1. b 1 На день рож­де­ния по­ла­га­ет­ся да­рить букет из не­чет­но­го числа цве­тов. Тюль­па­ны стоят 35 руб­лей за штуку. У вани есть 160 руб­лей. Из ка­ко­го наи­боль­ше­го числа тюль­па­нов он может ку­пить букет Маше на день рож­де­ния? Ре­ше­ние

1. B 1 

На день рож­де­ния по­ла­га­ет­ся да­рить букет из не­чет­но­го числа цве­тов. Тюль­па­ны стоят 35 руб­лей за штуку. У Вани есть 160 руб­лей. Из ка­ко­го наи­боль­ше­го числа тюль­па­нов он может ку­пить букет Маше на день рож­де­ния?

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим 160 на 35:

 

.

Ване хва­та­ет денег на 4 тюль­па­на, но цве­тов долж­но быть не­чет­ное число. Сле­до­ва­тель­но, Ваня может ку­пить букет из 3 тюль­па­нов.

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

2. B2. Среди 40 000 жи­те­лей го­ро­да 60% не ин­те­ре­су­ет­ся фут­бо­лом. Среди фут­боль­ных бо­лель­щи­ков 80% смот­ре­ло по те­ле­ви­зо­ру финал Лиги чем­пи­о­нов. Сколь­ко жи­те­лей го­ро­да смот­ре­ло этот матч по те­ле­ви­зо­ру?

 

Ре­ше­ние.

Не ин­те­ре­су­ют­ся фут­бо­лом 40 000  0,6 = 24 000 че­ло­век, а ин­те­ре­су­ют­ся — 40 000 − 24 000 = 16 000. Зна­чит, смот­ре­ли по те­ле­ви­зо­ру финал Лиги чем­пи­о­нов 16 000  0,8 = 12 800 че­ло­век.

 

Ответ: 12 800.

Ответ: 12800

3. B 3  На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко раз ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти при­ни­ма­ло наи­боль­шее зна­че­ние.

 



Ре­ше­ние.

Из диа­грам­мы видно, что по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти при­ни­ма­ло наи­боль­шее зна­че­ние 3 раза (см. ри­су­нок).

 

Ответ: 3.

Ответ: 3

4. B 4 . Для из­го­тов­ле­ния книж­ных полок тре­бу­ет­ся за­ка­зать 48 оди­на­ко­вых сте­кол в одной из трех фирм. Пло­щадь каж­до­го стек­ла 0,25 . В таб­ли­це при­ве­де­ны цены на стек­ло, а также на резку сте­кол и шли­фов­ку края. Сколь­ко руб­лей будет сто­ить самый де­ше­вый заказ?

Фирма	Цена стек­ла (руб. за 1 м2)	Резка и шли­фов­ка (руб. за одно стек­ло)
A	420	75
Б	440	65
В	470	55

Ре­ше­ние.

Общая пло­щадь стек­ла равна 48  0,25 = 12 м². Рас­смот­рим раз­лич­ные ва­ри­ан­ты.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме А скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 420  12 = 5040 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 75 48 = 3600 руб. и равна 8640 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме Б скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 440  12 = 5280 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 65  48 = 3120 руб. и равна 8400 руб.

Сто­и­мость за­ка­за в фирме В скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти стек­ла 470  12 = 5640 руб. и сто­и­мо­сти его резки и шли­фов­ки 55  48 = 2640 руб. и равна 8280 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го за­ка­за со­ста­вит 8280 руб­лей.

 

Ответ: 8280.

Ответ: 8280

5. B 5. Най­ди­те абс­цис­су се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки A(6; 8) и B(-2; 2).

Ре­ше­ние.

Абс­цис­са се­ре­ди­ны от­рез­ка опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем:

 

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

6. B 6 . Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом).

Ре­ше­ние.

Пусть A — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на стрел­ком с пер­во­го вы­стре­ла, B — со­бы­тие, со­сто­я­щее в том, что ми­шень по­ра­же­на со вто­ро­го вы­стре­ла. Ве­ро­ят­ность со­бы­тия A равна P(A) = 0,7. Со­бы­тие B на­сту­па­ет, если, стре­ляя пер­вый раз, стре­лок про­мах­нул­ся, а, стре­ляя вто­рой раз, попал. Это не­за­ви­си­мые со­бы­тия, их ве­ро­ят­ность равна про­из­ве­де­нию ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий: P(B) = 0,3·0,7 = 0,21. Со­бы­тия A и B не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

 

 

P(A + B) = P(A) + P(B) = 0,7 + 0,21 = 0,91.

Ответ: 0,91.

Ответ: 0,91

7. B 7  Най­ди­те ко­рень урав­не­ния .

Ре­ше­ние.

Ис­поль­зуя фор­му­лу , по­лу­ча­ем:

 



 

Ответ: 6.

 

При­ме­ча­ние.

Сле­ду­ет от­ли­чать это урав­не­ние от по­хо­же­го, но дру­го­го: . В этом слу­чае имеем:

 



Ответ: 6

8. B 8  Два угла впи­сан­но­го в окруж­ность че­ты­рех­уголь­ни­ка равны и . Най­ди­те боль­ший из остав­ших­ся углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

сумма углов и равна , также . Если , то , если , то

Ответ: 122.

Ответ: 122

9. B 9. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y=f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 5). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней.

