1. Основы математического моделирования Лекторы. 1
1. Основы математического моделирования
2. Лекторы.
2.1. Д.ф.-м.н., профессор, Боголюбов Александр Николаевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон.: +7(495) 939-10-33
2.2. Д.ф.-м.н., профессор, Тихонов Николай Андреевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail:[email protected] , телефон.: +7(495) 939-10-33
3. Аннотация дисциплины:
Курс «Основы математического моделирования» является продолжением и развитием курса «Мето
ды математической физики», читаемого в 5 семестре. Его целью является ознакомление студентов - физиков с основными принципами построения и исследования линейных и нелинейных математических моделей физических явлений и процессов, классическими моделями основных физических явлений и методами их исследования. Рассматриваются как современные численные методы (вариационные, проекционные, конечно - разностные), так и асимптотические методы (регулярные и сингулярные). В течение семестра студенты выполняют две практические задачи с использованием компьютеров. 4. Цели освоения дисциплины.
Владение современными профессиональными знаниями в области построения и анализа математических моделей физических явлений и процессов.
5. Задачи дисциплины.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать основные линейные и нелинейные математические модели физических явлений и процессов, общие принципы математического моделирования, основные аналитические и численные методы реализации и исследования математических моделей.
6. Компетенции.
7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.
ОНК-6, СК-1, СК-2, СК-3, ИК-3, ИК-4, ПК-1
7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.
ОНК-4, ОНК-5 ,ПК-2, ПК-3, ПК-6
7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины.
В результате освоения дисциплины студент должен:
знать основные принципы построения и исследования математических моделей физических явлений и процессов;
уметь строить математические модели, описывающие конкретные физические явления и процессы;
владеть навыками грамотного использования современных численных методов и вычислительных алгоритмов на их основе;
иметь опыт программирования с использования современных компьютерных методов;
иметь опыт деятельности выполнения научного доклада.
8. Содержание и структура дисциплины.
| Вид работы | Семестр | Всего | ||
| 6 | | | ||
| Общая трудоёмкость, акад. часов | 108 | | | 108 |
| Аудиторная работа: | 51 | | | 51 |
| Лекции, акад. часов | 34 | | | 34 |
| Семинары, акад. часов | 17 | | | 17 |
| Лабораторные работы, акад. часов | - | | | - |
| Самостоятельная работа, акад. часов | 57 | | | 57 |
| Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен) | Экзамен | | | Экзамен |
| N раз- дела | Наименование раздела | Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий | Форма текущего контроля | | ||||||||||
| Аудиторная работа | Самостоятельная работа | | ||||||||||||
| Лекции | Семинары | Лабораторные работы | | |||||||||||
| 1 | Основные понятия и принципы математи- ческого моделирования | №1. Математика и математическое моделирование. Прямые и обратные задачи математического моделирования. Универсальность математических моделей. Принцип аналогий. Иерархия моделей. | №1 . 1 час. Построение простейших дифференциальных моделей. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. | Оп, Об | | |||||||
| 2. | Некоторые классическаие задачи математической физики. | №2. 2 часа. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса). | № 2. 1 час. Построение простейших дифференциальных моделей. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение основной теоремы о существовании единственного решения общей задачи Гурса. Решение задач на тему “Задача с данными на характеристиках ” | ДЗ, Оп, Об | | |||||||
| №3. 2 часа. Общая задача Коши. Функция Римана. | № 3. 1 час. Построение функции Римана путем решения задачи Гурса.. Применение функции Римана для решения общей задачи Коши. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение формулы, выражающей решение общей задачи Коши с помощью функции Римана. Самостоятельное выполнение всех промежуточных выкладок для получения функции Римана и обобщенной формулы Даламбера. | | ||||||||||
| №4. 2 часа. Задача о промерзании (задача о фазовом переходе, задача Стефана). | № 4. 1 час. Метод подобия построения математических моделей. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение темы «метод подобия». Решение задач на тему “Задача Стефана ”. | | ||||||||||
| 3 4 | Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов Методы исследования математических моделей. | №5. 2 часа. Динамика сорбции газа. | №53. 1 час. Задача сорбции. Перенос вещества потоком воздуха с учетом диффузии. Перенос вещества рекой. | | 3 часа. Работа с лекционным мате риалом. Самостоятельное выполнение всех промежуточных выкладок для получения математической модели, описывающей процесс сорбции газа. | ДЗ, КР, Оп, Об | | |||||||
