Исследовательская работа Функциональное уравнение

Докажите последовательно следующие свойства функции f.

1) f(0) = 1;

2) f(2) = 4;

3) f(10) = 2¹⁰;

4) f(n) = 2ⁿ, где n – натуральное число;

5) f(–x) = ;

6) f(–2) = ;

7) f(–n) = 2^–n, где n – натуральное число;

8) ;

9) ;

10) f(r) = 2^r, где r – любое рациональное число.

Полученные результаты могут быть перенесены на любую функцию f с условиями f(x) > 0, f(1) = a, где a  1, a > 0 и удовлетворяющую так называемому функциональному уравнению f(x₁ + x₂) = f(x₁)  f(x₂). Они означают, что значения функции f для любого рационального числа r совпадут со значениями функции y = a^r. Однако отсюда нельзя сделать вывод о том, что это верно и для любого вещественного x, т. е. что для всех x верно равенство f(x) = a? Для этого надо потребовать дополнительные свойства функции f.
Решение

1) f(0) = 1.

По условию f(1) = 2 и f(x₁ + x₂) = f(x₁)  f(x₂). f(1) = f(1 + 0) = f(1)  f(0) = 2. Тогда f(0) = 1.

2) f(2) = 4.

f(2) = f(1 + 1) = f(1)  f(1) = 2  2 = 4.

3) f(10) = 2¹⁰.

f(10) = f(1 + 1 + … + 1) = (f(1))¹⁰ = 2¹⁰.

4) f(n) = 2ⁿ, где n – натуральное число.

f(n) = f(1 + 1 + … + 1) = (f(1))ⁿ = 2ⁿ.

5) f(–x) = .

Исходя из того, что f(0) = 1: f(0) = f(x + (–x)) = f(x)  f(–x) = 1.

Отсюда f(–x) = .

6) f(–2) = .

Из предыдущих пунктов f(–2) = .

7) f(–n) = 2^–n, где n – натуральное число.

f(–n) = .

8) .

По свойству f(1) = 2, f(x) > 0 для любого x: f(1) = = 2. Тогда .

9) .

f(1) = 2. f(1) = . Тогда .

10) f(r) = 2^r, где r – любое рациональное число. r =  – рациональное число.

f(r) = .