatory components provide receiving of a signal’s (impulse function’s) vectors, which have finite duration elements.

On the basis of physical meaning of frequency responses in coordinates of complex frequency, taking into consideration of a principle of superposition we shall receive following formula for a vector forced components of the filter , where and - diagonal matrixes, which elements are defined as meaning of two components of transfer functions of the filter and on the complex frequencies, defined by the parameters of an input signal’s components; and - the vectors of a complex signal corresponding components of an input signal and , taking into consideration time shift of an input signal’s components; and - the vectors of a complex signal corresponding and , taking into consideration time shift of an input signal’s components and the additional shift created by second components of the filter’s transfer function.

On the basis of physical meaning of a signal’s spectra in coordinates of complex frequency we shall receive following formula for a vector of free components +,

where and - diagonal matrixes, where elements are defined as values and on the complex frequencies, defined parameters by components of impulse function’s filter; and - the complex vectors, corresponding to components of impulse response and , taking into consideration time shift of an input signal’s components; and - the vectors of a complex signal corresponding to and , taking into consideration time shift of an input signal’s components and the additional shift, created by second components of the filter’s transfer function.

Use of the offered approach of the filters’ analysis with use of spectral expansion based on Laplace transform can be widespread in digital filters by simple substitutions.

References

1. 
   Mokeev A.V. Analysis of filters in coordinates of complex frequency // Proceedings of the 9-th International Conference on Digital Signal Processing and its Application (DSPA-2007). - Moscow, 2007. – (In the Proceedings).
   



АНАЛИЗ СПЕКТРА В КООРДИНАТАХ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
КИХ-ФИЛЬТРОВ

Мокеев А.В.

Архангельский государственный технический университет
Использование спектральных представлений в координатах комплексной частоты позволяет эффективно решать задачи анализа и синтеза частотных фильтров [1,2]. При этом в качестве базовой функции спектрального преобразования используется затухающее колебание.

Наиболее эффективно применение спектральных представлений на основе преобразования Лапласа в тех случаях, когда входной сигнал и весовая (импульсная) функция фильтра могут быть представлены совокупностью затухающих колебательных составляющих или их частных случаев, экспоненциальных составляющих, «полубесконечных» синусоидальных или постоянных составляющих. При этом для анализа работы фильтра достаточно иметь информацию о конечном количестве значений спектральной плотности сигнала, определяемых порядком фильтра, и конечном количестве значений передаточной функции, определимых количеством составляющих входного сигнала [1].

При синусоидальных входных сигналах значение комплексного коэффициента передачи фильтра, полученное с помощью преобразования Фурье на частоте входного сигнала, определяет закон изменения амплитуды и фазы сигнала. В том случае, если в качестве базовой функции спектрального преобразования использовать вместо синусоидального затухающее колебание, то можно расширить традиционные спектральные представления.

Примем для простоты, что входной сигнал и весовая функция фильтра представляют собой затухающую колебательную составляющую. При этом из физического смысла частотных характеристик фильтра и спектра сигнала в координатах комплексной частоты следует [1]

1. 
   отличие принужденной составляющей от входного сигнала определяется значением передаточной функции на комплексной частоте, определяемой параметрами входного сигнала;
   
2. 
   отличие свободной составляющей от весовой функции определяется значением спектральной плотности входного сигнала на частоте, определяемой параметрами весовой функции.
   

Поясним указанные зависимости со спектральной точки зрения [2]. Спектр затухающей колебательной составляющей при использовании преобразования Лапласа трехмерный и содержит наряду со сплошным спектром одну дискретную линию. Последняя определена на комплексной частоте, вещественная часть которой равна со знаком минус коэффициенту затухания, а мнимая – частоте входного сигнала. Спектральная плотность сигнала на указанной частоте пропорциональна дельта-функция и с учетом фильтрующего действия определяет принужденную составляющую выходного сигнала фильтра. Остальные участки спектра характеризуют переходный процесс в фильтре, вызванной скачкообразным изменение входного сигнала в момент времени, равный нулю. С другой стороны, АЧХ, построенная в координатах комплексной частоты, представлена также сплошным спектром и одной дискретной линией на комплексной частоте весовой функции. При этом дискретная линия определяет закон изменения свободной составляющий по отношению к весовой функции фильтра.

Таким образом, в общем случае, когда входной сигнал и весовая функция системы состоят из совокупностью затухающих колебательных составляющих, для анализа фильтров достаточно обладать информацией о дискретных компонентах спектрах сигнала и дискретных компонентах частотных характеристик в координатах комплексной частоты. Указанные выше свойства спектральных характеристик сигнала и фильтра в координатах комплексной частоты позволяют расширить область применения символического метода [3].

Возможно распространение частотно-временного подхода с использованием преобразования Лапласа и на передаточную функцию частотного фильтра. Передаточная функция при этом будет зависеть не только от комплексной частоты, но и от времени [2]. При входном сигнале и весовой функции фильтра в виде затухающей колебательной составляющей модуль передаточной функции фильтра на комплексной частоте, определяемой параметрами сигнала, описывает огибающую выходного сигнала фильтра, а ее аргумент - изменение фазы. После завершения переходных процессов в фильтре указанные значения модуля и аргумента передаточной функции будут соответствовать изменению начального значения и фазы принужденной составляющей выходного сигнала фильтра.

