Генератор хаотических колебаний сверхвысоких частот для систем передачи информации
Теория и методы цифровой обработки сигналов
© электронная версия подготовлена АВТЭКС Санкт-Петербург, http://www.autex.spb.su
ГЕНЕРАТОР ХАОТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ СВЕРХВЫСОКИХ ЧАСТОТ ДЛЯ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
Савельев С.В.
Институт радиотехники и электроники РАН, Фрязинское отделение
141190, г. Фрязино, Московской обл., пл. Введенского, 1
Стремительное развитие носимых средств связи требует перспективных форм в развитии информационных технологий на основе динамического хаоса для передачи и защиты информации. Новое поколение беспроводных широкополосных систем связи имеет большие преимущества в сравнении с используемыми узкополосными системами с частотно-временным разделением абонентских каналов. Увеличение базы передаваемого сигнала за счет использования широкополосных хаотических сигналов позволяет значительно повысить как скорость передачи, так и конфиденциальность передаваемого сообщения.
Развитие полупроводниковой элементной базы и продвижение их частотных характеристик вверх позволяет в настоящее время создавать прямошумовые транзисторные генераторы хаотических колебаний, создающие конкуренцию системам со схемой генератор-усилитель по спектральным и мощностным характеристикам и превосходящие последних по энергетике и надежности. Преимущества полупроводниковых систем позволяет им занимать лидирующее место в системах передачи и обработки информации на основе динамического хаоса. Наиболее передовыми по энергетическим характеристикам во всем используемом диапазоне длин волн являются системы, построенные на биполярных транзисторах СВЧ.
Способы построения систем с хаотическим поведением диапазона СВЧ на биполярных транзисторах кардинально отличаются от таковых на низких частотах. В транзисторных автогенераторах СВЧ активные элементы вынуждены работать в условиях токового насыщения. Такие режимы работы приводят к возникновению сильных нелинейных эффектов, когда известные статические модели биполярного транзистора, такие как классическая модель Эберса-Мола [1] или более уточненный ее вариант – модель Гуммеля-Пуна [2], предполагающие наличие четких границ областей переноса зарядов между переходами эмиттер-база и коллектор-база, непригодны. Все попытки перенести методики расчета параметров транзистора на режим сильных токов являются бесперспективными в практическом плане из-за сильной зависимости значений определяющих параметров от токов транзистора [3]. Поэтому важным является построение модели реального СВЧ устройства с физическим смыслом и значением реальных параметров. Динамика модели должна соответствовать поведению реальных систем, как это можно видеть, например, в [1, 4, 5].
Рис. 1.
При современном уровне развития элементной базы простейший регенеративный усилительный каскад СВЧ диапазона представляет собой согласованный по входу и выходу усилительный элемент (транзистор) без каких-либо дополнительных схемных построений. Положительная обратная связь осуществляется посредством внутренних межвыводных емкостей транзистора. Параметрами усилительного каскада, которые возможно измерить в эксперименте и рассчитать теоретически, являются вид динамической характеристики и инерционность транзистора. Таким образом, регенеративный усилительный каскад СВЧ можно представить как регенеративный усилитель с инерционностью, которая определяется током транзистора, рис.1. Динамическая характеристика нелинейного усилителя (НУ) имеет линейный участок и участок с насыщением. Инерционный преобразователь (ИП) отражает значимость инерции СВЧ транзистора в нелинейном режиме вблизи верхней рабочей частоты.. Тогда уравнения, описывающие динамическую модель регенеративного усилительного каскада СВЧ (рис. 1), можно записать в виде:
(1), где переменные X, Y, Z, W суть напряжение на входе НУ, ток в цепи обратной связи НУ, напряжение с выхода квадратичного детектора, ток во входном контуре НУ, - параметры возбуждения, диссипации, ограничения и инерционности соответственно, F(2X – m2W) – единичная функция Хевисайда. Первые три уравнения описывают безинерционный механизм колебаний в системе, где активным элементом является НУ. Четвертое и пятое уравнение определяет действие однополупериодного ИП на линейный участок НУ. Динамика системы (1) определяется двумя механизмами ограничения колебаний. Первый механизм – безинерционный и связан с нелинейностью динамической характеристики НУ. Второй – инерционный, обусловлен влиянием напряжения с выхода ИП на крутизну характеристики НУ.
Исследования системы было направлено в сторону выявления значений параметров, отвечающих хаотической динамике. Для определения границ областей системы (1) на плоскости параметров , отвечающим различным определенным видам колебаний, был построен последовательный ряд бифуркационных диаграмм для ряда значений параметра при адиабатическом изменении в случае m2 = 0,1, q = 0,05. Сопоставление эволюций динамики исследуемой системы позволяет построить двухпараметрическую диаграмму режимов, рис. 2. Жирные линии указывают границы областей устойчивого цикла и развитого хаоса системы. Тонкие линии разделяют области устойчивых циклов с областями, где предельные циклы теряют устойчивость (тонированные области). Структура комплексной двухпараметрической диаграммы позволяет разбить плоскость диаграммы на три части, обозначенных на диаграмме соответствующими цифрами. Область 1 – устойчивого движения системы с периодом . Область 2 – периодической смены движений, которую можно представить в виде , n = 1, 2,.... Область 3 – развитых хаотических колебаний.
Рис. 2.
Анализ статистических характеристик сигналов путем вычисления распределения плотности вероятности колебаний, показывает, что на границе области развитого хаоса, отвечающего значению параметра инерционности gk = 0,068, распределение плотности вероятности колебаний приближается нормальному Гауссову. Распределение имеет небольшой положительный эксцесс, что объясняется перемежающимся пичковым характером временных реализаций колебательного процесса. При движении вглубь области хаоса значение эксцесса возрастает . Значение указывает на то, что с уменьшением параметра инерционности возрастает характерное время нахождения системы в положении равновесия, при этом среднее время колебаний в одном цуге не меняется.
