Применение метода конечных элементов к решению задач

УДК 532.546

М.У.Мурзакматов, Э.Э.Маданбекова

ЫГУ им. К.Тыныстанова

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

УСТАНОВИВШЕЙСЯ ФИЛЬТРАЦИИ В МНОГОСЛОЙНЫХ ПЛАСТАХ
Разрабатывается алгоритм численного решения задач фильтрации подземных вод в многослойной пористой среде методом конечных элементов.

Рассмотрим установившееся движение подземных вод в многослойном пласте, состоящем из основного хорошо проницаемого напорного горизонта, покрытого малопроницаемой покровной толщей и подстилаемого снизу слабопроницаемой прослойкой, через которую происходит связь с нижележащим водоносным горизонтом в жестком режиме (рис.1). При расчетах фильтрации в слоистых водоносных системах обычно используются общие предпосылки перетекания, в которых предполагается, что движение через раздельные относительно малопроницаемые слои происходит только по вертикали, а в хорошо проницаемых слоях - только по горизонтали.

Движение подземных вод в многослойной среде с учетом указанных предпосылок описывается следующей системой дифференциальных уравнений [1-3]:


(1)

(2)

где h(x, y), H(x, y) и Z(x, y) – отметки уровня грунтовых вод (УГВ) в верхнем слое и напоров в основном и нижележащем напорных пластах соответственно; Т(x, y)=к(x, y) m(x,y) – водопроводимость основного водоносного горизонта; к_в(x, y), к(x, y) и к_н= const – коэффициенты фильтрации верхнего, основного и слабопроницаемого пластов соответственно; в(x,y) – поверхность раздела покровного и основного напорного слоев; m(x,y) и m_н(x,y) – мощности напорного и слабопроницаемого пластов; f(x, y) – функция инфильтрации; W(x,y) – функция, учитывающая работу эксплуатационных скважин, отбирающих воды основного водоносного горизонта.

Граничные условия для уравнений (1) имеют вид
(3)

(4)

Здесь

(5)
- заданные функции, Д - область фильтрации в плане, S - ее граница, ∂ ⁄ ∂n - производная по нормали к границе области.





В задаче (1) –(4) перейдем к безразмерным переменным по формулам




Здесь l - диаметр области; Н_хар ,Т_хар - некоторые характерные значения напоров и водопроводимости. В дальнейшем для упрощения записи звездочки у безразмерных переменных опускаем.

Задачу (1) –(4) решаем методом конечных элементов [4, 5]. Разобьем область Д на m треугольных элементов и представим искомые функции h (х, у) и Н(х, у) в виде разложения

, (6)

, (7)

где - значения искомых функций в узлах сетки;

- линейные базисные функции; n - число узлов сетки.

Представим уравнения (1), (2) в виде

(8)

(9)

где

(10)

Образуя начальные приближения h⁽⁰⁾ (х, у) и Н⁽⁰⁾ (х, у), подставим их в формулы (5) и (10) вместо функций h и Н и решаем уравнения (8) и (9) совместно с краевыми условиями (3) и (4) соответственно. Обозначим полученные решения через h⁽¹⁾ и H⁽¹⁾, подставим их в формулы (5) и (10), и, решая задачи (8), (3) и (9), (4), находим следующие приближения h⁽²⁾ и Н⁽²⁾ и т.д. Итерационный процесс продолжим до выполнения каждого из условий

(11)

где v - номер итерации; i=1,2,3,…,n ; ε>0 – заданное малое число.

Подставляем в уравнения (8) и (9) и краевые условия (3) и (4) вместо h и H функции h_n и H_n и применяем обобщенный принцип Галеркина:



Используя формулу Грина, получаем системы уравнений





или, в силу разложений (6) и (7) приходим к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(12)

и

(13)

где







Матрицы СЛАУ (12) и (13) являются хорошо обусловленными с диагональным преобладанием, и они легко решаются методом Гаусса.

Изложенный алгоритм и реализующая его программа отлажены на ряде тестовых задач. Рассмотрим одну из них. Область фильтрации в плане представляет собой круг радиуса r=3000 м, а вертикальный разрез имеет вид как на рис.1. Уравнения (1) и (2) описывают движение грунтовых и напорных вод в первых двух пластах от поверхности земли соответственно. На границе области, т.е. на окружности радиуса r заданы краевые условия (3) и (4). Проведя концентрические окружности радиуса 1000 м и 2000 м, область разбиваем на 55 элементов, число узлов при этом n=39.

Задача (1)-(4) решается со следующими данными:





В табл.1. приведены точные и приближенные значения искомых функций в некоторых узлах сетки. Узел № 20 расположен в центре области.
Таблица 1

Результаты тестовой задачи

Расстояние от центра, м	Узлы Точные значения, м Приближенные значения, м Относительные погрешности, %
3000	Узлы	2	6	29	35
	Точные знач.УГВ	650.00	650.00	650.00	650.00
	Приб.знач. УГВ	651.54	654.90	653.26	650.83
	Отн.пог . УГВ	0.24	0.75	0.5	0.12
	Точные знач. напоров	655.00	655.00	655.00	655.00
	Приб.знач. напоров	655.72	657.81	657.82	656.49
	Отн.пог. напоров	0.10	0.42	0.43	0.23
2000	Узлы	7	12	28	33
	Точные знач. УГВ	661.25	661.25	661.25	661.25
	Приб.знач. УГВ	661.10	661.84	661.84	661.10
	Отн.пог. УГВ	0.02	0.09	0.09	0.02
	Точные знач. напоров	666.25	666.25	666.25	666.25
	Приб.знач. напоров	663.99	665.56	665.56	663.99
	Отн.пог. напоров	0.34	0.10	0.10	0.34
1000	Узлы	13	19	21	27
	Точные знач. УГВ	667.83	667.83	667.83	667.83
	Приб.знач. УГВ	666.91	666.61	666.61	666.91
	Отн.пог. УГВ	0.14	0.18	0.18	0.14
	Точные знач. напоров	672.83	672.83	672.83	672.83
	Приб.знач. напоров	672.63	672.51	672.51	672.63
	Отн.пог. напоров	0.03	0.05	0.05	0.03
0	Узлы	20
	Точные знач. УГВ	670.00
	Приб. знач. УГВ	669.29
	Отн. пог. УГВ	0.1
	Точные знач. напоров	675.00
	Приб. знач. напоров	674.47
	Отн.пог. напоров	0.08

ЛИТЕРАТУРА

1. 
   Полубаринова-Кочина П.Я., Пряжинская В.Г., Эмих В.Н. Математические методы в вопросах орошения. –М.: Наука, 1969. – 414 с.
   
2. 
   Абуталиев Ф.Б., Абуталиев Э.Б. Методы решения задач подземной гидромеханики на ЭВМ.- Ташкент: ФАН, 1968.
   
3. 
   Джаныбеков Ч.Дж. Математическое моделирование движения грунтовых вод в многослойных средах. -Фрунзе: Илим, 1982.-288с.
   
4. 
   Джаныбеков Ч.Дж. Моделирование гидрогеодинамических процессов с применением ЭВМ.- Фрунзе: Илим, 1989.-184с.
   
5. 
   Мурзакматов М.У., Мамыров Ж.М. Приближенное решение уравнения Буссинеска методом конечных элементов // Проблемы спектроскопии и спектрометрии: Межвузовский сборник научных трудов. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2004. Вып. 17, С. 83-89.