§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой

с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением пер­вой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую. Уравнение вида

Ах + Ву + С = 0 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол а, определяемый, как показано на черт. 9, называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угло­вым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

k = tg α,

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k — угло­вой коэффициент, b — величина отрезка, ко­торый отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то её угловой коэффициент

Черт. 9

определяется по формуле k =

Уравнение у — y₀ = k(x—х_а) является уравнением прямой, которая проходит через точку М₀ (х₀ ; у₀) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки M₁ (x₁; у₁,) и М₂ (х₂; у₂), то её угло­вой коэффициент определяется по формуле

K=

Уравнение



Является уравнением прямой, проходящей через две точки

М₁ (x₁; y ₁) и M ₂(x₂ ; у₂)

Если известны угловые коэффициенты двух прямых k₁ и k₂, то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле



Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

k₁ =k₂

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

k₁k₂= —1 или k₂= —

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем пони­мать уравнения прямых, на которых лежат стороны.

210. Определить, какие из точек М₁(3; 1), М₂(2; 3), М₃(6; 3), М₄(— 3; —3). М₅(3; —1), М₆(— 2; 1) лежат на прямой 2x —3у —3 = 0 и какие не лежат на ней.

211. Точки Р₁, Р₂, Р₃, P₄, и P₅ расположены на прямой 3x— 2у —— 6 = 0; их абсциссы соответственно равны числам: 4, 0, 2, — 2 и — 6. Определить ординаты этих точек.

212. Точки Q _1; Q ₂, Q₃, Q ₄ и Q ₅ расположены на прямой х—3у + 2 = 0; их ординаты соответственно равны числам: 1, 0, 2, — 1, 3. Определить абсциссы этих точек.

213. Определить точки пересечения прямой 2х — 3у—12 = 0 с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

214. Найти точку пересечения двух прямых

3x—4y —29 = 0, 2х + 5у + 19 = 0.

215. Стороны АВ, ВС и АС треугольника ABC даны соответ­ственно уравнениями *)

4x+3у — 5 = 0, х — Зу+10 = 0, х — 2 = 0.

Определить координаты его вершин.

216. Даны уравнения двух сторон параллелограмма

8x+3y+1=0, 2x+y—1=0

и уравнение одной из его диагоналей

3x+2у+3 = 0.

Определить координаты вершин этого параллелограмма.

217. Стороны треугольника лежат на прямых

x+5у — 7 = 0, 3x — 2y — 4 = 0, 7x+y+19 = 0.

Вычислить его площадь S.

218. Площадь треугольника S = 8 кв. ед.; две его вершины суть точки A(1; —2) и В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой

2х + у — 2 = 0.

Определить координаты вершины С.

219. Площадь треугольника S=1,5 кв. ед., две его вершины суть точки A(2; —3) и В(3; —2); центр тяжести этого треуголь­ника лежит на прямой

3х — у — 8 = 0.

Определить координаты третьей вершины С.

220. Составить уравнение прямой и построить прямую на чер­теже, зная её угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Оу:

1) k = 4 , b = 3; 2) k = 3, b = 0; 3) k = Q,, b = — 2;

4) k = — , b = 3; 5) k = —2, b = — 5; 6) k = —, b = .

221. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Оу, для каждой из прямых:

1) 5х—у + 3 = 0; 2) 2х+3у — 6 = 0;

3) 5х + 3у+2 = 0; 4) 3x+2y; = 0; 5) y — 3 = 0.

222. Дана прямая 5х+3у — 3 = 0. Определить угловой коэф­фициент k прямой:

1) параллельной данной прямой;

2) перпендикулярной к данной прямой.

223. Дана прямая 2х+3у+4 = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1):

1) параллельно данной прямой;

2) перпендикулярно к данной прямой.

224. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

2х—3у+5 = 0, 3х+2у — 7 = О

и одна из его вершин A(2; —3). Составить уравнения двух дру­гих сторон этого прямоугольника.

225. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

х — 2у = 0, х — 2y+15 = 0

и уравнение одной из его диагоналей

7x+y—15 = 0.

Найти вершины прямоугольника.

226. Найти проекцию точки Р(—6; 4) на прямую

4x— 5у+3 = 0.

227. Найти точку Q, симметричную точке Р(—5; 13) относи­тельно прямой

2х — 3у — 3 = 0.

228. В каждом из следующих случаев составить уравнение пря­мой, параллельной двум данным прямым и проходящей посредине между ними:

1) 3х — 2у— 1=0, 2) 5x+y+3 = 0, 3) 2x+3y — 6 = 0,

3х —2у— 13 = 0; 5x+y—17 = 0; 4х + 6у +17 = 0;

4) 5х+7y+15 = 0, 5) 3х — 15у — 1=0,

5х+7у+3 = 0; х — 5у — 2 = 0.

229. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

а) M₁,(2; —5), М₂(3; 2); б) P(— 3; 1), Q(7; 8);

в) A(5; —3), В(— 1; 6).

230. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A (5; —4), В(—1; 3), С(—3; —2) параллельно про­тивоположным сторонам.

231. Даны середины сторон треугольника: М₁(2; 1), М₂(5; 3) и М₃(3; —4). Составить уравнения его сторон.

232. Даны две точки: Р(2; 3) и Q(—1; 0). Составить уравне­ние прямой, проходящей через точку Q перпендикулярно к отрез­ку PQ.

233. Составить уравнение прямой, если точка Р(2; 3) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

234. Даны вершины треугольника М₁(2; 1), M₂(—1; —1) и M ₃(3; 2). Составить уравнения его высот.

235. Стороны треугольника даны уравнениями 4х—у — 7 = 0, х+3у — 31 = 0, х+5у — 7 = 0. Определить точку пересечения его высот.

236. Даны вершины треугольника A(1; —1), В(—2; 1) и С(3; 5). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вер­шины A на медиану, проведённую из вершины В.

237. Даны вершины треугольника А (2; —2), В(3; —5) и С(5; 7). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вер­шины С на биссектрису внутреннего угла при вершине A .

238. Составить уравнения сторон и медиан треугольника с вер­шинами A(3; 2), В(5; —2), С(1; 0).

239. Через точки М₁(—1; 2) и М₂(2; 3) проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

240. Доказать, что условие, при котором три точки M₁(x₁, y₁,), М₂(x₂, y₂,), и М₃(х₃; у₃) лежат на одной прямой, может быть запи­сано в следующем виде:
.
241. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁ (х₁; у₂) и M₂(х₂;_у₂), может быть записано в сле­дующем виде:

.

242. Даны последовательные вершины выпуклого четырёхуголь­ника A(— 3; —1), B(3; 9), С(7; 6) и D(— 2; — 6). Определить точку пересечения его диагоналей.

243. Даны две смежные вершины А(— 3; — 1) и B(2; 2) парал­лелограмма АВСD и точка Q(3; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника

5х+1у — 7 = 0, 5х + 2у — 36 = 0

и уравнение его диагонали

3х+7у — 10 = 0.

Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

245. Даны вершины треугольника A(1; — 2), B(5; 4) и С( — 2; 0). Составить уравнения биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

246. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; 5) на одинаковых расстояниях от точек А ( — 7; 3) и B(11; — 15).

247. Найти проекцию точки Р( — 8; 12) на прямую, проходящую через точки A(2; — 3) и B( — 5; 1).

248. Найти точку М₁, симметричную точке M₂(8; — 9) относи­тельно прямой, проходящей через точки A(3; — 4) и B( — 1; — 2).

249. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма её рас­стояний до точек М(\; 2) и N(3; 4) была наименьшей.

250. На оси ординат найти такую точку Р, чтобы разность рас­стояний её до точек М( — 3; 2) и N(2; 5) была наибольшей.

251. На прямой 2х — у — 5 = 0 найти такую точку Р, сумма расстояний которой до точек А( — 7; 1), B( — 5; 5) была бы на­именьшей.

252. На прямой 3x — у — 1=0 найти такую точку Р, разность расстояний которой до точек A(4; 1) и B(0; 4) была бы наиболь­шей.

253. Определить угол  между двумя прямыми:

1) 5х—y + 7 = 0, 3x+2y = 0;

2) 3x — 2y+7 = 0, 2х+Зу— 3 = 0;

3) x— 2у — 4 = 0, 2х—4y+3=0;

4) 3х+2y— 1= 0, 5x—2y+3=0.

254. Дана прямая

2x+3у+4 = 0.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₀(2; 1)под углом 45° к данной прямой.

255. Точка А(—4; 5) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой

7x — у + 8 = 0.

Составить уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

256. Даны две противоположные вершины квадрата А(—1; 3) и С(6; 2). Составить уравнения его сторон.

257. Точка E(1; —1) является центром квадрата, одна из сто­рон которого лежит на прямой

х — 2у +12 = 0.

Составить уравнения прямых, на которых лежат остальные стороны этого квадрата.

258. Из точки M₀ (— 2; 3) под углом  к оси Ох направлен луч света. Известно, что tg  = 3. Дойдя до оси Ох, луч от неё отразился. Составить уравнения прямых, на которых лежат лучи падающий и отражённый.

259. Луч света направлен по прямой х—2у+5=0. Дойдя до прямой 3x—2у+7= 0, луч от неё отразился. Составить уравне­ние прямой, на которой лежит отражённый луч.

260. Даны уравнения сторон треугольника

3х+4у— 1=0, х — 7у—17 = 0, 7x+y+ 31=0.

Доказать, что этот треугольник равнобедренный. Решить задачу при помощи сравнения углов треугольника.

261. Доказать, что уравнение прямой, проходящей через точку M₁ (х₁,y₁) параллельно прямой

Ах + Ву + С=0,

может быть записано в следующем виде:

А(х — х₁) + В(у—у₁) = 0.

262. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M₁ (2;—3) параллельно прямой:

1) 3х — 7у +3 = 0; 2) х + 9у — 11=0; 3) 16х — 24у — 7 = 0;

4)2х + 3 = 0; 5)3у — 1=0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

263. Доказать, что условие перпендикулярности прямых

А₁х+В₁у+С₁ = 0, A₂х+ B₂у+С₂ = 0

может быть записано в следующем виде:

A₁А₂ + В₁В₂ = 0.

264. Установить, какие из следующих пар прямых перпендику­лярны:

1) 3х — у + 5 = 0, 2) 3х — 4у + 1= 0, 3) 6х – 15у + 7= 0,

х + 3у – 1= 0; 4х — 3у + 7 = 0; 10х + 4у — 3 = 0;

4) 9х —12у + 5 = 0, 5) 7х — 2у + 1 = 0, 6) 5х — 7у + 3 = 0,

8х +6y — 13 = 0; 4х + 6у+17 = 0; 3х — 2у — 5 = 0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е. Воспользоваться условием перпендикулярности прямых, вы­веденным в задаче 263.

265. Доказать, что формула для определения угла между пря­мыми

А₁х + В₁у + С₁ = 0, А₂х + В₂у + С₂ = 0

может быть записана в следующем виде:



266. Определить угол , образованный двумя прямыми:

1) 3х – у + 5 = 0, 2) х— у— 5 = 0,

2х + у – 7 = 0; (3 +)х + ( — )у + 7 = 0;

3) х+ у– 2 = 0,

х– 3у + 3 = 0.

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

У к а з а н и е. Воспользоваться формулой для определения угла между двумя прямыми, полученной в задаче 265.

267. Даны две вершины треугольника М₁ (—10; 2) и М₂ (6; 4); его высоты пересекаются в точке N (5; 2). Определить координаты третьей вершины М₃.

268. Даны две вершины А (3; —1) и В(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; —1) пересечения его высот. Составить уравне­ния сторон этого треугольника.

269. В треугольнике ABC даны: уравнение стороны АВ 5х – 3у + 2 = 0, уравнения высот AN 4x – 3у + 1=0 и BN 7x +2y – 22 = 0. Составить уравнения двух других сторон и третьей высоты этого треугольника.

270. Составить уравнения сторон треугольника ABC, если даны одна из его вершин A(1; 3) и уравнения двух медиан

х – 2у + 1 = 0 и у – 1=0.

271. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна из его вершин В (– 4; – 5) и уравнения двух высот

5х + 3у – 4 = 0 и 3x + 8y +13 = 0.

272. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин

А (4; – 1) и уравнения двух биссектрис

x – 1=0 и х – у – 1=0.

273. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; 6), а также уравнения высоты х –7у + 15 = 0 и биссектрисы 7х + у + 5 = 0, проведённых из одной вершины.

274. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

В (2; – 1), а также уравнения высоты

3x – 4y + 27 = 0

и биссектрисы

х + 2у – 5 = 0,

проведённых из различных вершин.

275. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

С (4; – 1), а также уравнения высоты

2х – 3 + 12 = О

и медианы

2х + 3y = 0,

проведённых из одной вершины.

276. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

В (2; – 7), а также уравнения высоты

3х + у + 11 = 0

и медианы

x + 2y + 7 = 0,

проведённых из различных вершин.

277. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

С (4; 3), а также уравнения биссектрисы

x + 2у – 5 = 0

и медианы

4 + 13 y – 10 = 0,

проведённых из одной вершины.

278. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину

А (3; – 1), а также уравнения биссектрисы

x – 4у+10 = 0

и медианы

6x + 10y – 59 = 0,

проведённых из различных вершин.

279. Составить уравнение прямой, которая проходит через начало координат и вместе с прямыми

х – у + 12 = 0, 2х + у + 9 = 0

образует треугольник с площадью, равной 1,5 кв. ед.

280. Среди прямых, проходящих через точку P(3; 0), найти такую, отрезок которой, заключённый между прямыми

2x – у – 2 = 0, х + y + 3 = 0,

делится в точке P пополам.

281. Через точку P(–3; –1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что отрезок каждой из них, заключённый между прямыми

х – 2у – 3 = 0, х — 2y + 5 = 0,

делится в точке P пополам.

282. Через точку P (0; 1) проведены всевозможные прямые. Доказать, что среди них нет прямой, отрезок которой, заключён­ный между прямыми

х – 2у – 3 = 0, х – 2y + 17 = 0,

делился бы в точке P пополам.

283. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, зная, что длина её отрезка, заключённого между пря­мыми

2x – y + 5 = 0, 2х – у + 10 = 0,

равна .

284. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С(–5; 4), зная, что длина её отрезка, заключённого между пря­мыми

x + 2y + 1= 0, x + 2y – 1 = 0,

равна 5.