Тренировочные задачи

Тренировочные задачи

1. Область определения и множество значений функции

1) 

2) y = 

3) 

4) Найдите сумму всех целых чисел, входящих в область определения функции у = ln (x – 2 |x – 3|).

5) Найдите множество значений функции y = 3 cos 2x + 5.

6) Найдите множество значений функции у = 6^х – 12.

7) Найдите наибольшее значение функции на промежутке [1; 7].

8) Найдите наибольшее целое значение функции .
2. Композиция функций

Даны функции y = f(x), y = g(x) и y = h(x), где f(x) =  g(x) = log₂(x + 1); h(x) = .

1) Вычислите: а) f(g(h(1))); б) ; в) h(g(f(3))).

2) Найдите области определения функций: а) y = h(g(x)); б) y = g(f(x)); в) y = h(f(x)).

3) Найдите области значений функций: а) y = g(h(x)); б) y = f(h(x)); в) y = f(g(x)).
3. Обратная функция

Для каждой из следующих функций вида y = f(x) найдите обратную.

1) f(x) = 2x – 3;

2) f(x) = ;

3) f(x) = x² + x + 1, x ≤ –1;

4) f(x) = 2^x + 2^–x, x ≥ 0;

5) f(x) = log₂(x² – 1), x ≥ 2;

6) f(x) = sin x, x  .
4. Четность функции

1) Четная функция y = f(x) определена на всей числовой прямой. Для всякого неотрицательного значения переменной x значение этой функции совпадает со значением функции g(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3). Сколько корней имеет уравнение f(x) = 0?

2) Четная функция y = f(x) определена на всей числовой оси. Для функции g(x) = x + (x – 6)  f(x – 6) + 6 вычислите g(3) + g(6) + g(9).

3) Пусть функция f задана на всей числовой оси. Докажите, что функция четна, а функция нечетна. Выведите отсюда, что функцию f можно представить как сумму четной и нечетной функций, причем эти функции определены однозначно.

4) Четная функция y = f(x) и нечетная функция y = g(x) удовлетворяют равенству f(x) + g(x) = x² + 7x + 17 для всех действительных значений x. Найдите g(8).
5. Периодичность функции

1) Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 4. Кроме того, на промежутке (1; 5] данная функция совпадает с функцией g(x) = 2x + 1. Найдите f(–1) + f(–6).

2) Четная периодическая функция y = f(x) с периодом 6 определена на всей числовой прямой. На отрезке [0; 3] она совпадает с функцией g(x) = 2 +
+ 2x – x². Сколько решений имеет уравнение f(x) = 0 на отрезке [–5; 4]?

3) Функция y = f(x) определена на всей числовой оси и является периодической с периодом 3. Найдите 2f(–5) + 4f(9), если f(1) = 4 и f(0) = 3.

4) Функция y = f(x), заданная на всей числовой оси, удовлетворяет соотношению f(x + 2) = f(x) – 1. Докажите, что функция y = f(x) +  – периодическая с периодом 2.
6. Монотонность функции

Функция y = f(x) возрастает, а функция y = g(x) убывает на промежутке [a; b]. Что можно сказать о монотонности следующих функций на этом же промежутке? В тех случаях, когда ответ не является определенным, какие условия надо добавить, чтобы ответ стал однозначным?

1) y = –f(x); y = –g(x).

2) y = f(x) – g(x).

3) y = f(x) – 1; y = g(x) + 1.

4) y = ; y = .

5) y = .

6) y = f²(x); y = f³(x).

7) y = g(f(x)); y = f(g(x)).

8) y = h(x), где h – функция, обратная к функции f.