Теория сигналов и систем

synchronization OF A chaotic SySTEM, BASED ON THE algorithm OF AN optimal nonlinear filtration

Kotochigov A., Khodunin A.,Konovalova Yu.

Yaroslavl State University
Attraction of the dynamic chaos from the point of view of its relations with the link systems, most of all determines by the chaotic signals’ and systems’ qualities.

An ability to use chaotic oscillations for the transportation of the information mostly determines by the ability of chaotic oscillations’ synchronization in the transmitter and receiver.

Dynamic systems, in which a chaotic oscillations can be seen, are the typical representatives of the nonlinear systems. The existing means of the optimal linear and nonlinear filtration are well developed. [1,3,4]. What about chaotic systems means are developed not at such level. Its good to mention some ideas, used in [6,7]. Working out the algorithm of the synchronization of the chaotic system with the help of algorithm of an optimal nonlinear filtration is the goal of this work.

On a base of the mathematic means of theory of an optimal nonlinear filtration markov’s processes a synthesis of optimal receiver of chaotic oscillations is done in this work. The algorithm of receipting for the generator of chaos, which is described by the two-component discrete reflection is turned out. computational modeling confirming the theoretical results is done. The dependence of dispersion’s mistake from the noise-to-signal ratio is turned out.

Wile the synchronization by the one component generator LOCI performs the excellent noise immunity (component). It also shows not bad results while the transmission of both components even when the noise-to-signal meaning is not high. While the transmission of the component the destructions of the synchronization are happening, which are alternate with the intervals of its establishment, this makes the meanings of estimate dispersion component.



ПОСТРОЕНИЕ ПСЕВДОБАЙЕСОВСКОЙ ОЦЕНКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КУМУЛЯНТОВ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Шатилов С.В.
ГОУВПО Поволжская Государственная Академия Телекоммуникаций и Информатики

Рассмотрим задачу оценивания сигнала, представляющего собой реализацию негауссовского случайного процесса (СП), на фоне белого гауссовского шума (БГШ). В зависимости от наличия априорной информации оцениваемого сигнала и шума можно синтезировать приемник, который реализует тот или иной критерий оптимальности [1]. Когда известно полное вероятностное описание СП и шума, то наилучшей оценкой является байесовская оценка, дающая минимальное значение среднеквадратической ошибки (СКО) оценки. Если отсутствует априорная информация об оцениваемом СП, но известны характеристики шума, в этом случае можно реализовать оценку максимального правдоподобия. При этом СКО оценки максимального правдоподобия больше СКО байесовской оценки. В случае, если нет никаких вероятностных характеристик рассматриваемых случайных процессов, то в данной ситуации можно оценить СП, используя алгоритм наименьших квадратов. Оценка, получаемая при применении алгоритма наименьших квадратов, имеет большее значение СКО из выше указанных оценок.

В теории оптимального оценивания [2] вводится псевдобайесовская оценка. Принцип построения этой оценки заключается в следующем: если среднее значение и ковариационная матрица негауссовского процесса известны (при неизвестной плотности вероятности этого процесса), то псевдобайесовская оценка строится по правилу построения байесовской оценки при гауссовском характере СП и шума с использованием известных среднего и ковариационной матрицы негауссовского процесса.

Рассмотрим построение псевдобайесовской оценки. Пусть , для (1),

где – реализация центрированного негауссовского СП; – реализация БГШ.

Перейдем от непрерывного времени к дискретному, представив сигнал на интервале анализа выборкой , где . В этом случае задача оценивания сигнала сводится к задаче оценивания вектора .

В [1] показано, что псевдобайесовская оценка находится из уравнения

или , (2) где – матричный оператор частных производных.

Если для справедлива гипотеза о нормальности, то и , где – ковариационная матрица центрированного гауссовского СП; – ковариационная матрица шума.

Решением уравнения (2) является . (3)

Из (3) следует, что для построения псевдобайесовской оценки необходимо знать лишь ковариационные матрицы СП и шума. В силу того, что ковариационная матрица неизвестна, можно найти ее оценку , основываясь на выборке и использовать ее при построении псевдобайесовской оценки вектора . Если оценка строится на основе выборки , то такая оценка вектора называется эмпирической псевдобайесовской оценкой [2].

Существуют несколько способов оценки ковариационной матрицы [3]. В частности, широко применяется метод Бартлета [4]. При использовании этого метода элементы ковариационной матрицы СП находятся из следующего выражения , .

В [3] приводится другой метод оценки элементов ковариационной матрицы, который основан на использовании кумулянтов порядка выше второго. Суть этого метода заключается в следующем.

Пусть является последовательностью отсчетов стационарного негауссовского СП, которая наблюдается на выходе линейной системы при подаче на ее вход независимой одинаково распределенной негауссовской последовательности с нулевым средним значением, т. е. , где – отсчеты импульсной характеристики (ИХ) линейной системы (ЛС).