Представленные теоретические исследования в направлении построения адекватной динамической модели регенеративного усилительного каскада СВЧ показали возможность практического расчета динамики систем на биполярных транзисторах СВЧ, когда динамические параметры транзисторов становятся нелинейными, а параметры согласующих элементов существенно распределенными [5, 6]. Однако спектральные и энергетические характеристики однотранзисторных систем СВЧ лимитированы полосой генерации электромагнитных колебаний. Однотранзисторные регенеративные усилительные каскады, являясь высокодобротными системами и, как правило, обладают эффективной рабочей полосой не превышающей 10 – 15 %. Таким образом, дальнейшее развитие автономных транзисторных систем СВЧ с динамическим хаосом в направлении расширения энергетических и спектральных характеристик с целью создания конкурентоспособных широкополосных и сверхширокополосных источников хаотических колебаний видится в направлении систем связанных однотранзисторных регенеративных усилительных каскадов, работающих в автогенераторном режиме
В работе численно исследованы системы двух и трех связанных парциальных усилительных регенеративных каскадов в автогенераторном режиме описываемых уравнениями (1) при емкостной связи между выходами нелинейных усилителей [7]. Системы демонстрировали устойчивые движения и движение в фазовом пространстве системы типа странный аттрактор на базе одной двух и трех мод. Переходы к странным аттракторам в системах происходит через потерю устойчивости как предельных циклов, так и двух и трехчастотных торов [7, 8], проявляющееся в чередовании странных аттракторов с различным целочисленным значением размерности [9, 10]. Хаотическая динамика связанных автогенераторов наблюдалась в большом диапазоне определяющих параметров.
Основные результаты экспериментальных исследований систем связанных регенеративных каскадов диапазона СВЧ представлены на рис. 3. Парциальные регенеративные каскады представляли собой однотранзисторные устройства.. Эффективная полоса парциального регенеративного каскада (Пn) составляла 10 %.
Оптимальная величина коэффициента связи между парциальными регенеративными каскадами была 0.35 и 0.24 на центральной частоте для системы двух и трех автогенераторов соответственно.
Рис. 3.
Рисунок демонстрирует одно из основных свойств систем связанных автогенераторов, - это последовательное уширение эффективной полосы генерируемых хаотических колебаний с увеличением числа парциальных автогенераторов N. Исследования показали, что для эффективной полосы П и выходной мощности Е хаотических колебаний справедливо: , , где Пn и Еn эффективная полоса и мощность генерируемых колебаний парциальных регенеративных каскадов. Увеличение количества парциальных автогенераторов приводило к сглаживанию огибающей спектра мощности, нормализации дифференциального закона распределения плотности вероятности и уменьшению влияния дестохастизирующих факторов. Количество парциальных регенеративных каскадов ограничено сверху взаимным согласованием активных и пассивных элементов системы в целом, которое на практике имеет место в полосе частот от центральной частоты. Предельные значения П = 80% и Е = 5 - 6Вт реализуются в натурных экспериментах при n = 7 – 8 для современных биполярных транзисторов СВЧ.
Таким образом, предложенный подход создания генератора хаотических колебаний СВЧ, базирующийся на динамической модели регенеративного усилительного каскада, показывает перспективное направление развития широкополосных и сверхширокополосных источников хаотических колебаний на биполярных транзисторах. Достигнутые спектральные и энергетические характеристики систем связанных парциальных каскадов в автогенераторном режиме демонстрируют главные преимущества источников хаоса на биполярных транзисторах в системах передачи информации, использующих сложные сигналы с большой базой. Прямошумовой режим работы автогенераторных систем хаотических колебаний с большим энергетическим потенциалом позволяет намного снизить стоимость современных радиосистем передачи информации за счет смягчения требований к линейности входящих в их состав устройств усиления сложных групповых сигналов.
Литература
Ebers J.J., Moll J. L. Large–Signal Behavior of Junction Transistors. Proc. IRE, 1952, 40, 1401.
Gummel H.K., Poon H.C. An Integral Charge Control Model of Bipolar Transistors. Bell Syst. Tech. J., 1970, 49, 827.
S.M. Sze. Physics of Semiconductor Devices. 1981
Савельев С.В. Бифуркационные явления с аддитивным увеличением периода колебаний в одномодовой радиофизической системе. // РЭ. 1992. Т.37. № 6. С.1064.
Беляев Р.В., Савельев С.В. Стохастичность при усилении бигармонического сигнала мощным биполярным СВЧ транзистором. // РЭ. 1994. Т. 39. № 1. С. 123
Кислов В.Я., Савельев С.В. О двух механизмах стохастизации пассивной моды в радиофизической системе с выделенной инерционностью. // РЭ. 1994. Т. 39. № 7. С. 1153.
Кислов В.Я., Савельев С.В. . Переход порядок-хаос в системе двух связанных автогенераторов с выделенной инерционностью. // РЭ. 1994. Т.39. № 6. С.963.
Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989. С. 280.
Савельев С.В. Генерация хаотических широкополосных колебаний в системах на биполярных транзисторах.// 58 Научная сессия, посвященная дню радио. 14-15 мая 2003 года, г. Москва. Труды. Т. 2. С. 9 – 11.
Савельев С.В. Генерация хаотических сверхширокополосных колебаний диапазона СВЧ в системах на биполярных транзисторах большой мощности. // Всероссийская научная конференция «Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике. 2003 г. Г. Муром. Сборник докладов. С.104 – 108.
