Идентификация водопроводимости пласта в стационарном потоке подземных вод

УДК 532. 546

М.У. Мурзакматов

ЫГУ им. К.Тыныстанова

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВОДОПРОВОДИМОСТИ ПЛАСТА В СТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ ПОДЗЕМНЫХ ВОД
Рассматривается применение метода регуляризации А. Н. Тихонова к идентификации водопроводимости пористой среды в двумерном стационарном уравнении фильтрации подземных вод.
Коэффициент фильтрации является одним из основных гидрогеологических параметров, характеризующих водоносные пласты. Для составления адекватной математической модели процесса фильтрации подземных вод необходимо иметь более или менее полную информацию о пространственном распределении значений искомых параметров. Определение гидрогеологических параметров опытнофильтрационными методами сопряжено со значительными материальными и временными затратами. В данной работе рассматривается метод идентификации водопроводимости пласта расчетным путем по некоторым известным значениям напорной функции.

Задача идентификации водопроводимости в неоднородной пористой среде сводится к решению коэффициентной обратной задачи для уравнения напорной фильтрации. Для обеспечения единственности решения должны быть заданы значения напоров и искомой функции в некотором дискретном множестве точек, полученные наблюдением и/или экспериментом.

Установившееся движение подземных вод в водоносном пласте, ограниченном сверху и снизу непроницаемыми прослойками, описывается уравнением [1]:

(1)
с граничным условием

, (2)

где Т=Т(х,у)  водопроводимость пласта (м²/сут); H=H(x,y)напорная функция (м); f(x,y) функция источников и стоков (м/сут); и  заданные функции; D  область фильтрации в плане, Г  ее граница.

В данной задаче, кроме условия (2), задаются так называемые внутренние граничные условия

, (3)

, (4)
о которых говорилось выше.

Задача заключается в определении функции Т(x,y) из уравнения (1) при соблюдении условий (2)  (4). Поскольку значения напоров задаются с определенной погрешностью и в недостаточном объеме, то задача нахождения коэффициента уравнения (1) является некорректной, поэтому для ее решения применяем метод регуляризации А. Н. Тихонова [2]. Задача сводится к нахождению функции Т(x,y), сообщающей в области D минимум функционалу [3]

, (5)

где вариация функции Т(х,у); параметр регуляризации; H_i(T)расчетные значения напоров, которые находятся как решение задачи (1), (2).

Задача (1), (2) решается методом конечных элементов [4]. Область фильтрации D разбивается на треугольные элементы таким образом, чтобы точки, в которых заданы экспериментальные значения и , совпали с вершинами элементов. В этих точках используются условия (3) и (4), а в остальных узлах начальные приближения функций Н(х,у) и T(х,у) должны удовлетворять условиям и соответственно. В элементе (е) с вершинами i, j,k функция Н(х,у) выражается формулой [5]

, (6)

где

,







.

Суммируя равенство (6) по всем элементам (е), получаем формулу

, (7)

где n  число всех узлов сетки.

Применяем к задаче (1), (2) принцип Галеркина:




Используя в двойном интеграле формулу Грина, приходим к системе уравнений

После подстановки вместо Н(х,у) ее разложения (7), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно напоров

(8)

где

,

. (9)

Систему (8) решаем одним из точных или приближенных методов.

Для определения поля функции Т(х,у) мы, наряду с количественной информацией (условия (3) и (4)), используем также качественную информацию об искомой функции, т. е. функционал Ф(Т) требует, чтобы функция Т(х,у) была гладкой, что соответствует физической природе водопроводимости.

Теперь займемся минимизацией функционала (5). При каждом наборе значений функции Т(х,у) получаем вполне определенные значения функции Н(х,у), т. е. имеем оператор Н(Т), определенный алгоритмически по формулам (1), (2), (8), (9). Этот оператор в общем случае является нелинейным. Линеаризуем его следующим образом

, (10)

где значение функции Т в точке (x_s,y_s), полученное в предыдущей итерации; R₂()  остаточный член разложения. Подставляя (10) в (5) и используя необходимое условие минимума функции многих переменных, получаем систему линейных алгебраических уравнений



или

(11)

с коэффициентами

,



и с правыми частями



Здесь



Матрицы систем (8) и (11) являются симметричными и имеют диагональное преобладание и они легко решаются методом Гаусса. Производная является операторной, т. е.

,

а частные производные аппроксимируются разностными отношениями

,

где номер итерации.

Вычислительная процедура осуществляется в следующем порядке. Используя начальные значения Н и Т в качестве нулевого приближения, решается задача (1), (2) и определяется первое приближение Н⁽¹⁾ . Затем, придавая приращение функции T(х,у), находим второе приближение Н⁽²⁾ . Это дает возможность приближенно определить производную и решить систему (11) при некотором значении параметра регуляризации . Итерация по проводится до установления фильтрационного процесса. Если при этом полученные значения напоров в пределах ошибок не совпадут с данными экспериментальными значениями , то итерация проводится по параметру , выбор которого может быть осуществлен методом невязок [2].

Работа алгоритма проверена на решении следующей тестовой задачи, рассмотренной в работах [6,7]. Областью фильтрации D является круг , который разбит на 54 треугольника (элемента) с максимальной длиной сторон . Число узлов сетки (вершин треугольников)37, из них 18  граничных. В этой области заданы функции Н(х,у)=х²+у² +5, Q(x,y)=0, f(x,y)=40(2x²+2y²+1). Искомой функцией является T(x,y)=10(x²+y²+1). Число узлов, в которых задаются экспериментальные (точные) значения функций H(x,y), равно: p= 37, 22, 5. В каждом из этих случаев задаются точные значения искомой функции в q=17, 9, 5 точках.

Область фильтрации и все функции, входящие в задачу, специально подобраны так, чтобы они обладали центральной и осевой симметрией и следовательно, искомое решение имело такие же свойства. Поэтому в табл. 1 приведены значения искомой функции только в узлах, лежащих в первой четверти круга, причем узлы 2 и 9 являются граничными.

Таблица 1

Приближенные значения функции Т(х,у), полученные

методом регуляризации

Узлы	Точные значения Т(х,у)	Приближенные значения Т(х,у)
		p=22			p=5
		q=17	q=9	q=5	q=17	q=9	q=5
2	12,309	12,100	11,663	10,957	12,100	11,663	11,980
7	11,225	11,270	11,271	10,915	11,270	11,271	11,833
8	11,625	11,580	11,723	10963	11,580	11,723	11,960
9	12,521	12,258	12,297	10,987	12,258	12,297	12,388
13	10,406	10,519	11,371	10,858	10,519	11,377	11,706
14	11,206	11,784	11,645	11,114	11,784	11,645	11,935
19	10,000	10,136	10,313	10,325	10,136	10,313	10,337
21	11,600	11,839	11,644	11,001	11,839	11,644	12,035
max отн. погреш.		5,2	9,2	12,3	5,2	9,3	12,5

В табл. 2 решение данной задачи сравнивается с соответствующими результатами, полученными другими методами [6,7]. Следует отметить, что идентификация параметров водоносных горизонтов с использованием методов малых возмущений [6] и регуляризации является устойчивой процедурой, что очень важно при проведении гидрогеологических расчетов в реальных условиях

Таблица 2

Сравнение с результатами, полученными

другими методами

Погрешности	q=17			q=9			q=5
	a	b	c	a	b	c	a	b	c
Абсолютная	0,86	1,22	0,58	0,85	1,17	0,97	1,0	1,23	1,30
Относительная в %	7,4	11,5	5,2	7,6	11,0	9,3	8,7	11,7	12,5

Примечание: aпогрешности метода малых возмущений [6];

bпогрешности, полученные в работе [7];

спогрешности метода регуляризации, полученные при p=5.

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Полубаринова  Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод.  М.: Наука, 1977.664 с.
   
2. 
   Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.  М.: Наука, 1974  233 с.
   
3. 
   Мурзакматов М. У., Мамыров Ж. М. Об идентификации коэффициента фильтрации в неоднородном водоносном горизонте //Вестник ИссыкКульского университета, -№ 3, 1999.  с. 7377.
   
4. 
   Джаныбеков Ч. Математическое моделирование движения грунтовых вод в многослойных средах.  Фрунзе: Илим, -1982.  280 с.
   
5. 
   Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.  М.: Мир, 1979. 392 с.
   
6. 
   Мурзакматов М.У., Байболотов Б. А. Об идентификации водопроводимости напорного потока методом теории возмущений //Вестник ИссыкКульского университета, № 9 Каракол, 2003.С. 4954.
   
7. 
   Мурзакматов М. У., Исабеков К. А. Об идентификации параметров планового фильтрационного потока //Вестник ИссыкКульского университета, № 9 Каракол, 2003.С. 2633.