Урок по комбинаторике посвящен подсчету числа одночленов. По уровню комбинаторных рассуждений, необходимых для такого подсчета, мы, конечно, забегаем немного вперед, но как-то не хочется разрывать комбинаторику с изучаемым алгебраическим материалом.

3. Многочлены

Одночлены. Действия над одночленами. Многочлены. Действия над многочленами. Комбинаторный подсчет числа слагаемых. Беседа «Обсуждаем свойства многочленов».
С этой темы фактически начинается систематическое изучение алгебры в школе. Мы хотим обратить внимание учителя на объективно существующие трудности в теоретической части курса. Они касаются двух «болевых точек» – определений рассматриваемых объектов и действий над ними (одночлен, многочлен, дробь и т. п.) и использования знака равенства при проведении преобразований. На наш взгляд преодолеть эти трудности в полной мере в школе невозможно и не нужно. Тем не менее определенная аккуратность и осторожность, даже если она останется скрытой для учащихся, необходима.

Исходным понятием является понятие выражения. Выражения, составленные неодинаково, по-разному, считаются различными. Так, выражения 2x + x, 3x, x + 2x не совпадают между собой.

Ограничиваемся рассмотрением целых рациональных выражений, т. е. выражений, в которых числа и буквы соединены знаками сложения, вычитания и умножения. Встречающееся в целых выражениях деление на число мы считаем умножением на обратное число.

При проведении преобразований выражений мы считаем разрешенным использование всех обычных законов, верных для арифметических действий над числами.

Урок по комбинаторике посвящен подсчету числа одночленов. По уровню комбинаторных рассуждений, необходимых для такого подсчета, мы, конечно, забегаем немного вперед, но как-то не хочется разрывать комбинаторику с изучаемым алгебраическим материалом. Поэтому вопрос подсчета одночленов разбирается в большой степени эмпирически. Будет достаточно, если ученики освоят процесс перебора одночленов с двумя буквами.

Многочлен определен нами как выражение, получающееся при сложении нескольких, не подобных между собой одночленов. Здесь сделан тот же компромисс, что и при определении одночлена, то есть, чтобы определить многочлен, мы используем операцию (сложение) над выражениями, но молчаливо допускаем преобразования многочленов, использующие законы этой операции, верные над числами. Например, мы будем писать равенство 2x + x² – 1 = x² + 2x – 1, считая, что приводим многочлен к стандартному виду, не акцентируя внимание на том, получаем ли мы при этом новый многочлен или новую запись одного и того же многочлена.

В этой теме закладываются операционные навыки действий над многочленами.

Деление многочленов не входит в обязательный минимум содержания обучения в соответствии с новым стандартом. Однако мы настойчиво рекомендуем «расширить минимум» включением важного и достаточно простого вопроса о делении многочленов. Приобретенные здесь навыки будут полезны в дальнейшем – при преобразовании рациональных дробей, при построении графиков рациональных функций и т. п. Особенно важно научить делить на линейный двучлен. Пользоваться схемой Горнера (см. задания на выбор) здесь не обязательно, но проделать достаточное количество примеров, на наш взгляд, необходимо.

Комбинаторный урок в теме «Многочлены» (после трудного комбинаторного урока предыдущего параграфа) опять возвращает нас к самому началу комбинаторики – правилу произведения. Этого повторения не нужно опасаться – тем лучше, если ученикам этот материал покажется знакомым и легким. Крайне важно связать его с навыками самоконтроля – подсчета числа слагаемых при перемножении скобок.

Примерное планирование изучения темы.

Темы уроков	Варианты учебного плана
	102 урока в год	119 уроков в год	136 уроков в год
	22 урока на изучение темы	24 урока на изучение темы	28 уроков на изучение темы
Действия над одночленами	8	8	8
Действия над многочленами	8	8	10
Комбинаторный подсчет числа слагаемых	2	4	4
Беседа «Обсуждаем свойства многочленов»	1	1	1
Исследовательская работа	2	2	4
Контрольная работа	1	1	1