DYNAMIC CHAOS OSCILLATOR FOR TRANSLATE IMFORMATION SYSTEM
Savel’ev S.
Institute of Radio Engineering and Electronics, Russian Academy of Sciences,
Fryazino, Moscow oblast, Russia
Theoretically opportunity of creation of chaotic generators also is experimentally investigated on the basis of two and more coupled of one-transistor generators.
Each generator is the systems with inertia have been extensively studied. In these systems, exhibiting regular and complicated dynamics, evolution of the autooscillation process depends both on the connection of inertial chain and on the type of dynamic characteristics of a nonlinear amplification element. In particular, a system with one and a half degrees of freedom demonstrates a sequence of period doubling bifurcations on the transition to chaos.
An autooscillation system was experimentally studied in which the transition to chaos took place as a result of sequential increase in the oscillation period according to the natural scale law. However, such a scenario was never studied by methods of numerical simulation.
We have studied by numerical method a system with inertia described by the equations
(1), where F(X) is the Heaviside function; m1, m2, q, and g are the parameters of excitation, dissipation, limitation, and inertia, respectively.
System (1) differs from the aforementioned modified oscillator with inertia by the shape of the dynamic characteristic of a nonlinear amplifier, which has a linear region at X q and exhibits saturation for X > q. The fourth equation in system (1) describes an inertial half-period converter. Therefore, the system dynamics is determined by two mechanisms of limitation of the autooscillations. The first mechanism is non-inertial and is related to nonlinearity of the amplifier characteristic. The second mechanism is inertial and is related to the influence of an output voltage of the inertial converter on the slope of the nonlinear amplifier characteristic.
A mechanism of the transition to chaotic oscillations in the phase space of the system onto the planes (X, Y) and (X, Z) show that the form of an attractor in the phase space is determined by a double saddle–focus loop with a characteristic transient motion along the saddle separatrix. The phase space of the system features a double attractor of the Shil’nikov type comprising a stable focus and unstable saddle or unstable focus and stable saddle motions.
The creation of chaotic generators experimentally investigated on the basis of two and more coupled of one-transistor generators. The values of parameters of system are numerically established at connection between outputs generators adequate chaotic oscillations of system. The results of experimental researches of systems of the connected one-transistor generators of a range of a MICROWAVE with reference to theoretical models are considered.
Об оптимальной линейной фильтрации
Жиляков Е.Г.1), Белов С.П., Прохоренко Е.И. Белов А.С.
1)Белгородский государственный университет, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85, [email protected]
Введение
В настоящее время подход к частотной фильтрации осуществляется на основе применения КИХ-фильтров, применение которых гарантирует оптимальность только с точки зрения минимума погрешности приближения к прямоугольному виду трансформанты Фурье их импульсных характеристик. При этом не рассматривается оптимальность выходных последовательностей КИХ-фильтров с позиций погрешности приближения в заданном частотном интервале трансформанты Фурье исходного отрезка данных.
Исходя из этого, в докладе рассматривается новый метод оптимальной линейной частотной фильтрации, применение которого позволяет выделить из обрабатываемой последовательности данных аддитивную составляющую, оптимальную в указанном выше смысле, и зависящую только от доли энергии исходной смеси, сосредоточенной в заданном частотном интервале.
Математические основы метода
Пусть имеется вектор речевых данных с числом отсчетов N (длительностью N) (1),
где штрих означает транспонирование, полученный в результате регистрации речевых сигналов длительностью Т в дискретных точках интервала наблюдений, причём дискретизация предполагается эквидистантной. Трансформанта Фурье такого вектора по определению имеет вид (2)
Задача фильтрации вектора речевых данных вида (1) рассматривается в предположении, что исходный вектор представляется в виде суммы векторов , (3), где первый из векторов в правой части удовлетворяет вариационному принципу
, (4), где интервалы Vr определяют разбиение оси частот вида , (5), . (6).
В (15) введено обозначение для трансформанты Фурье искомого вектора . (7).
Нетрудно показать справедливость представления , (8), используя которое легко получить решение вариационной задачи (15) , (9), где ; , (10), субполосная матрица, полностью определяемая границами заданного частотного интервала ( ), причём размеры области определения совпадают по обоим координатам с выбранной длительностью анализируемого отрезка данных.
Вектор (9) естественно называть оптимальным в смысле минимальности критерия (8), а фильтрацию на основе вычисления правой части (9) - линейной оптимальной фильтрацией.
Нетрудно показать, что равенство , (11), определяет энергию исходного вектора, приходящуюся на выбранный частотный интервал, которая численно равна скалярному произведению его на результат фильтрации.
Непосредственно из (9) нетрудно получить соотношение для вычисления энергии вычисляемого в результате фильтрации вектора . (12).
Подставив в правую часть соотношения (9) определение элементов субполосной матрицы вида (10), после несложных преобразований можно получить представление компонент вектора оптимальной фильтрации через трансформанту Фурье исходного вектора . (13)
Иными словами, оптимальную фильтрацию, определяемую соотношением (9), можно интерпретировать как вычисление обратного преобразования от трансформанты Фурье исходного вектора, но только на заданном частотном интервале.
Отметим, что соотношение (9) делает операцию интегрирования трансформанты Фурье исходной функции по любому частотному интервалу осуществимой без явного перехода в частотную область, хотя реально вычислить трансформанту Фурье во всех точках интервала невозможно.
Для приложений важным выводом из соотношения (13) является то, что получаемый в результате фильтрации вектор является не только оптимальным в смысле условия (4), но и определяется только отрезком трансформанты Фурье исходного вектора, соответствующим выбранному частотному интервалу.