| №6. 2 часа. Уравнение Гельмгольца во внешней области. Поведение решения на бесконечности при различных значениях коэффициента С. Условия излучения, принцип предельной амплитуды, принцип предельного поглощения. Парциальные условия излучения. | № 6. 1 час. Акустический диполь. Пульсирующий цилиндре. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение теорем о единственности решения внешних краевых задач для уравнения Гельмгольца. | | ||||||||||
| №7. 2 часа. Уравнение Гельмгольца во внешней области. Квадрупольный излучатель. Рассеяние плоской волны на цилиндре. Задачи математической теории дифракции. | № 7. 1 час. Рассеяние плоской акустической волны на цилиндрическом препятствии. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач на тему “излучение и рассеяние электромагнитных волн”. | | ||||||||||
| №8. 2 часа. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения. | № 8. 1 час. Построение автомодельных решений процессов нелинейной теплопроводности и горения. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Самостоятельное построение автомодельных решений процессов нелинейной теплопроводности и горения.. | | ||||||||||
| №9. 2 часа. Математические модели теории нелинейных волн | № 9. 1 час. Нелинейное уравнение переноса. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение применения схемы решения обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для уравнения Кортевега-деФриза. | | ||||||||||
| . №10. 2 часа. Вариационные методы решения краевых задач и определения собственных значений | № 10. 1 час. Контрольная работа. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение теорем об эквивалентности прямых и вариационных постановок и краевых задач. | | ||||||||||
| | | №11. 2 часа. Некоторые алгоритмы проекционного метода. | № 11. 1 час. Метод Ритца. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение основных алгоритмов проекционных методов: метода Ритца, метода Галеркина, обобщенного метода моментов, метода наименьших квадратов. | Оп, Об | | |||||||
| . №12. 2 часа. Метод конечных разностей. Основные понятия. Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке. Метод прогонки. | № 12. 1 час. Вычисление порядка погрешности аппроксимации основных разностных операторов. | | 6 часа. Работа с лекционным материалом. Построение разностной схемы для нелинейного уравнения переноса. Составление и отладка программы. Получение конкретного результата. | | ||||||||||
| №13. 2 часа. Метод конечных разностей. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений. Консервативные однородные разностные схемы. Метод конечных элементов. | № 13. 1 час. Спектральный критерий (условие Неймана) устойчивости разностных схем. | | 6 часа. Работа с лекционным материалом. Построение разностной схемы переменных направлений для уравнения теплопроводности. Составление и отладка программы. Получение конкретного результата | Оп, Об | | |||||||||
| | | | | | | | ||||||||
| | | | ||||||||||||
| | | | | | ||||||||||
| | Некоторые новые объекты и методы математического моделирования. | №14. 2 часа. Асимптотические методы. Метод малого параметра. Регулярные и сингулярные возмущения. Метод ВКБ. Метод усреднения Крылова-Боголюбова | № 14. 1 час. Регулярные возмущения. Сингулярные возмущения. | | 3. часа. Работа с лекционным материалом. Самостоятельное выполнение всех промежуточных выкладок для метода регулярных и сингулярных возмущений. | |
| №15. 2 часа. Метод ВКБ. Метод усреднения Крылова-Боголюбова | № 15. 1 час. Метод усреднения Крылова-Боголюбова. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Самостоятельное выполнение всех промежуточных выкладок для метода Крылова-Боголюбова. | | ||
| 5. | №16. 2 часа. Фракталы и фрактальные структуры. Конструктивные и динамические фракталы. Моделирование фрактальных структур. | № 16. 1 час. Определение размерностей конструктивных фракталов. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. Самостоятельное построение простейших конструктивных фракталов. | |
| | | №17. 2 часа. Самоорганизация и образование структур. Синергетика Вейвлет - анализ. Детерминированный хаос. | № 17. 1 час. Контрольная работа. | | 3 часа. Работа с лекционным материалом. | |
9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
1. Дисциплина является обязательной.
2. Вариативная часть, профессиональный блок, дисциплина обязательная.
3. Курс связан с курсами блока общей математической и компьютерной подготовки и блока подготовки по общей физике базовой части ООП ВПО.
3.1. Дисциплины и практики, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины.
«Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра», «Теория функций комплексной переменной», «Дифференциальные уравнения», «Интегральные уравнения», «Методы математической физики», «Механика», «Молекулярная физика», «Электричество», «Оптика».
3.2. Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее.