Эффективность использования спектральных представлений на основе преобразования Лапласа связана так же с тем обстоятельством, что частотные фильтры являются анализаторами спектра в координатах комплексной частоты [2]. При этом огибающая выходного сигнала фильтра с весовой функцией в виде затухающей колебательной составляющей будет приблизительно пропорциональна (в случае КИХ-фильтров имеет место точная зависимость) значению модуля мгновенного спектра входного сигнала на комплексной частоте, определяемой параметрами определенной составляющей импульсной функции фильтра, а начальная фаза - аргументу мгновенного спектра при тех же условиях.

Рассмотрим более подробно вопрос использования КИХ-фильтров для анализа спектра сигнала в координатах комплексной частоты. Для многих практических случаев весовую функцию КИХ-фильтра целесообразно представить в виде совокупности затухающих колебательных составляющих конечной длительности . (1)

При этом каждая из m составляющих весовой функции является анализатором мгновенного спектра сигнала в координатах комплексной частоты, или по-другому, анализатором спектра сигнала при использовании преобразования Лапласа , где - длительность j-й составляющей весовой функции, , .

При этом огибающая j-й составляющей выходного сигнала КИХ-фильтра пропорциональна значению модуля мгновенного спектра входного сигнала на комплексной частоте, определяемой параметрами j-ой составляющей импульсной функции фильтра, а начальная фаза - аргументу мгновенного спектра при тех же условиях , где и - значение модуля и аргумента мгновенного спектра на комплексной частоте при времени наблюдения , равному длительности (длине) весовой функции фильтра.

Для анализа спектров сигналов в координатах комплексной частоты предлагается использовать следующие весовые функции КИХ-фильтров

, (2)

, (3)

где и - передаточные функции КИХ-фильтров, соответствующие весовым функциям (2) и (3); , , , .

Для определение модуля и аргумента мгновенного спектра на заданной комплексной частоте используются следующие выражения , , (4)

где и соответственно выходные сигналы фильтров с весовой функцией (2) и (3).

Рассмотрим вопрос практической реализации КИХ-фильтров с весовыми функциями (5) и (6). Для этого осуществим переход от описания аналогового фильтра-прототипа к математическому описанию цифрового КИХ-фильтра по методу дискретизации весовой функции.

Получим следующие выражения для весовой функции первого

(5)

и второго фильтра , (6)

где - шаг дискретизации, - целочисленная переменная, определяющая текущее дискретное время .

Воспользовавшись Z-преобразованием получим следующее выражение для системной функции первого КИХ-фильтра , (7)

где N – количество отсчетов, приходящихся на длину весовой функции; , , ; , ; ; .

На основании выражения для системной функции (7) определим алгоритм первого фильтра

. (8)

Для второго цифрового фильтра выражение для системной функции будет отличаться только коэффициентами числителя, а для алгоритма фильтра – соответственно первыми 4 коэффициентами выражения (8).

В отличии от классической реализации КИХ-фильтров вместо формирования выходного сигнала в виде взвешенной суммы из N-го количества отсчетов входного сигнала требуется использование всего 4-х отсчетов входного сигнала и двух отсчетов выходного сигнала. Таким образом эффективность вычислений растет по закону (N-6) с уменьшением периода дискретизации. При этом алгоритм (8) включает рекурсивные вычисления как и у БИХ-фильтров. Но принципиальное отличие состоит в конечной длине весовой функции фильтра.

Для определения модуля и аргумента мгновенного спектра на рассматриваемой частоте используются дискретные аналоги выражений (4).

Следует отметить, что полученный алгоритм фильтра (8) обладает более высокой эффективностью вычислений по сравнению с традиционными КИХ-фильтрами. И в отличии от ряда других известных способов определения быстрых алгоритмов КИХ-фильтров, например [5-9], имеем дело с простым и эффективным методом синтеза алгоритма фильтра.

Частными случаями КИХ-фильтров с весовыми функциями (5) и (6) являются фильтры, выполняющие анализ мгновенного спектра с использованием преобразования Фурье (), в том числе фильтры, реализующие алгоритмы скользящего среднего (,). Во втором случае на сновании (8) при получим следующий алгоритм усредняющего фильтра . (9)

Для уменьшения вычислительных затрат примем и обозначив получим следующее выражения для расчета скользящего среднего . (10)

При практической реализации алгоритма (9) в случае использования целочисленных коэффициентов фильтра при значительных расхождениях от истинного значения весовая функция не будет конечной. Поэтому при практической реализации представляет несомненный интерес алгоритм (10), в котором все коэффициенты целочислены и равны 1.

Спектральные представления в координатах комплексной частоты эффективны во многих случаях и при использовании оконных преобразований Фурье и Лапласа при временных окнах, отличных от прямоугольного. При этом для анализа мгновенного спектра с помощью КИХ-фильтров в общем случае необходимо использовать весовую функцию в виде затухающей колебательной составляющей конечной длительности, умноженною на специальное временное окно. Указанное произведение во многих случаях может быть представлено в виде конечного количества затухающих колебательных составляющих конечной длительности. Например, умножение весовой функции общего вид (1) на весовую функцию в виде треугольного окна (окно Барлетта) соответствует последовательному соединению двух КИХ-фильтров с весовой функцией вида (1).

КИХ-фильтр, выполняющий функции усредняющего среднего с использованием треугольного окна, соответствует последовательному соединению двух фильтров (9), т.е. соответствует фильтру, реализующему двойное скользящее интегрирование. При этом алгоритм фильтра .

При и получим следующее выражения для алгоритма фильтра

. (8)

Представление КИХ-фильтров как анализаторов мгновенного спектра в координатах комплексной частоты позволяет упростить решение задач анализа фильтров при входных сигналах в виде совокупности затухающих колебаний.