Это обстоятельство можно считать существенным преимуществом предлагаемого подхода перед частотной фильтрацией на основе реализации свёртки исходной функции и импульсной характеристики фильтра, так как, вообще говоря, невозможно создать идеально прямоугольную частотную характеристику фильтра с бесконечно большим подавлением в полосе непропускания и, следовательно, невозможно исключить «просачивание» в выбранный частотный интервал энергии из соседних частотных областей. В зависимости от соотношений энергий в заданном частотном интервале и смежных частотных областях просочившаяся энергия может стать сравнимой по величине с имеющейся. Иными словами, результат фильтрации на основе реализации свёртки может существенным образом определяться трансформантой Фурье исходного вектора из соседних с выбранным частотных интервалов, что нельзя признать допустимым.
Имея в виду определение (7), нетрудно суммируя соответствующим образом левую и правую части равенства (13), получить соотношение для трансформанты Фурье результата оптимальной фильтрации на основе соотношения (9) . (14)
Непосредственно из представления (21) нетрудно получить аналогичное (если не принимать во внимание пределы интегрирования) соотношения для трансформанты Фурье исходного вектора
. (15).
Таким образом, трансформанта Фурье исходного вектора является собственной функцией ядра в соотношениях (14) и (15), но в последнем случае интегрирование осуществляется по конечному частотному интервалу. Близость трансформант Фурье исходного вектора и результата оптимальной фильтрации будет обеспечиваться при таких значениях N, когда ядро в (14) (ядро Дирихле) будет хорошо аппроксимировать дельта - функцию Дирака.
Представляет несомненный интерес определение оптимальных значений слагаемых в правой части функционала (4), а именно: относительной квадратичной погрешности аппроксимации исходной трансформанты Фурье в заданном частотном интервале
; (16), и долю «просачивающейся» энергии результата фильтрации за пределы выбранного частотного интервала
. (17).
Здесь и в дальнейшем I - единичная матрица, размерность которой определяется из контекста изложения.
Легко обратить внимание на удобство выражений для энергетических субполосных характеристик векторов на основе разработанного математического аппарата.
Функционал (критерий) погрешностей фильтрации легко обобщить на тот случай, когда по каким - то причинам целесообразно придать разную степень важности его составляющим в (4). Для сохранения свойства линейности метода фильтрации предлагается использовать следующий вариационный принцип
, (18), где параметр удовлетворяет неравенству . (19).
Легко понять, что рассмотренному выше функционалу (4) соответствует равенство (одинаковая важность) . (20). Соответствующим обобщением (17) в этом случае будет
. (21).
Отметим, что матрица (22), будет неособенной. Поэтому справедливо представление для вектора, удовлетворяющего требованию (21) (оптимальному в этом смысле) . (23).
Таким образом, отличия в получаемых согласно (23) и (9) векторах определяются матрицей (22), которая при выполнении равенства (20), очевидно равна единичной матрице I.
Вычислительные эксперименты
Для подтверждения эффективности работы предлагаемого метода частотного разделения сигналов в сравнении с применением КИХ – фильтрации были проведены вычислительные эксперименты, сущность которых заключалась в разбиении всего частотного диапазона (0-4кГц) звука речи (представленного на рисунке 1) на 10 интервалов с последующим выделением в каждом из выбранных частотных интервалов спектра оптимального вектора длительностью N=512 отсчетов при частоте дискретизации 7350 Гц. Результаты вычислений модулей трансформант Фурье выходных сигналов фильтров представлены на рисунках 2-3, на которых спектр выходного сигнала оптимального фильтра в каждом из выбранных интервалов и вне его выделен сплошной линией с точками, выходных сигналов КИХ-фильтров, с длиной импульсной характеристики 1024, показаны пунктирной линией с точками, а спектр исходного сигнала (звук «а») – пунктирной линией. Границы выбранных частотных интервалов отмечены вертикальными линиями из точек. При этом выполнялось условие (20).
Рис. 1. Отрезок речевого сигнала (звук «а»)
Рис. 2. Спектры: отрезка исходного сигнала (пунктирная линия) и результатов его КИХ - фильтрации (пунктирная линия с точками) и оптимальной фильтрации (сплошная линия с точками) в частотном интервале 1= 0,03π; 2=0,04π
Рис. 3. Спектры: отрезка исходного сигнала (пунктирная линия) и результатов его КИХ - фильтрации (пунктирная линия с точками) и оптимальной фильтрации (сплошная линия с точками) в частотном интервале 1= 0,04π; 2=0,05π
Результаты вычислительных экспериментов отчетливо иллюстрируют теоретический вывод о том, что в случае оптимальной фильтрации результирующий сигнал определяется только трансформантой Фурье исходного сигнала, соответствующего заданному частотному интервалу
(смотри соотношение (13)).
В отличие от этого сигнал на выходе КИХ-фильтра содержит энергию и из соседних интервалов, что отчетливо демонстрируют рисунки 2 (слева от границы интервала), 3
( справа от границы интервала).
Особенно важны указанные преимущества с точки зрения «просачивания» энергии за пределы частотного интервала (смотри левые и правые границы), что влияет на уровень помех, типа «интерференция канальных сигналов».
В заключении представляется целесообразным отметить, что использование вариационного принципа (4) или его дискретного аналога (21) позволило создать методы оптимальной фильтрации, обладающие рядом преимуществ перед используемыми в настоящее время подходами.
Одной из самых важных особенностей является гарантия того, что результат фильтрации (функция или вектор) определяется только теми отрезками трансформант Фурье исходных данных, которые расположены в выбранных частотных интервалах (смотри соотношения (13)).
Другой пример - исследование возможности аппроксимации исходного отрезка функции или вектора с помощью результатов фильтрации на основе соотношений вида (16) и (17), позволяющих вычислить погрешности таких приближений.
Легко понять, что имеется возможность осуществления аналитических исследований и иных аспектов разработанной оптимальной фильтрации.
Очевидно, что и для задачи фильтрации субполосные ядра и матрицы также играют роль фундаментальной основы, позволяющей не только построить соответствующие вычислительные алгоритмы, но и осуществить аналитические исследования свойств получаемых результатов.
Литература
Хургин, Я.И. Финитные функции в физике и технике [Текст] / Я. И. Хургин, В. П. Яковлев. – М.: Наука, 1971. – 408 с.: ил
Жиляков, Е.Г. Вариационные методы частотного анализа звуковых сигналов [Текст] / Е.Г. Жиляков, С.П. Белов, Е.И. Прохоренко // Труды учебных заведений связи. – СПб, 2006. – № 174. – С.163-170.
Жиляков, Е.Г. Оптимальное формирование дискретных канальных сигналов [Текст] / Е.Г. Жиляков, С.П.Белов, И.Ю.Мисливец // Вопросы радиоэлектроники. Серия «Радиолокационная техника (РЛТ)». – Москва, 2007. – вып. 4. – с. 91-104
Таблицы математической статистики/Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-416с.
Гонтмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Физматлит, 2004.-560с.
In the report is examined the method of optimal linear filtration, that created on the basis of the developed mathematical bases of calculation in area of originals of additive constituents, transforms of Fourier which in the set frequency interval in middlesquare sense most close to the transforms of initial sequences and have in there greater than last stake of evklyd’s norm (concentration of energy).
Применение кумулянтов при оценивании центральных моментов негауссовского случайного процесса
Шатилов С.В.
ГОУВПО Поволжская Государственная Академия Телекоммуникаций и Информатики
Рассмотрим задачу нахождения центральных моментов негауссовского случайного процесса, который моделируется как выходной сигнал нелинейной системы при подаче на ее вход белого гауссовского шума. Т.о. случайный процесс может быть описан дифференциальным уравнением , (1)
где – белый гауссовский шум с интенсивностью .
При заданном распределении начального условия требуется определить несколько центральных моментов , , .
Точное решение указанной задачи при коэффициентах и общего вида возможно лишь в том случае, если известно распределение , где .
Однако определение аналитического выражения для этого распределения задача трудная, а порой невыполнимая. Так плотность процесса можно было бы вычислить, решив уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова с начальным условием , но точное решение этого уравнения при произвольных и невозможно [1]. В связи с этим актуальное значение приобрели методы приближенного вычисления моментов .
Из приближенных методов наибольшую известность и распространение получил метод статистической линеаризации. Этот метод отличается простотой и зачастую обеспечивает удовлетворительную точность при вычислении первых двух моментов процесса .
В [2] приводится метод неопределенных параметров, который позволяет вычислять моменты случайного процесса с большей точностью, чем при помощи метода статической линеаризации. При этом на основе дифференциального уравнения для характеристической функции процесса выписывается дифференциальное уравнение для начальных моментов. Полученная система уравнений является бесконечной (счетной), и для ее ограничения предполагается задаваться плотностью вероятности в виде семейства функций , где параметр представляет собой совокупность моментов процесса до определенного порядка включительно. Полученная при этом «урезанная» система из обыкновенных дифференциальных уравнений для моментов может быть решена численными методами. Однако пренебрежение старшими моментами может приводить к существенным ошибкам.
В [3] приводится метод, основанный на том, что за параметры распределений взяты кумулянты (семиинварианты) вместо моментов. Объясняется это тем, что в противоположность моментам кумулянты не растут с увеличением порядка. Так, например, для нормального распределения все кумулянты выше второго порядка равны нулю. Поэтому для распределений близких к нормальному, кумулянты третьего, четвертого и более высоких порядков будут малыми. Это дает возможность аппроксимировать распределения, пренебрегая кумулянтами выше заданного порядка.
В эффективности использования кумулянтов для поставленной задачи можно убедится на примере вычисления дисперсии случайного процесса (СП), являющегося кубическим преобразованием нормального марковского процесса.
Известно [1], что нормальный марковский СП задается стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка вида (стохастический дифференциал понимается в смысле Ито) . (2)
Используя формулу Ито можно найти дифференциальное уравнение для СП, являющегося кубическим преобразованием СП, заданного уравнением (2) , где – , .
Вывод дифференциальных уравнений для кумулянтов основан на том, что -й кумулянт случайной величины в момент равен , (3), где .
Следовательно, для того, чтобы написать дифференциальное уравнение для , необходимо дифференциальное уравнение для , которое в свою очередь можно получить из дифференциального уравнения для .
Дифференциальные уравнения для и соответственно имеют вид
(4)
Дифференцируя (4) по раз, с учетом (3) можно получить уравнения для кумулянтов. В качестве примера выпишем систему уравнений для четырех кумулянтов, приняв гипотезу о том, что кумулянты процесса порядка выше четвертого равны нулю (представив плотность вероятности тремя членами ряда Эджворда)
(5)
где – ,
, , ,
, , , , , , , – коэффициенты кубического сплайна, аппроксимирующего функцию на интервале (аналогично определяются для функции ).
Для того чтобы продемонстрировать эффективность использования кумулянтов выше второго порядка система нелинейных дифференциальных уравнений (5) была численно проинтегрирована дважды в среде Matlab: в первом случае плотность СП была аппроксимирована гауссовым распределением, во втором эксцессным распределением. При интенсивности белого шума и начальных условиях: , , , в установившимся состоянии значения дисперсии равны при учете четырех кумулянтов, при учете двух кумулянтов.
В данном примере можно определить точность полученного решения, так как в установившимся состоянии плотность вероятности определяется выражением [1] . (6)
Используя выражение (6) для плотности, можно вычислить точное значение для дисперсии процесса . При данных параметрах процесса .
Из результатов расчета можно сделать вывод, что ошибка в вычислении дисперсии при гауссовой аппроксимации распределения СП составляет 59%, а при эксцессном приближении 13%.
Литература
Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М., Сов. Радио, 1975. – 704 с.
Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2004. – 1000 с.
Дашевский М.Л. Приближенный анализ точности нестационарных нелинейных систем методом семиинвариантов. Автоматика и телемеханика. №11. – С.. 62-81.
USING CUMULANTS TO ESTIMATE THE CENTRAL MOMENT OF NONGAUSSIAN STOCHASTIC PROCESS
Shatilov S.
The calculation of the central moments of the nongaussian casual process, which is a response of system by for white gaussian noise, is considered. Thus casual process can be described by the differential equation
,where – white gaussian noise, and – arbitrary functions.
To solve this problem its difficulty enough and at times even it is impossible. In this way the actual meaning was got with methods of the approached calculation of the moments. From them the greatest popularity and distribution have received: a method static linearization, a method of the moments, a method based on use cumulants, methods of orthogonal decomposition [1].
For the decision for aforementioned problem the method based on use cumulants has been chosen. Using cumulants is higher than the second order allows increasing accuracy of calculation of the central moments [2]. By the example of the system which is carrying out cubic transformation of gaussian casual process, the central moments of target process have been determined. From results of calculation of a dispersion follows, that the error of calculation of a dispersion a method static linearization makes 59 %, and at use cumulants 13%.
REFERENCES
Pugachev V. S., Sinicyn I.N. The theory of stochastic systems. Moscow: Logos, 2004.
Malahov A.N. The cunulant analysis of stochastic non-Gaussian processes and their transformation. Moscow: Sov. Radio., 1978.
DIGITAL COMPUTATIONAL IMAGING
Yaroslavsky L.
School of Electrical Engineering, Department of Physical Electronics,
Faculty of Engineering, Tel Aviv University, Israel
Introduction
Imaging has always been the primary goal of informational optics. The whole history of optics is, without any exaggeration, a history of creating and perfecting imaging devices. Starting more than 2000 years ago from ancient magnifying glasses, optics has been evolving with ever increasing speed through Galileo’s telescope and van Leeuwenhoek’s microscope, through mastering new types of radiations and sensors to modern wide variety of imaging methods and devices of which most significant are holography, methods of computed tomography, adaptive optics, synthetic aperture and coded aperture imaging, digital holography. The main characteristic feature of this latest stage of the evolution of optics is integrating of physical optics with digital computers. With this, informational optics is reaching its maturity. It is becoming digital and imaging is becoming computational. Present day main trends in digital computational imaging are:
Development and implementation of new digital image acquisition, image formation and image display methods and devices.
Transition from digital image processing to real-time digital video processing
Widening front of research toward to 3D imaging and 3D video communication
We illustrate these trends on an example of three developments: (i) a new family of optics-less image sensors that base their image formation capability solely on numerical processing of radiation intensity measurements made by a set of simple radiation sensors with natural cosine-law spatial sensitivity; (ii) real-time digital video processing for perfecting visual quality and achieving super-resolution of video streams distorted by camera noise and atmospheric turbulence; (ii) 3D video communication paradigm based on the use of computer generated display holograms.
Optics-less image “smart” sensors
One can treat images as data that indicate location in space and intensities of sources of radiation. In conventional optical imaging systems, the task of determining positions of sources of light is solved by lenses and the task of measurement of light source intensities is solved by plane light sensitive sensors, such as photographic films or CCD/CMOS electronic sensor arrays. Lens directs light from each of light sources to a corresponding place of the sensor’s plane, and sensor’s output signal at this place provides an estimate of the light source intensity.
Lenses are wonderful processors of directional information carried by light rays. They work in parallel with all light sources in their field of view and with the speed of light. However their high perfection has its price. Perfect lenses are large, heavy and very costly. In addition, lenses are not available for many kinds of practically important kinds of radiation such as, for instance, X-rays and radioactive radiation. This motivates search for lens-less imaging devices.
Recently, H. J. Caulfield and the present author suggested a concept of a new family of lens-less “smart” radiation sensors ([1, 2]), which exploits the H. J. Caulfield’s idea of combining the natural cosine-law directional sensitivity of radiation sensors with the computational power of modern computers and digital processors to achieve sensor’s spatial selectivity not limited by the laws of diffraction. ”Smart” sensors consist of arrays of small elementary flat light sub-sensors with the cosine-low angular selectivity supplemented with a signal processing unit. This unit, the sensor’s “brain”, collects output signals of all available N elementary sub-sensors and estimates on this base intensities and angles between directions to the given number K of distant light sources and normals to the sub-sensor’s surfaces. In view of the statistical nature of the random of sensor noise, statistically optimal estimates will be the maximum likelihood estimates. In an assumption that elementary sensor noise components are statistically independent and normally distributed with the same standard deviation, maximum likelihood estimates of intensities and directional angles of the sources can be found as solutions of the following equation:
where , if and otherwise. For a single light source, an analytical solution of this equation is possible, which means that the computational complexity of estimation of intensity and directional angles of a single light source is of the order of the number of sensors and that the computations can be implemented in a quite simple hardware. For larger number K of light sources, solution of this equation requires optimization in K-dimensional space. The computational complexity of estimation of source parameters dramatically grows with the number of sources.