Данная дисциплина предусмотрена в 6-ом семестре, ее освоение необходимо для курса «Численные методы в физике», а также для научно-исследовательской работы, курсовой работы, дипломной работы.
10. Образовательные технологии
Курс имеет электронную версию для презентации. Лекции читаются с использованием современных мультимедийных возможностей и проекционного оборудования. Студентам предлагаются темы для докладов и презентаций с последующей дискуссией и обсуждением сделанного доклада на семинарах.
11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Текущая аттестация проводится еженедельно. Критерии формирования оценки – посещаемость занятий, активность студентов на лекциях, уровень подготовки к лекциям, выполнение домашних заданий, выполнение докладов на семинарах, написание летучих контрольных работ. На основании этих данных производится формирование окончательной оценки уровня освоения материала студентами.
Примеры тем предлагаемых докладов:
1. Задача о температурных волнах.
2. Колебание газа в неограниченной трубке.
3. Распределение тепла в конусовидном стержне.
4. Фрактальные структуры. Применение и моделирование.
Примеры домашних задач:
1. Применение функции Римана.
2. Задача сорбции.
3. Перенос вещества потоком воздуха с учетом диффузии.
4. Перенос вещества рекой.
5. Акустический диполь.
6. Рассеяние плоской акустической волны на цилиндрическом препятствии.
7. Пульсирующий цилиндре.
8. Нелинейное уравнение переноса.
9. Метод Ритца.
10. Спектральный критерий (условие Неймана) устойчивости разностных схем.
11. Асимптотические методы. Сингулярные возмущения. Метод усреднения
Крылова-Боголюбова.
Примеры практических домашних задач:
1. Используя схему бегущего счета и итерационные методы, решить задачу:
2. Используя метод конечных разностей (неявную схему), решить краевую задачу:
Указание. При решении задачи не пользоваться стандартными программами; в качестве отчета представить собственную программу, реализующую метод прогонки, а также результаты в виде графиков и таблиц.
Промежуточная аттестация Проводится на 9 неделе в форме коллоквиума с оценкой. Коллоквиум состоит из двух частей: письменной, по результатам которой получившие положительную оценку студенты допускаются к участию в устной части коллоквиума. Критерии формирования оценки – уровень знаний пройденной части курса.
В конце мая проводится тестирование по всем темам курса.
Список контрольных вопросов для коллоквиума:
Первые 33 вопроса из перечня вопросов к экзамену.
Пример теста:
1. ||Характеристики уравнения
являются|прямыми линиями
|параболами
|гиперболами
|эллипсами
|локонами Аньези
2. ||Решение вида
уравнения 
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению|
, (
)|
, ()|
, ()|
, ()|
, ()3. ||Решение уравнения
с начальным условием 
дается уравнением|
|
|
|
|
4. ||Укажите оператор, сопряженный оператору L, если
:|
|
|
|
|
5. ||Уравнение Кортевега - де Фриза допускает решение, именуемое солитоном, например
|
|
|
|
|
(функция Бесселя)6. ||Укажите функцию Римана для уравнения
|
(функция Бесселя)|
(функция Неймана)|
(функция Инфельда)|
(функция Бесселя)|
(функция Ханкеля I-го рода)7. ||Уравнение Лапласа
есть уравнение Эйлера задачи на минимум интеграла Дирихле|
|
|
|
|
8. ||Шаблон явной схемы для уравнения теплопроводности содержит
|4 точки
|3 точки
|2 точки
|5 точек
|6 точек
9. ||Главное преимущество чисто неявной схемы приближенного решения уравнения теплопроводности над явной схемой состоит в том, что она
|безусловно устойчива
|лучше аппроксимирует исходную задачу
|проста в реализации
|учитывает законы сохранения
|передана в общественное достояние и может быть использована в коммерческих целях без согласия ее автора
10. ||Число арифметических операций, выполняемых при решении N линейных уравнений методом прогонки, имеет порядок
|
|
|
|
|
11. ||Пусть C – кривая вида
и 
– полуплоскость ниже этой кривой. Решить задачу 
|
;|
;|
;|
;|
;12. ||Если в качестве конечных элементов на отрезке использовать кусочно-линейные функции, то приближенное решение
|непрерывно на всем отрезке
|имеет непрерывную первую производную на всем отрезке
|имеет непрерывную вторую производную на всем отрезке
|имеет непрерывную третью производную на всем отрезке
|является бесконечно гладким на всем отрезке
13. ||Какой задаче удовлетворяет функция Римана для уравнения
, 
,где
- полуплоскость под кривой C? Пусть 
, A и B – точки пересечения кривой C с горизонтальной и вертикальной характеристиками, проходящими через M, область D заключена между C и отрезками характеристик AM и BM. |
|
|
|
|
Итоговая аттестация экзамен.
Перечень вопросов к экзамену:
Перечислите основные этапы математического моделирования.
Дайте определение детерминированной модели.
Дайте определение стохастической модели.
Что такое прямые задачи математического моделирования? Приведите примеры.
Что такое обратные задачи математического моделирования? Приведите примеры.
В чем состоит принцип аналогий в математической физике? Приведите примеры.
Приведите примеры, демонстрирующие универсальность математических моделей.
Что такое иерархия моделей. Приведите примеры.
Как ставится простейшая задача Гурса?
Как ставится общая задача Гурса?
Как ставится общая задача Коши в простейшем случае.
Поставьте общую задачу Коши.
Какими свойствами должна обладать кривая С, на которой ставятся дополнительные условия в общей задаче Коши?
Дайте определение Функции Римана.
Приведите простейший пример функции Римана.
Какие дифференциальные операторы называются сопряженными?
Что произойдет, если характеристика уравнения общей задачи Коши пересечет кривую С, на которой заданы дополнительные условия, более чем в одной точке?
Как ставится задача Стефана?
Какой физический смысл имеет задача Стефана?
В чем состоит метод подобия?
Как ставится задача сорбции?
Напишите уравнение кинетики сорбции.
Что такое изотерма сорбции? Приведите примеры.
Рассмотрите поведение на бесконечности решения уравнения Гельмгольца при различных видах коэффициента С.
Сформулируйте для неограниченной области теорему единственности решения уравнения Гельмгольца в случае отрицательного коэффициента С.
Напишите условие излучения Зоммерфельда в трехмерном случае.
Напишите условия излучения Зоммерфельда в двумерном случае.
В каком случае и для чего ставятся условия излучения Зоммерфельда?
Сформулируйте принцип предельного поглощения.
Сформулируйте принцип предельной амплитуды.
Приведите пример постановки парциальных условий излучения.
Какой излучатель называется квадрупольным?
Как ставится задача математической теории дифракции?
Что такое автомодельное решение?
Дайте определение квазилинейного уравнения теплопроводности.
Сформулируйте основные свойства квазилинейного уравнения теплопроводности.
Что такое тепловые волны? При каких условиях они возникают?
Что такое режимы с обострением? Приведите примеры.
При каком режиме с обострением образуется стоячая тепловая волна?
Напишите квазилинейное уравнение переноса.
Напишите уравнение характеристик для квазилинейного уравнения переноса.
Могут ли характеристики квазилинейного уравнения переноса пересекаться? Что это означает физически?
В чем состоит явление опрокидывания волн? Как его можно объяснить?
В каких случаях необходимо строить обобщенное решение квазилинейного уравнения переноса?
Напишите условие на разрыве (условие Гюгонио-Ренкина).
Напишите уравнение Кортевега – де Фриза.
Для решения какой нелинейной задачи применяется схема решения обратной задачи рассеяния?
Изложите схему решения обратной задачи рассеяния.
Что такое солитонные решения?
Решением какого уравнения являются солитоны?
В чем состоит принцип сведения краевых задач к вариационным задачам (принцип Дирихле)?
Как ставится вариационная задача на собственные значения?
Что такое вариационные и что такое проекционные алгоритмы? Приведите примеры.
В чем состоит метод Ритца?
Что такое энергетическое пространство? В каком случае его можно построить?
Какие краевые условия называются главными, и какие естественными?
В каких случаях метод Ритца неприменим?
В чем состоит метод Галеркина?
В чем состоит обобщенный метод моментов?
В чем состоит метод наименьших квадратов?
Дайте определение разностной схемы.
Что такое условие согласования норм?
Дайте определение аппроксимации разностной задачей исходной дифференциальной задачи.
Дайте определение устойчивости разностной схемы.
Дайте определение сходимости разностной схемы.
Что означает, что разностная задача имеет m-й порядок точности?
Дайте определение корректной постановки разностной схемы.
Что означает выражение: из аппроксимации и устойчивости разностной схемы следует ее сходимость? Для каких разностных схем оно справедливо?
Что такое шаблон разностного оператора? Приведите примеры.
Приведите пример явной разностной схемы. В чем ее достоинства и недостатки?
Приведите пример неявной разностной схемы. В чем ее достоинства и недостатки?
Напишите условия устойчивости явной разностной схемы.
Приведите пример безусловно устойчивой схемы.
Приведите пример экономичной разностной схемы.
Напишите схему переменных направлений (схему Письмена-Рэкфорда).
Дайте определение однородной разностной схемы.
Что такое шаблонные функционалы?
Дайте определение консервативной разностной схемы.
Приведите пример консервативной разностной схемы.
Приведите пример неконсервативной разностной схемы.
Какие методы построения консервативной разностных схем вам известны?
В чем состоит интегро-интерполяционный метод (метод баланса)?
Опишите алгоритм метода конечных элементов.
Приведите пример простейшего базиса метода конечных элементов.
Сформулируйте необходимое спектральное условие устойчивости Неймана для решения разностной задачи Коши.
Что такое асимптотическая формула?
Какие члены асимптотической формулы называются остаточными?
Может ли асимптотический ряд быть расходящимся?
Может ли асимптотическая формула обеспечить произвольную степень точности? Если да, то приведите пример.
Что в асимптотических методах понимается под возмущением?
Что такое регулярное возмущение?
Что такое сингулярное возмущение?
Какое решение невозмущенного уравнения называется устойчивым?
Что такое область влияния (притяжения) корня невозмущенного уравнения?
В чем состоит метод ВКБ?
Опишите алгоритм метода Крылова-Боголюбова. Для решения каких задач он применяется?
Почему метод Крылова-Боголюбова называется методом усреднения?
Что такое аттрактор? Что такое странный атрактор?
Дайте определение фрактала.
Какие фракталы называются конструктивными? Приведите примеры.
Какие фракталы называются динамическими? Приведите примеры.
Приведите примеры расчета размерности конструктивных фракталов.
Что такое дендриты? Приведите примеры.
Что такое вейвлет-анализ? Для чего он применяется?
Почему функции Хаара, функции Литлвуда-Пелли и функции Габора не используются в качестве базисных функций в вейвлет-анализе?
Что такое материнский (анализирующий) вейвлет?
Перечислите основные свойства функций вейвлет-семейства.
В чем состоит преимущество вейвлет-преобразования перед фурье-преобразованием?
Приведите примеры применения вейвлет-анализа.
Что такое диссипативные структуры?
Что изучает синергетика?
Опишите модель брюсселятора.
Что такое термодинамическая ветвь?
Перечислите основные свойства систем, в которых возможны явления самоорганизации и возникновения структур.
Порядок проведения экзаменов.
Экзамен по курсу «основы математического моделирования» состоит из трех этапов.
Студенты письменно отвечают на пять вопросов из представленного списка. На ответы дается полчаса. Не справившимся с этим заданием проставляется оценка «неудовлетворительно».
Проверка и обсуждение практических задач.
Опрос по всей программе курса. На этом этапе, кроме ответов студентов, учитываются результаты прохождения ими коллоквиума и тестирования.
12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература.
Тихонов Н.А., Токмачев М.Г. Курс лекций «Основы математического моделирования». Части 1 и 2. М.: Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова, 2012.
Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.
М.: Наука. Физматлит, 1997.
Тарасевич Н.Н. Математическое и компьютерное моделирование.
Вводный курс. М.: Эдиториал УРСС, 2001
Введение в математическое моделирование. Под редакцией
Трусова П.В. М.: Логос, 2004.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.
Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по
математической физике. М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории
cингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.
Дополнительная литература.
Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1992.
Марчук Г.И.. Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные
методы. М.: Наука,1981.
Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Ижевск: Изд-во РХД, 2002.
Николис Г. Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.
Чуи К. Введение в вэйвлеты. М.: Мир, 2001.
Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010.
Интернет-ресурсы
matematika.phys.msu.ru/stud_gen/8 Боголюбов А.Н. Конспект лекций по математическому моделированию.
Методические указания к практическим занятиям:
1. Боголюбов А.Н.. Тихонов Н.А., Митина И.В., Шапкина Н.Е. Задачи по курсу «Основы
математического моделирования». М.: Физический факультет МГУ им.
М.В.Ломоносова. 2006.
13. Материально-техническое обеспечение
В соответствии с требованиями п.5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки “Физика”.
Курс может быть прочитан в любой аудитории при наличии: работающих электрических розеток, компьютера, проектора, экрана, учебной доски.
Стр. из
страница 1
скачать
Другие похожие работы: