Задача по определению уровня грунтовых вод в прискважинной зоне при работе одиночной скважины в безнапорном водоносном горизонте

УДК 532.546

Ж.М.Мамыров

г. Каракол, ИГУ им. К. Тыныстанова

ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ К РАСЧЁТУ СКВАЖИНЫ В БЕЗНАПОРНОМ ПОТОКЕ ГРУНТОВЫХ ВОД

Решается задача по определению уровня грунтовых вод в прискважинной зоне при работе одиночной скважины в безнапорном водоносном горизонте

Гидрогеологические расчеты скважин являются основой для выбора наиболее рациональной схемы их расположения при устройстве водозаборов, дренажей, водопонизительных сооружений и т.д. Формулы для гидрогеологических расчетов скважины в идеализированных моделях движения подземных вод приведены в [1, 2].

При откачке из скважины в грунтовых водах со свободной поверхностью следует учитывать вертикальные составляющие скорости фильтрации, поскольку в результате понижения уровня воды происходит уменьшение мощности водоносного пласта, особенно вблизи скважины. При этом скорость снижения уровня при заданном расходе определяется в основном водопроводимостью и водоотдачей пород при их осушении.

Пусть в безнапорном неоднородном водоносном пласте действует совершенная скважина диаметром 2r_c. Расход скважины q считаем постоянным. Для таких условий требуется определить уровень грунтовых вод H (или понижение уровня S) в любой точке водоносного пласта с координатой r (в том числе в самой скважине, когда r=r_c) в любой момент времени t.

Задача о притоке к скважине в безнапорном потоке должна решаться на основе уравнения

, (1)

где H(r,t) –УГВ, z - вертикальная координата.

Уравнение (1) описывает как установившееся, так и неустановившееся движение, что определяется граничными условиями. В частности, для неограниченного пласта выводится следующее условие на свободной поверхности [2]:

, (2)

где  - водоотдача или недостаток насыщения.

Для неустановившегося движения решение уравнения (1) применительно к расчету скважины при условии (2) рассматривалось в работах Н.Боултона и В.К.Беляковой [3, 4]. Однако из-за трудности решения это условие задавалось ими не на движущейся свободной поверхности, а на первоначальной.

Если исходить из предпосылки о постоянстве горизонтальных составляющих скоростей фильтрации по глубине, то уравнение (1) переходит в уравнение Буссинеска, в котором автоматически учитывается граничное условие (2).

Рассмотрим численное решение одномерного уравнения Буссинеска для осесимметрического потока:

, (3)

r_c < r < R , t > 0,

с начально-граничными условиями

H(r,0)=H_e , r_c < r < R , 2rk(H-b) = - q , r=r_c , t > 0.

H(R,t)=H_e , t > 0,
Здесь k=k(r) –коэффициент фильтрации; b=b(r) – поверхность

водоупора; H_e – начальный УГВ до откачки; R- радиус влияния

скважины.

H

H_l


H₀

b=b(x)









r_c

R

Рис. 1 Схематичное изображение прискважинной зоны потока грунтовых вод.

Сделав в задаче (3) замену переменных: r*=lnr, q*=q/2, перепишем ее в виде (для удобства записи звездочки опущены):
 e^2r (4)

H (e^R,0 )=H_e , H (e^R,t )=H_e , t >0 ,

k(H-b) = - q , r=e , t > 0. (5)

Задачу (4), (5) решаем вариационно-разностным методом [5].

Заменяя производную по времени разностным отношением, получаем уравнение:

, (6)

где _

P= k (H-b), Q =  e^2r / ,  =  e^2r H / +e^2rf ,

_

H=H (r, t_j) , H = H (r, t_j-1) , j=1,2,… (7)

Решение уравнения (6) с краевыми условиями (5) равносильно нахождению функции, минимизирующей функционал

J (H)= . (8)

В
ыбрав линейные функции

в качестве базисных, представим искомую функцию в виде

H ( r, t_j ) = ₁H_i+1+₂H_i , r_i  r r_i+1 , i=0,1,2,,…,n-1, (9)

где H_i – значение искомой функции в точке r = r_i.

Подставляя функцию (9) в формулу (8), из необходимого условия минимума функционала J(H)/H_i =0 (i=1,2,…,n-1) получим систему уравнений

a_iH_i-1 - b_iH_i + c_iH_i+1 + d_i = 0 , i=1,2,3,…,n-1, (10)

где





(11)



К вычислению интегралов в равенствах (11) можно применять различные квадратурные формулы. В частности, применение формулы трапеций приводит к следующим равенствам:



(12)



Для получения аналога левого краевого условия решаем уравнение

J(H)/ H₀ =0.

Имеем

-b₀H₀ + c₀H₁ + d₀ = 0 , (13)

где





Система (10) решается методом прогонки. Представив искомое решение в виде

H_i=_iH_i+1+_i , i=0,1,2,...,n-1, (14)

получаем формулы для прогоночных коэффициентов

(15)

₀ и ₀ находятся из уравнений (13) и (14) при i=0:

₀ = c₀ / b₀ , ₀ = d₀ / b₀ , (16)

а H_n находится из правого краевого условия

H_n=H_e . (17)

Полученные по формулам (10)-(17) значения H_i (i=0,1,2,…,n) подставляются в функцию P вместо H и процедура счета выполняется до выполнения условия



max H_i - H_i < ,

где  > 0 – заданное число. После выполнения этого неравенства значения

H(x_i ,t_j ) используются в качестве начального условия для временного слоя t_j+1.

По изложенной методике решена задача о неустановившемся притоке грунтовых вод к центральной совершенной скважине, работающей с постоянным дебитом q =4000 м³/сут в однородной пористой среде, круговой в плане (радиус R). На отрезке r  r_c  R интегрируется уравнение (3) при следующих исходных данных:

H_e =250 м; k =5 м/сут; =0.05; R=2500 м;

f = 0 м/сут; r_c=0.1 м; t=3 сут

В табл. 1 приведены понижения УГВ, полученные путем решения уравнения (3) (в числителе) и вычисленные по формуле [1, стр.180]

где R=1.5, a = kH_ср/ (18)

Понижения УГВ в прискважинной зоне, м

Таблица 1

t	Расстояние от скважины, r
		rc	50 м	100 м	150 м	500 м	1000 м
3 сут		1.10 4.14	0.63 0.97	0.37 0.62	0.21 0.42	0.12 0.00	0.00 0.00
15 сут		3.09 4.55	1.87 1.38	1.54 1.03	1.13 0.82	0.60 0.21	0.27 0.00
30 сут		3.80 4.73	2.32 1.56	2.07 1.21	1.35 1.00	0.74 0.39	0.33 0.04
60 сут		4.00 4.90	2.61 1.74	2.36 1.38	2.03 1.18	1.52 0.56	0.57 0.21

Формула (18) получена при решении линеаризованного уравнения Буссинеска. Величина H_ср означает некоторую среднюю мощность водоносного пласта в течении всего периода откачки. Эта величина должна устанавливаться таким образом, чтобы обеспечивалось наибольшее совпадение приближенного решения (18) с решением уравнения Буссинеска. Для расчетов притока воды к скважинам в пластах, имеющих большую площадь распространения, обычно принимают H _ср  (0.7-0.8)H_e . В данном случае наиболее подходящим оказалось значение H _ср  H_e м.

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Бочевер Ф.М., Гармонов И.В., Лебедев А.В., Шестаков В.М. Основы гидрогеологических расчетов.– М.:Недра.1969.-367с.
   
2. 
   Полубаринова–Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. -М.:Наука,1977.-664 с.
   
3. 
   Белякова В.К. Неустановившийся приток грунтовых вод к скважинам. // Прикл. мат. и мех. 20, № 1, 1956, с. 109-115.
   
4. 
   Boulton N. The Drawdown of the water – table under nonsteady conditions near a pumped well in a unconfined formation. // Proc. Inst. Civil Engrs, 1954, № 3 pp. 564-579.
   
5. 
   Джаныбеков Ч. Математическое моделирование движения грунтовых вод в многослойных средах.-Фрунзе: Илим, 1982.-280 с.