For locating multiple light sources, “smart” sensors can be used in two modes: (i) “localization” mode for localization and intensity estimation of light sources, when only a priori knowledge available is the number of light sources and (ii) “imaging” mode for estimation of intensities of the given number of light sources in the given locations, such as, for instance, in nodes of a regular grid on a certain distance from the sensor. In the latter case, the computational complexity and estimation errors, for a given number of elementary sensors and their noise level, are very substantially lower.
Two illustrative simulation results of localization and imaging of the given number of very distant and very proximal radiation sources by arrays of elementary sensors are presented in Fig. 1, a and b) correspondingly.
| a) | b) |
Fig.1. (a) Imaging of an 19x16 array radiation sources by an optics-less spherical sensor with the number of sub-sensors 300; sub-sensor’s SNR=100. (b) Imaging of an array 11x16 of radiation sources by a scanning optics-less flat sensor with 30 elementary sub-sensors for distances of sources from the sensor Y=1 to 5 (in units of inter-sub-sensor distance); sub-sensor’s SNR=100.
In conclusion it is interesting to note that quite a number of examples of optics-free vision among live creatures can be found. Obviously, plants, such as sunflowers, that feature heliotropism must have a sort of “skin” vision to determine direction to sun in order to be able to direct their flowers or leaves accordingly. There are also many animals that have extra-ocular photo-reception. One can also find reports on the phenomenon of “skin” vision in humans. (see., for instance, [3]). The described “smart” sensors may cast a light on possible mechanisms of the skin vision phenomenon.
Real time digital processing for video denoising, deblurring and super-resolution
In long distance observation systems, images and video are frequently damaged by atmospheric turbulence, which causes spatially and temporally chaotic fluctuations in the index of refraction of the atmosphere ([4]) and results in chaotic, spatial and temporal geometrical distortions of neighborhoods of all pixels. This geometrical instability of image frames heavily worsens the quality of videos and hampers their visual analysis. To make visual analysis possible, it is required first of all to stabilize images of stable scenes while preserving real motion of moving objects that might be present in the scene.
In Refs. [5], methods of generating stabilized videos from turbulent videos were reported. It was also found that, along with image stabilization, image super-resolution on stable scenes can be achieved ([6]). The core of the stabilization and super-resolution method is elastic pixel wise registration, with sub-pixel accuracy, of available video frames of stable scenes followed by resampling of the frames according to the registration results. For achieving the required elastic registration of frames, a time window of several preceding and following frames of the video sequence is analyzed for each current video frame. For each pixel of the frame, its x-y displacements in all remaining frames of the window are found using the methods of block matching or optical flow methods. Then the displacement data are analyzed to derive their statistical parameters for distinguishing pixels that were displaced due to the atmospheric turbulence from those that belong to real moving objects. This distinction can be made on an assumption that turbulence-induced pixel displacements are relatively small and irregular in time while displacements caused by real movement are relatively large and, what is more important, contain a regular, in time, component.
On the base of these measurements, the output stabilized and super-resolved frame is generated on a sampling grid built by sub-divisions of the initial sampling grid. Nodes of the latter correspond, for each pixel, to mean values of found pixel displacements. Formation of the output frame consists of two steps.
On the first step, corresponding pixels from all time window frames are placed at the nodes of the sub-pixel grid according to their found displacements minus displacement mean values. Because pixel displacements are chaotic, it may happen in this process that two or more corresponding pixels from different frames have to be placed in the same position in the output frame. In these cases, robust to outliers average, such as median, can be taken as a replacement of those pixels.
On the second step, sub-pixels that remain empty because of possible shortage of data in the selected time window, should be interpolated from available data. For the interpolation, different available methods for interpolation of sparse data can be used.
Pixels retrieved from the set of the time window frames contain, in form of aliasing components, high frequencies outside the image base-band defined by the original sampling rate of the input frames. Placing them into proper sub-pixel positions results in de-aliasing these frequencies and, therefore, in widening image bandwidth beyond the base band. The more pixels in different sub-sampling positions are available the higher degree of super-resolution achieved. The degree of achievable super-resolution depends on camera optics and fill factor, the number of frames used for data fusion and magnitude of turbulence induced pixel displacements ([7]).
The efficiency of the entire processing is illustrated in Fig. 2 by the results of computer simulations. As one can see from Fig. 8, even from as small number of the frames as 15, a substantial resolution enhancement is potentially possible.
3-D visualization and communication and computer generated display holograms
There are no doubts that the ultimate solution for 3-D visualization is h
olographic imaging. This is the only method capable of reproducing, in the most natural viewing conditions, 3-D images that have all the visual properties of the original objects including full parallax, and are visually separated from the display device. 3-D visual communication and display can be achieved through generating, at the viewer side, of holograms out of data that contain all relevant information on the scene to be viewed . Digital computers are ideal means for converting data on 3-D scenes into optical holograms for visual perception ([8, 9]).
| a) | b) | c) | d) |
Fig. 2. Illustrative simulation results of resolution enhancement of turbulent video frames. a)- initial high resolution frame; b) an examples of a low resolution frame distorted by simulated random local displacements with standard deviation 0.5 inter-pixel distance; c) - resolution enhanced frame obtained by the described fusion process from 15 low resolution frames; d) final output frame obtained by interpolation of samples that are missing in frame e).