 

 

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны 0. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной равен зна­че­нию про­из­вод­ной в точке ка­са­ния. Про­из­вод­ная равна нулю в точ­ках экс­тре­му­ма функ­ции. На за­дан­ном ин­тер­ва­ле функ­ция имеет 2 мак­си­му­ма и 2 ми­ни­му­ма, итого 4 экс­тре­му­ма. Таким об­ра­зом, ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y = 6 или сов­па­да­ет с ней в 4 точ­ках.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

10. B 10  В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме , все ребра ко­то­рой равны 3, най­ди­те угол между пря­мы­ми и . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.



От­рез­ки A₁A и BB₁ лежат на па­рал­лель­ных пря­мых, по­это­му ис­ко­мый угол между пря­мы­ми A₁A и BB₁ равен углу между пря­мы­ми BB₁ и BC₁.

Бо­ко­вая грань CBB₁C₁ — квад­рат, по­это­му угол между его сто­ро­ной и диа­го­на­лью равен 45°.

 

Ответ: 45.

Ответ: 45

11. B 11 Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния , если , а .

Ре­ше­ние.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:



Ответ: 6.

Ответ: 6

12. B 12  Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью м/с под ост­рым углом к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью (м/с), где кг – масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а кг – масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/с?

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства на ин­тер­ва­ле при за­дан­ных зна­че­ни­ях массы скейт­бор­ди­ста кг и массы плат­фор­мы кг:

 



.

Ответ: 60.

Ответ: 60

13. B 13  Во сколь­ко раз уве­ли­чит­ся пло­щадь по­верх­но­сти шара, если ра­ди­ус шара уве­ли­чить в 2 раза?

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти шара вы­ра­жа­ет­ся через его ра­ди­ус фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии ра­ди­у­са вдвое пло­щадь уве­ли­чит­ся в 2² = 4 раза.

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

14. B 14  Баржа в 10:00 вышла из пунк­та в пункт , рас­по­ло­жен­ный в 15 км от . Про­быв в пунк­те 1 час 20 минут, баржа от­пра­ви­лась назад и вер­ну­лась в пункт в 16:00. Опре­де­ли­те (в км/час) ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что соб­ствен­ная ско­рость баржи равна км/ч.

Ре­ше­ние.

Пусть км/ч – ско­рость те­че­ния реки, тогда ско­рость баржи по те­че­нию равна км/ч, а ско­рость баржи про­тив те­че­ния равна км/ч. Баржа вер­ну­лась в пункт через 6 часов, но про­бы­ла в пунк­те час 20 минут, по­это­му общее время дви­же­ния баржи да­ет­ся урав­не­ни­ем:

 



 

Ответ: 2.

Ответ: 2

15. B 15  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке .

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

 

.

Най­дем нули про­из­вод­ной:

 



Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

 



В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние: .

Ответ: −3.

Ответ: -3

16. C 1 Ре­ши­те урав­не­ние .

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме

 



Урав­не­ние си­сте­мы при­во­дит­ся к виду , от­ку­да или . Урав­не­ние   не имеет ре­ше­ний. Учи­ты­вая, что , по­лу­ча­ем: .

Ответ: .

17. C 2 В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре най­ди­те угол между ме­ди­а­ной грани и плос­ко­стью

Ре­ше­ние.

Пусть, ребро тет­ра­эд­ра  — вы­со­та грани  — центр тре­уголь­ни­ка  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка Тогда зна­чит, и, сле­до­ва­тель­но,  — ис­ко­мый.

 



Кроме того, от­ку­да

Далее имеем:



Ответ:

18. C 3. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств

Ре­ше­ние.

Решим пер­вое не­ра­вен­ство:

 



 

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

 



 

 



 

Ме­то­дом ин­тер­ва­лов най­дем ре­ше­ния: или

По­сколь­ку по­лу­ча­ем ре­ше­ние си­сте­мы.

Ответ:

 

При­ме­ча­ние: В ре­ше­нии вто­ро­го не­ра­вен­ства ис­поль­зо­ва­ны сле­ду­ю­щие эк­ви­ва­лент­ные пе­ре­хо­ды:

1.

2. При ,

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

 

 

а)

 



 

 

б)

 



 



 

в) Вернёмся к си­сте­ме т. к.

 

Ответ:

19. C 4 Окруж­но­сти ра­ди­у­сов и с цен­тра­ми и со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке а боль­шую — в точке Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка если

Ре­ше­ние.



Точки и лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и рав­но­бед­рен­ные, от­ку­да



Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1), тогда точка лежит между точ­ка­ми и от­ку­да

 



 

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка лежит между точ­ка­ми и от­ку­да



 



 

Ответ: 2,5 или 10.

20. C 5  При каких урав­не­ние имеет ровно три корня?

Ре­ше­ние.

За­пи­шем урав­не­ние в виде



По­стро­им гра­фи­ки левой и пра­вой ча­стей урав­не­ния (см. рис.) Из ри­сун­ка видно, что под­хо­дя­щих зна­че­ний ровно два — при одном из них гра­фик пра­вой части про­хо­дит через точку при дру­гом — ка­са­ет­ся от­ра­жен­но­го участ­ка па­ра­бо­лы.

Пер­вое про­ис­хо­дит при , а вто­рое — когда урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень. При­рав­ни­вая дис­кри­ми­нант к нулю, на­хо­дим

 

Ответ:

21. C 6 . На доске на­пи­са­но более 40, но менее 48 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −3, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных из них равно 4, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных из них равно −8.

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске?

б) Каких чисел на­пи­са­но боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных?

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них?