Решение. Уравнение прямой будем искать по формуле Так как у параллельных прямых угловые коэффициенты равны k

Контрольные по математике. Решение задач по математике для студентов.

№1 Составить уравнение прямой, которая проходит через точку М(-3,2) и параллельна прямой

<sub>Решение.

Уравнение прямой будем искать по формуле



Так как у параллельных прямых угловые коэффициенты равны k1=k2 , то</sub>





Подставим угловой коэффициент и точку М(-3,2) в уравнение (1)



Искомое уравнение прямой



Ответ:

<sub>№2 Через точку М(2,5) провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между осями координат, делится в этой точке пополам.

Решение.

Пусть данная прямая пересекает ось ОY в точке А(0,а), ось ОХ в точке В(b,0). Координаты середины отрезка АВ (это точка М) равны</sub>



Получим





Составим уравнение прямой АВ с помощью формулы







Ответ:

_{№3 Составить уравнение сторон треугольника, зная одну из его вершин} А(-1,3) и уравнения двух высот

   Р ешение. Выполним рисунок


Пусть высота ВН₁ имеет уравнение

_{а высота СН2 задается уравнением}

Так как известны уравнения высот, то известны координаты нормальных векторов этих высот n₁(3; – 4)- нормальный вектор высоты ВН₁ и n₂(5; 2) - нормальный вектор высоты СН₂. Так как стороны треугольника АС и АВ должны быть перпендикулярными этим высотам то для вывода уравнения этих сторон воспользуемся формой уравнения прямой, проходящей через данную точку А(-1,3) в данном направлении:




Координаты точки В найдем как точку пересечения прямой АВ и высоты ВН₁. Для этого составим систему уравнений


Координаты точки В(4,5)

Координаты точки С найдем как точку пересечения прямой АС и высоты СН₂. Для этого составим систему уравнений


Координаты точки С(2,-1)
   Уравнение стороны ВС построим, воспользовавшись формой уравнения прямой, проходящей через две заданные точки В(4,5) и С(2,-1)








Уравнение стороны АС, где А(-1,3) и С(2,-1), имеет вид





Уравнение стороны АВ, где А(-1,3) и В(4,5), имеет вид







Ответ: уравнение АВ , уравнение АС ,

уравнение ВС

<sub>№4 Найти фокальный радиус точки М параболы, если абсцисса этой точки равна7.

Решение.

Фокальный радиус точки параболы найдем по формуле</sub>

, где х – абсцисса точки М, р – параметр параболы

По условию х=7.

Определим параметр р. Так как каноническое уравнение параболы имеет вид _{, то}



Тогда фокальный радиус равен



Ответ: 12

<sub>№5 Определить вид кривой, найти ее оси, фокусы, уравнения директрис, построить эту кривую

Решение.</sub>

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применим метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при  и  вынесем за скобки: 



Выделим полный квадрат: 



Разделим обе части равенства на 2: 



Запишем полученное уравнение в каноническом виде: 



_{Данная кривая – эллипс с центром в точке (-1/2, 0).}

Найдем ее оси. Большая полуось равна , малая полуось равна .

Фокусы эллипса находятся в точках и , где



Тогда

и

Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями

, где



Директрисы равны



Построим данную кривую



Ответ: ,, , , ,

<sub>№6 Назвать и построить кривую

Решение.</sub>

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применим метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при  и  вынесем за скобки: 



Выделим полный квадрат: 



<sub>Данная кривая есть гипербола с центром в точке (3,-2), с фокусами на оси ординат.

Построим данную кривую.



Ответ:</sub> - гиперола

<sub>№7 Определить вид и параметры поверхности, построить ее методом сечений



Решение.



Данная поверхность – однополостный гиперболоид с центром в точке (-2,0,1), параметры , вытянутый вдоль оси ОХ.

Исследуем поверхность методом параллельных сечений.</sub>

Будем пересекать поверхность горизонтальными плоскостями .

Подставим в уравнение. Получим



При любом таком сечении получаются гиперболы с фокусами на оси ординат , полуосями , центр в точке (-2,0,0)

Подставим в уравнение. Получим



При любом таком сечении получаются эллипсы с фокусами на оси ординат , полуосями , центр в точке (0,0,1)

Подставим в уравнение. Получим



При любом таком сечении получаются гиперболы с фокусами на оси OZ , полуосями , центр в точке (-2,0,1)

Координатные плоскости являются плоскостями симметрии. Поверхность изображена на рисунке



<sub>№8 Назвать и построить поверхности

а)

б)</sub>

Решение.

_а)



Данная поверхность представляет собой параболический цилиндр, с центром в точке (0,0,1), вытянутый вдоль оси OY.



_б)

Данная поверхность представляет собой эллиптический параболоид, с центром в точке (1,0,0), вытянутый вдоль оси OZ.



Помощь на экзамене онлайн.