Если имеет конечные моменты до порядка и последовательность абсолютно суммируемая, тогда кумулянт выходной последовательности , абсолютно суммируемый и может быть представлен как скалярное произведение корреляции отсчетов ИХ ЛС порядка и входного кумулянта , где ;
.

Для любого гауссовского СП кумулянты порядка выше второго равны нулю [5], т. е. , для (4).

Из (4) следует, если последовательность отсчетов негауссовского СП рассматривается на фоне последовательности отсчетов БГШ , тогда отсчеты последовательности имеют кумулянты

для .

В [3] приводится выражение для расчета элементов ковариационной матрицы

, (5) где ; ;

; ; ; – передаточная функция ЛС.

Т. о., оценка элементов ковариационной матрицы сводится к двум этапам:

• 
  по зашумленной последовательности отсчетов производится вычисление кумулянтов третьего порядка ; (6)
  

• 
  по рассчитанным значениям кумулянтов (6), производится оценка элементов ковариационной матрицы . Сравнение двух оценок позволяет сделать выводы [3]:
  

• 
  оценка при использовании метода Бартлета является смещенной, а при использовании кумулянтов является асимптотически несмещенной;
  
• 
  дисперсия оценки , которая основана на применении статистики высокого порядка в 2-3 раза больше дисперсии оценки, получаемой по Бартлету.
  

Так как СКО определяется суммой дисперсии этой оценки и квадрата смещения [6], то из [3] следует, что СКО оценки , которая строится по кумулянтам третьего порядка имеет меньше значение по сравнению с оценкой, получаемой при использовании метода Бартлета.

Таким образом, используя кумулянтный анализ для оценивания ковариационной матрицы, можно построить эмпирическую псевдобайесовскую оценку сигнала, представляющего собой реализацию центрированного негауссовского СП, на фоне БГШ.

Литература

1. 
   Ван Трис. Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. Нью-Йорк, 1968. Пер. с англ., под ред. проф. В. И. Тихонова. М., «Советское радио», 1972, 744 с.
   
2. 
   Сейдж Э., Мелс Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении. – М.: Сов. радио, 1976.
   
3. 
   G. B. Giannakis, A. Delopoulos. Cumulant-based autocorrelation estimates of non-Gaussian linear process. // Signal Processing, vol. 47, 1995, pages 1-17.
   
4. 
   M. B. Priestley, Spectral Analysis and Time Series, Academic Press, London, 1981.
   
5. 
   Малахов А. Н.. Кумулянтный анализ случайных негауссовских процессов и их преобразований. – М.: Сов. радио, 1978.
   
6. 
   Фигурин В.А., Оболонкин В.В., Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – Мн.: ООО « Новое знание», 2000 – 208 с.
   



CONSTRUCTION OF A PSEUDO-BAYESIAN ESTIMATE BY USING THIRD-ORDER CUMULANT

Shatilov S.

Povolgskay State Academy of Telecommunication and Informatics

In the estimation theory [1] is entered a pseudo-bayesian estimator. The principle of construction of this estimator consists in the following: if a mean and a covariance matrix of the non-Gaussian process are known (at unknown probability density of this process), so the pseudo-bayesian estimator is constructed like bayesian estimator for gaussian character of the random process and noise by using mean and covariance matrixes non-Gaussian process.

Let , for , where – realization zero-mean non-Gaussian process; – realization additive Gaussian noise (AGN). Let transit from continuous time to discrete, in this case on an interval of the analysis the signal can be presented by sample , where . So the problem of the signal estimation is reduced to a problem of the estimation a vector . From [2] it is known, that the pseudo-bayesian estimator is defined by expression . (1). From (1) follows, that for construction pseudo-bayesian estimator it is necessary to know only covariance matrixes of the random process and noise. Thus the covariance matrix non-Gaussian process is not known, so it is possible to find estimator , which based on sample , to use for construction pseudo-bayesian estimator of a vector . In [2] the algorithm of calculation of elements covariance matrixes which will consist of two stages is resulted:

• 
  given N samples of the zero-mean noisy time series obtain consistent 3rd-order cumulant estimators; e.g., using the biased estimator ; (2)
  

• 
  using cumulant estimators (2) to construct the elements covariance matrixes estimators . The covariance matrixes estimator, based on using cumulant, has smaller mean square error (MSE) in comparison with MSE of the estimators which received by using of other methods an estimation, in particular Bartlet`s method[2]. Thus, using the higher-order statistics to estimate the covariance matrixes, it is possible to construct an empirical pseudo-bayesian estimator of the signal representing realization of the zero-mean non-Gaussian random process corrupted by AGN.
  

References

1. 
   A.P. Sage, J.L. Melse. Estimation Theory with Application to Communication and Control. N.-Y. McGraw-Hill, 1972.
   
2. 
   G. B. Giannakis, A. Delopoulos. Cumulant-based autocorrelation estimates of non-Gaussian linear process. // Signal Processing, vol. 47, 1995, pages 1-17.