The core of the 3D digital holographic visual communication paradigm is the understanding that, for 3D visual communication, one does not need to record, at the scene site, a physical hologram of the scene and that the hologram has to be generated at the viewer side. To this goal, one needs to collect, at the scene side, and to transmit to the viewer site a set of data that will be sufficient to generate, at the viewer site, a synthetic hologram of the scene for viewing.
The major requirement to computer-generated display holograms is that they should provide natural viewing conditions for the human visual system and, in particular, separation of reconstructed images from the display device.
A crucial issue in transmitting data needed for the synthesis, at the viewer site, of display holograms is the volume of data to be collected and transmitted and the computational complexity of the hologram synthesis. The upper bound of the amount of data needed to be collected at the scene side and transmitted to the viewer site is, in principle, the full volumetric description of the scene geometry and optical properties. However, a realistic estimation of the amount of data needed for generating a display hologram of the scene is by orders of magnitude lower then the upper bound due to the limitations of the human visual system. This also has a direct impact on the computational complexity of the synthesis of holograms.
Several computationally inexpensive and at the same time quite sufficient solutions for creating 3D visual sensation with synthetic display holograms have been suggested ([8,9]):
Multiple view compound macro-holograms. In this method, the scene to be viewed is described by means of multiple view images taken from different directions in the required view angle, and, for each image, a hologram is synthesized separately with an account of its position in the viewing angle. Ref. 10 describes an example of synthesis of a compound multiple view macro-hologram. Fig. 3 illustrates viewing such a synthetic compound hologram and an example of the reconstructed images for one particular observation view angle.
Composite stereo-holograms. This is a special case of multiple view compound macro holograms. Composite stereo holograms are synthetic Fourier holograms that reproduce only horizontal parallax ([11, 12]). When viewed with two eyes, they are capable of creating 3D sensation thanks to stereoscopic vision. With such holograms arranged in a circular composite hologram, full 360 degrees view of the scene can be achieved. An example of such a 360 degrees is stored at MIT museum of holography ([14])
“Programmed diffuser” holograms ([8, 13]). This method assumes that objects to be viewed are specified in the object coordinate system by their “macro” shape, by the magnitude of the object reflectivity distribution in the object plane tangent to the object surface and by the directivity pattern of the diffuse component of its surface. The diffuse light scattering from the object surface is simulated by adding to the object wave front phase defined by the object macro-shape a pseudo-random phase component (a “programmable diffuser”), whose correlation function corresponds to the given directivity pattern of the object diffuse surface. This pseudo-random phase component is combined with the deterministic phase component defined by the object shape to form the distribution of the phase of the object wavefront.
| |  |
Fig. 3 Viewing a compound computer-generated hologram (left) and one of the views reconstructed from the hologram (right).
LITERATURE
H.J. Caulfield, L.P. Yaroslavsky, Flat Accurate Nonimaging Point Locator, Digital Holography and Three-Dimensional Imaging 2007 Conference, Vancouver, BC, Canada, June 18-20, 2007
Leonid Yaroslavsky and H. John Caulfield, Computational Vision in Nature and Technology, http://arxiv.org/abs/physics/0703103
Bongard M.M. and Smirnov M. S. , On "skin vision" of r. Kuleshova, Biofizika. 1965;10:148-54.
M. C. Roggermann and B. Welsh," Imaging Through Turbulence", CRC Press, Inc, 1996.
B. Fishbain, L. P. Yaroslavsky, I. A. Ideses, Real Time Stabilization of Long Range Observation System Turbulent Video, Journal of Real Time Image Processing, v. 2, Number 1 / October, 2007.
L. Yaroslavsky, B. Fishbain, G. Shabat, I. Ideses, Super-resolution in turbulent videos: making profit from damage, Optics Letters, Nov. 1, 2007/Vol.32, No. 21
L. Yaroslavsky, B. Fishbain, G. Shabat, I. Ideses, Super-Resolution Of Turbulent Video: Potentials and Limitations, SPIE Conf. Electronic Imaging, Image Processing: Algorithms and Systems VII, Proceedings SPIE, v# 6812, San Jose, Jan. 2008,
L. Yaroslavkii, N. Merzlyakov, Methods of Digital Holography, Consultants Bureau, N. Y., 1980
L. Yaroslavsky, Digital Holography and Digital Image Processing, Kluwer Scientific Publishers, Boston, 2004
V.N. Karnaukhov, N.S. Merzlyakov, M.G. Mozerov, L.P. Yaroslavsky, L.I Dimitrov, E. Wenger, Digital Display Macro-holograms. In: Computer Optics, ISSN 0134-2452, Ed. Ye. P. Velikhov and A.M. Prokhorov, Issue 14-15, part 2, Moscow, 1995
V.N. Karnaukhov, N.S. Merzlyakov, L.P. Yaroslavsky, Three dimensional computer generated holographic movie, Sov.Tech. Phys. Lett., v.2, iss.4, Febr. 26, 1976, p.169-172.
Yatagai T. Stereoscopic approach to 3-D display using computer-generated holograms, Appl. Opt., 1976, v. 15, No 11, p. 2722-2729
N.S. Merzlyakov, L.P. Yaroslavsky, Simulation Of Light Spots on Diffuse Surfaces by Means of a "Programmed Diffuser", Sov. Phys. Tech. Phys., v. 47, iss.6, 1977, p. 1263-1269
Yaroslavskii, L.P., 360-degree Computer Generated Display Hologram, http://museumcollections.mit.edu/ FMPro?-lay=Web&wok;=107443&-format=detail.html&-db=ObjectsDB.fp5&-find
Цифровая обработка сигналов и ее применение
Digital signal processing and its applications
страница 1
скачать
Другие похожие работы: