Д е. взят на n = 8 лет под i = 8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер это выплаты. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок. Решение

Решение задач по финансовой математике.

Задание 1.15

Заем D =20 000 д.е. взят на n = 8 лет под i = 8% годовых. Погашаться будет ежегодными равными выплатами. Найдите размер это выплаты. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение.

Величину ренты при сложной процентной ставке определим по формуле:





Размер ежегодной выплаты составит 3480 д. е.

Величина ренты при простой процентной ставке:





Размер ежегодной выплаты составит 2700 д. е.


Задание 2.15

Для ренты с параметрами: годовая ставка процента r = 12%, годовой платеж R = 400 д.е., длительность ренты п = 6 лет, получить следующие ее характеристики: коэффициенты приведения и наращения, современную и наращенную величины. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение.

Для сложных процентов.

Современная величина ренты при сложной процентной ставке:

, где r – процентная ставка, - коэффициент приведения.

Наращенная величина ренты при сложной процентной ставке:



, где - коэффициент наращения.

Находим коэффициент приведения:



Современная величина ренты: 400·4,111 = 1644,4 д. е.

Коэффициент наращения:



Наращенная величина: 8,115·400 = 3246 д. е.

Для простых процентов.

Современная величина ренты при простой процентной ставке:

<sub>, где i – ставка простых процентов,

- коэффициент приведения.</sub>

Наращенная величина ренты при простой процентной ставке:

_{, где} - коэффициент наращения.

Найдем коэффициент приведения:



Современная величина ренты: 400·5,357 = 2142,8 д. е.

Коэффициент наращения:



Наращенная величина: 7,8·400 = 3120 д. е.

Задача 3.15

Первый инвестор осуществил покупку одного ГКО по цене 85% от номинала, а затем продажу по цене 86% от номинала. Второй инвестор купил одну корпоративную облигацию по цепе 85% от но­минала. По какой цене (в процентах от поминала) он должен про­дать корпоративную облигацию, чтобы получить прибыль в два раза большую, чем первый инвестор от операции с ГКО (учесть налог на прибыль)?

Решение.

Определим доходность операции, совершенной первым инвестором:

0,86/0,85 = 1,0118, прибыль составляет 1,2%, с учетом налога на прибыль в размере 10%, получим значение чистой прибыли: 1,2%·0,9 = 1,08%.

Тогда чистая прибыль второго инвестора должна составлять 1,08·2 = 2,16%.

Прибыль без учета налога: 2,16/0,9 = 2,4%. Доходность сделки должна составлять 1,024.

Находим цену продажи акции: 85%·1,024 = 87%.

Второй инвестор должен продать акцию по цене 87% от номинала.

Тема «Оптимальный портфель ценных бумаг»
16. С помощью компьютера найден оптимальный портфель макси­мальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и рис­ком: (10, 21); (20, 34); (43, 47) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 27. Доли бумаг оказались равны­ми 6, 49 и 45%. Проверить компьютерные расчеты.
Решение.

Найдем ожидаемую доходность:

=R₁X₁ + R₂X₂ + R₃X₃ =10·0,06 + 20·0,49 + 43·0,45 = 29,75.

Расчеты по ожидаемой доходности оказались верными.

Найдем риск полученного портфеля.

Дисперсия: V_p = ₁²∙X₁² + ₂²∙X₂² + ₃²∙X₃² = 0,21² ·0,06² + 0,34²·0,49² + 0,47²·0,45² = 0,0726

Тогда риск будет: r = 26,9%


Тема «Оценка стоимости вторичных ценных бумаг»
Задача 2.10.

Продавец реализует опцион колл на акцию компании «В» с ценой исполнения 30 руб. Цена за опцион (премия), полученная продавцом, составляет 4 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 32 руб. Определите, прибыль или убыток получил покупатель опциона.

Решение.

Так как рыночная цена на момент исполнения выше цены опциона S>K, то прибыль опциона составит 32 – 30 = 2 руб., с учетом прими заплаченной продавцу, доход покупателя составит 2 – 4 = -2 руб. Следовательно, покупатель окажется в убытке, что бы оказаться в точке безубыточности, рыночная цена акции должна составлять 34 руб.

Задача 2.13.

Инвестор приобрел опцион стрэнгл на акции компании «А» со стеллажными точками (цены исполнения)140 и 180 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 50 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила:

в) 260 руб.

Решение.

Так как рыночная цена поднялась, то эффективным будет опцион колл. Доход, по которому составит 260 – 140 = 120 руб., с учетом премии уплаченной продавцу прибыль инвестора составит 120 – 50 = 70 руб.

Статистика фондового рынка и элементы технического анализа
Из таблицы приложения (результаты торгов акциями ЛУКойл НК) в соответствии с последней цифрой Вашей зачетной книжки( для студентов дневной формы по последней цифре номера в журнале) выберите необходимые исходные данные (25 строк) для выполнения контрольной работы:

Дата	Цена открытия	MAX	MIN	Цена закрытия
01.06.1998	60	60	51,9	53
02.06.1998	56,5	65,5	54,5	64,69
03.06.1998	66,5	70,7	64,35	68,4
04.06.1998	70,6	72,15	66,5	67,5
05.06.1998	69	69,68	66,5	67,4
08.06.1998	65,02	67,7	65	66,9
09.06.1998	66	66,45	61,2	63,3
10.06.1998	58	61	57,5	58,49
11.06.1998	55,6	60	55,1	60
15.06.1998	52,6	56,01	52,6	53,8
16.06.1998	51,4	56,7	50,65	53
17.06.1998	56	60,68	53,7	59,5
18.06.1998	63	64,1	56	56
19.06.1998	53,55	58,2	52,55	56,7
22.06.1998	56,5	57,8	56,2	56,7
23.06.1998	58,5	59,88	57,8	59,7
24.06.1998	60,8	64,6	59,45	64
25.06.1998	64	64,19	59,8	59,8
26.06.1998	56	57,9	55,3	55,85
29.06.1998	53,5	54,2	51,8	53,2
30.06.1998	53,2	53,5	51,27	52,42
01.07.1998	53,3	54,5	50,75	51
02.07.1998	50,2	52,3	48,9	52,3
03.07.1998	52,94	55	51,27	55
06.07.1998	53,1	53,9	50,72	51,3

Выполнить следующие задания:

1. Постройте график - гистограмму.

2. 
   Постройте график японских свечей.
   
3. 
   Рассчитайте по ценам закрытия:
   

а) нормированный 5-уровневые инерционный осциллятор;

б) осциллятор нормы изменения.

4. Рассчитайте по ценам закрытия:

а) 5-уровневую невзвешенную скользящую среднюю (МА5);

б) 5-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА5);

в) 9-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА9).

5. На основе полученных экспоненциальных средних рассчитайте значения уровней и постройте на графиках:

а) сигнальную линию (применив осреднение по 7 уровням);

б) линию MACD;

в) MACD-гистограмму.

Решение.

1. 
   Построим график гистограмму.
   

2. 
   Построим график японских свечей.
   
   
3. 
   Рассчитаем по ценам закрытия:
   

А) нормированный 5-уровневые инерционный осциллятор.

Инерционный осциллятор или момент представляет собой разность текущего значения цены и ее значения, зафиксированного несколько дней назад:

M_x = p_i – p_i-x

где p_i - цена закрытия или средневзвешенная цена i-гo дня;

p_i-x - цена закрытия или средневзвешенная цена х дней назад.

Данный осциллятор оценивает скорость роста или падения уровней цены. При этом с уменьшением временного интервала х он становится более чувствительным к изменениям исследуемой динамики.

Для повышения аналитичности инерционный осциллятор нормируется. Для этого за определенный временной интервал выбирается его максимальное по модулю значение и все другие значения делятся на этот максимумом. На графике нормированный инерционный осциллятор будет изменяться в интервале от -1 до +1.

Расчет инерционного осциллятора, нормированного инерционного осциллятора, а так же осциллятора нормы изменения представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Дата	Цена закрытия	Mx	Нормированный осцилятор	ROC
01.06.1998	53
02.06.1998	64,69
03.06.1998	68,4
04.06.1998	67,5
05.06.1998	67,4
08.06.1998	66,9	13,9	1,000	126,2%
09.06.1998	63,3	-1,39	-0,100	97,9%
10.06.1998	58,49	-9,91	-0,713	85,5%
11.06.1998	60	-7,5	-0,540	88,9%
15.06.1998	53,8	-13,6	-0,978	79,8%
16.06.1998	53	-13,9	-1,000	79,2%
17.06.1998	59,5	-3,8	-0,273	94,0%
18.06.1998	56	-2,49	-0,179	95,7%
19.06.1998	56,7	-3,3	-0,237	94,5%
22.06.1998	56,7	2,9	0,209	105,4%
23.06.1998	59,7	6,7	0,482	112,6%
24.06.1998	64	4,5	0,324	107,6%
25.06.1998	59,8	3,8	0,273	106,8%
26.06.1998	55,85	-0,85	-0,061	98,5%
29.06.1998	53,2	-3,5	-0,252	93,8%
30.06.1998	52,42	-7,28	-0,524	87,8%
01.07.1998	51	-13	-0,935	79,7%
02.07.1998	52,3	-7,5	-0,540	87,5%
03.07.1998	55	-0,85	-0,061	98,5%
06.07.1998	51,3	-1,9	-0,137	96,4%

б) осциллятор нормы изменения.

Осциллятор нормы изменения ROC (rate of change) представляет собой отношение текущего значения цены к ее уровню, зафиксированному несколько дней назад:



Данный осциллятор принимает только положительные значения, которые на графике колеблются относительно центральной линии, соответствующей 100%. Кривая осциллятора примерно соответствует кривой осциллятора инерции. Однако, в отличие от последней она характеризует не скорость, а интенсивность изменения уровней или потенциал роста.

4. Рассчитаем по ценам закрытия:

а) 5-уровневую невзвешенную скользящую среднюю (МА5).

С учетом указанной особенности формула простой скользящей средней k-гo порядка - MA(k) (moving average) имеет следующий вид:

, где p_i – цена i-го периода.

Расчет пятиуровневой скользящей средней представлен в таблице 5.2.

Таблица 5.2.

Цена закрытия	5-уровневая невзвешенная скользящая сумма	5-уровневая невзвешенная скользящая средняя МА(5)
53
64,69
68,4
67,5
67,4	320,99	64,198
66,9	334,89	66,978
63,3	333,5	66,7
58,49	323,59	64,718
60	316,09	63,218
53,8	302,49	60,498
53	288,59	57,718
59,5	284,79	56,958
56	282,3	56,46
56,7	279	55,8
56,7	281,9	56,38
59,7	288,6	57,72
64	293,1	58,62
59,8	296,9	59,38
55,85	296,05	59,21
53,2	292,55	58,51
52,42	285,27	57,054
51	272,27	54,454
52,3	264,77	52,954
55	263,92	52,784
51,3	262,02	52,404

б) 5-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА5).

Расчет экспоненциальных скользящих средних можно рассматривать как один из вариантов реализации метода экспоненциального сглаживания Брауна. С учетом выбранного параметра ОС экспоненциальная скользящая средняя может быть рассчитана по формуле:

EMA(k)_i = ·p_i + (1 - )·EMA(k)_i-1

При этом начальным уровнем в цепочке скользящих средних является простая средняя k-го порядка:



Рассмотрим пример расчета 5-уровневой экспоненциальной скользящей средней. Параметр ОС получен по следующей формуле:

= 2/(5+1) = 0,333.

Расчет 5-уровневой экспоненциальную скользящую средней (ЕМА5) представлен в таблице 5.3.

Таблица 5.3.

Цена закрытия	·pi	(1-)·EMAi-1	EMAi
53
64,69
68,4
67,5
67,4			64,198
66,9	22,3	42,79867	65,09867
63,3	21,1	43,39911	64,49911
58,49	19,49667	42,99941	62,49607
60	20	41,66405	61,66405
53,8	17,93333	41,10937	59,0427
53	17,66667	39,3618	57,02847
59,5	19,83333	38,01898	57,85231
56	18,66667	38,56821	57,23487
56,7	18,9	38,15658	57,05658
56,7	18,9	38,03772	56,93772
59,7	19,9	37,95848	57,85848
64	21,33333	38,57232	59,90565
59,8	19,93333	39,9371	59,87044
55,85	18,61667	39,91362	58,53029
53,2	17,73333	39,02019	56,75353
52,42	17,47333	37,83568	55,30902
51	17	36,87268	53,87268
52,3	17,43333	35,91512	53,34845
55	18,33333	35,56563	53,89897
51,3	17,1	35,93265	53,03265

в) 9-уровневую экспоненциальную скользящую среднюю (ЕМА9).

=2/(9+1) = 0,2

Расчет 9-уровневой экспоненциальную скользящую средней (ЕМА9) представлен в таблице 5.4.

Таблица 5.4.

Цена закрытия	·pi	(1-)·EMAi-1	EMAi
53
64,69
68,4
67,5
67,4
66,9
63,3
58,49
60			63,29778
53,8	10,76	50,63822	61,39822
53	10,6	49,11858	59,71858
59,5	11,9	47,77486	59,67486
56	11,2	47,73989	58,93989
56,7	11,34	47,15191	58,49191
56,7	11,34	46,79353	58,13353
59,7	11,94	46,50682	58,44682
64	12,8	46,75746	59,55746
59,8	11,96	47,64597	59,60597
55,85	11,17	47,68477	58,85477
53,2	10,64	47,08382	57,72382
52,42	10,484	46,17906	56,66306
51	10,2	45,33044	55,53044
52,3	10,46	44,42436	54,88436
55	11	43,90748	54,90748
51,3	10,26	43,92599	54,18599

5. На основе полученных экспоненциальных средних рассчитаем значения уровней и постройте на графиках:

а) сигнальную линию (применив осреднение по 7 уровням);

Расчет 7-уровневой экспоненциальную скользящую средней (ЕМА7) представлен в таблице 5.5.

Таблица 5.5.

Цена закрытия	·pi	(1-)·EMAi-1	EMAi
53
64,69
68,4
67,5
67,4
66,9
63,3			64,45571
58,49	14,6225	43,8675	58,49
60	15	45	60
53,8	13,45	40,35	53,8
53	13,25	39,75	53
59,5	14,875	44,625	59,5
56	14	42	56
56,7	14,175	42,525	56,7
56,7	14,175	42,525	56,7
59,7	14,925	44,775	59,7
64	16	48	64
59,8	14,95	44,85	59,8
55,85	13,9625	41,8875	55,85
53,2	13,3	39,9	53,2
52,42	13,105	39,315	52,42
51	12,75	38,25	51
52,3	13,075	39,225	52,3
55	13,75	41,25	55
51,3	12,825	38,475	51,3

Построим сигнальную линию.



б) линию MACD.

Таким образом, для построения данного индикатора необходимо:

1. 
   Рассчитать по ценам закрытия 5-дневную ЕМА.
   
2. 
   Рассчитать по ценам закрытия -9дневную ЕМА.
   
3. 
   Вычесть значения ЕМА9 из ЕМА5; в результате получится
   быстрая линия MACD, изображаемая на графике сплошной
   линией.
   
4. 
   На основе быстрой линии MACD построить ЕМА7; в результате получится сигнальная линия, обозначаемая на графике пунктиром.
   

Быстрая линия MACD отражает изменение настроения участников рынка за короткий промежуток времени, сигнальная линия характеризует изменение этих настроений за более длительные периоды.


в) MACD-гистограмму.

Гистограмма MACD (MACD-H) позволяет глубже проникнуть в расстановку сил между быками и медведями, чем просто индикатор MACD. Она показывает не только кто доминирует на рынке - быки или медведи, но и позволяет определить, растет или падает их сила. Для каждого временного периода уровень MACD-гистограммы определяется как следующая разность:

MACD-H = Линия MACD - Сигнальная линия

Полученные значения отображаются на графике в виде вертикальных столбиков.



Задание 1.1

В банк помещен депозит в размере А = 5000 руб. По этому депози­ту в первом году будет начислено i₁= 10%, во втором - i₂ = 12%, в треть­ем - i₃ = 15%, в четвертом и пятом - i₄ = i₅ = 16% годовых. Сколько будет на счету в конце пятого года? Сколько надо было бы поместить на счет при постоянной процентной ставке i = 13%, чтобы обеспечить ту же сумму. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение.

Определим наращенную сумму вклада по формуле сложных процентовешение.

.4

:

, где j – годовая (номинальная) ставка; n - число лет.

S = 5000·(1 + 0,1)¹·(1 + 0,12)¹·(1 + 0,15)¹·(1 + 0,16)² = 9532 р.

Определим, какую сумму нужно положить под 13%, чтобы в конце периода получить сумму 9532 р.:



Необходимо положить 5174 р.

Определим наращенную сумму вклада по формуле простых процентов:

S = P· (1 + j·n)



Получим 8450 р.

Определим, какую сумму нужно положить под 13%, чтобы в конце периода получить сумму 8450 р.:



Необходимо положить 5121 р.

Задание 2.6

Определить процентную ставку для n-летнего займа в А рублей ежегодной выплатой в R рублей.

Решить задачу для следующих исходных данных: п = 10 лет, А = 100000 руб., R = 16981 руб. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

Решение.

Современная величина ренты при сложной процентной ставке:

(2.1) , где r – процентная ставка.

Подставляя известные величины в формулу (2.1) и решая полученное уравнение относительно r, имеем:



По формуле сложных процентов процентная ставка составляет 11% годовых.

Современная величина ренты при простой процентной ставке:

<sub>(2.2)

, где i – ставка простых процентов.</sub>

Подставляя известные величины в формулу (2.2) и решая полученное уравнение относительно i, имеем:



По формуле сложных процентов процентная ставка составляет 69,8% годовых.

Задача 3.8

Организация приобрела 20 облигаций со сроком погашения 3 года и номинальной стоимостью каждой 250 млн. руб. по курсу 90%. Проценты выплачиваются по полугодиям по номинальной процентной ставке g= 50% годовых. Определите доход, полученный организацией, и эффективную процентную ставку доходности, если процентные деньги реинвестируется под 50% годовых с ежемесячным начислением процентов. Какая реальная ставка доходности, если уровень инфляции первый год

составил 26%, второй – 16%, третий – 12%?

Решение.

Определим величину ренты R = 250·0,5 = 125 млн. р.

Найдем нарасченную величину ренты:

, где R – разовый рентный платеж , j – номинальная процентная ставка ренты, m и p число периодов начисления процентов и платежей в году , n – число лет.



Нарасченная сумма по одной облигации составляет 753,8 млн. р.

Определим доход, полученный организацией: (753,8 + 250)·20 = 20076 млн. р.

Прибыль организации: 20076 - 20·250·0,9 = 15,576 млн. р.

Эффективная процентная ставка:



Эффективная процентная ставка составляет 64,6% годовых.

Найдем реальную процентную ставку:



Реальная процентная ставка составляет 39,7% годовых.