Контрольная работа № Введение в алгебру (§§ 1-2) Вариант а-1 Выражение а равно отношению суммы букв а и b к их разности

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

7 класс

Контрольная работа № 1. Введение в алгебру (§§ 1–2)

Вариант А-1

1. Выражение А равно отношению суммы букв а и b к их разности.

а) Запишите А в виде буквенного выражения.

б) Найдите значение А при а = , b = .

в) При каких значениях букв а и b выражение А теряет смысл?

2. Из двух городов, расстояние между которыми равно s км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля, которые встретились через t часов. Скорость первого автомобиля на 30 км/ч больше скорости второго.

а) Составьте уравнение движения, обозначив скорость первого автомобиля за x (км/ч).

б) Решите уравнение при t = 3 ч, s = 450 км.

3. Решите уравнения.

а) 2x – 8 + 3x = 6 + 7x;

б) 2 (3x + 1) = 4 – (x – 2);

в) (4x – 1)(5 + 7x) = 0.
Вариант А-2

1. Выражение А равно отношению разности букв а и b к их сумме.

а) Запишите А в виде буквенного выражения.

б) Найдите значение А при а = , b = .

в) При каких значениях букв а и b выражение А теряет смысл?

2. Из двух городов, расстояние между которыми равно s км, навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля, которые встретились через 4 часа. Скорость первого автомобиля на v км/ч больше скорости второго.

а) Составьте уравнение движения, обозначив скорость первого автомобиля за x (км/ч).

б) Решите уравнение при s = 440 км, v = 10 км/ч.

3. Решите уравнения.

а) x – 5 + 4x = 1 + 2x;

б) 1 – (2x – 1) = 3 (2 + x);

в) (1+ 3x )(4 – 5x) = 0.
Вариант Б-1

1. Выражение А равно отношению удвоенного произведения букв а и b к квадрату их разности.

а) Запишите А в виде буквенного выражения.

б) Найдите значение А при а = , b = .

в) При каких значениях букв а и b выражение теряет смысл?

2. Из города А в город Б, расстояние между которыми равно s км, одновременно выехали два автомобиля со скоростями v₁ км/ч и v₂ км/ч и первый пришел в город Б на t часов раньше другого.

а) Составьте уравнение движения, обозначив расстояние между городами за x км.

б) Решите уравнение при v₁ = 80км/ч, v₂ = 60км/ч, t = 20 минут.

3. Решите уравнения.

а) ;

б) 12 – 3 (x + 1) + 2x = 2 – 4 (1 – x);

в) (1,5x + 2)(x² – x) = 0.

4. Число 99 умножают на двузначное число, начиная с 11. Докажите, что получится четырехзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на 1 и 3 местах, как и сумма цифр, стоящих на 2 и 4 местах, равна 9.
Вариант Б-2

1. Выражение А равно отношению разности квадратов букв а и b к их удвоенному произведению.

а) Запишите А в виде буквенного выражения.

б) Найдите значение А при а = , b = .

в) При каких значениях букв а и b выражение теряет смысл?

2. Из двух городов, расстояние между которыми равно s км, в одном направлении одновременно выехали два автомобиля со скоростями v₁ км/ч и v₂ км/ч, и первый догнал второго через t часов.

а) Составьте уравнение движения, обозначив скорость первого автомобиля за x (км/ч).

б) Решите уравнение при v₂ = 55км/ч, t = 4 ч, s = 60 км.

3. Решите уравнения.

а) ;

б) 1 – 2 (1 + 3x) = 3x – 4 (3x – 2) – 5;

в) (3 – 2,5x)(2x + x²) = 0.

4. Из четырехзначного числа вычитают трехзначное число, цифры которого совпадают с первыми тремя цифрами четырехзначного и идут в том же порядке. Докажите, что их разность будет делиться на 9 только в том случае, если четырехзначное числа оканчивается на 0 или на 9.
Контрольная работа № 2. Введение в алгебру (§§ 3–4)

Вариант А-1

1. Найдите НОД и НОК чисел 420 и 315, представив данные числа в виде произведения степеней простых чисел.

2. Дано выражение А = . Выполните действия, указанные в выражении А, при следующих значениях букв x, y и z.

1) x = y = z = 5.

2) x = a², y = a³, z = a.

3) x = 2²  3  5³, y = 2  3³  5, z = 2³  3²  5⁴.

3. Выполните действия с одночленами. Ответ представьте в виде одночлена стандартного вида.

а) 3a  b²  1,5a³  (–2)² b;

б) ;

в) –1,8abac + 3b  (0,2a)²  c – 8c  0,4ba².

4. Указанные числа запишите в стандартном виде:

а) 172 800;

б) 0,00325.
Вариант А-2

1. Найдите НОД и НОК чисел 360 и 378, представив данные числа в виде произведения степеней простых чисел.

2. Дано выражение А = . Выполните действия, указанные в выражении А, при следующих значениях букв x, y и z.

1) x = y = z = 3.

2) x = a³, y = a, z = a².

3) x = 2³  3⁴  5, y = 2²  5³, z = 2⁴  3²  5³.

3. Выполните действия с одночленами. Ответ представьте в виде одночлена стандартного вида.

а) (–1)³  c²d³  3,5d²  4c;

б) ;

в) 3,6c²dp²c – 2,8pc (2c)²  pd – 4c³  0,2p²d.

4. Указанные числа запишите в стандартном виде:

а) 208 100;

б) 0,0135.
Вариант Б-1

1. Найдите НОД и НОК чисел 3  7! (семь факториал) и 3528, представив данные числа в виде произведения степеней простых чисел.

2. Дано выражение А = 20x⁴yz^–3. Выполните действия, указанные в выражении А, при следующих значениях букв x, y и z.

1) x = y = z = 10.

2) x = a^–1, y = a², z = 2a³.

3) x = , y = –, z = .

3. Упростите.

а) ;

б) .

Ответ представьте в виде одночлена стандартного вида.

4. Запишите значение выражения в стандартном виде:

а) 1,2  10⁵  1450;

б) 0,0365  1,4  10^–3.
Вариант Б-2

1. Найдите НОД и НОК чисел 2  9! (девять факториал) и 6048, представив данные числа в виде произведения степеней простых чисел.

2. Дано выражение А = 50x^–2y³z. Выполните действия, указанные в выражении А, при следующих значениях букв x, y и z.

1) x = y = z = 10.

2) x = 5a^–2, y = a², z = a^–8.

3) x = –, y = 10, z = .

3. Упростите.

а) ;

б) .

Ответ представьте в виде одночлена стандартного вида.

4. Указанные числа запишите в стандартном виде:

а) 0,125  10⁴  1880;

б) 24,5  0,0308  10^–4.
Контрольная работа № 3. Многочлены (§§ 1–2)

Вариант А-1

1. Даны многочлены: A = x + 3y; B = 2y – 3x; C = –2x + y – 1.

Выполните с ними указанные действия.

1) A + B – C;

2) x  A – 2y  B;

3) A²;

4) A  C;

5) A(x – 3y) + (C +1)(2x + y);

6) (A – 1)²

Ответ представьте в виде многочлена стандартного вида.

2. Упростите выражение и найдите его значение.

1) (2a – 3)² – 4 (a – 3)(a + 3) при a = .

2) (3x³ + 4x²y) : x² – (10xy + 15y²) : (5y) при x = 2, y = –5.
Вариант А-2

1. Даны многочлены: A = x + 3y; B = 2y – 3x; C = –2x + y – 1.

Выполните с ними указанные действия.

1) A – B + C;

2) 2y  A – x  B;

3) B²;

4) B  C;

5) (A – y)  (x – 2y) + B ∙ (3x + 2y);

6) C².

Ответ представьте в виде многочлена стандартного вида.

2. Упростите выражение и вычислите его значение:

1) (3a – 1)² – 9 (a – 2)(a + 2) при a = .

2) (2xy² – 5y³) : y² – (12xy + 6x²) : (6x) при x = –3, y = –1.
Вариант Б-1

1. Даны многочлены: A = x + 3y; B = 2y – 3x; C = –2x + y – 1.

Найдите многочлен:

1) D, если D – C = 2B – A;

2) 2x²y  A – xy²  B;

3) 2A²;

4) (A – 1)  C;

5) (2x – 1)  ((2x – 1)² + 6x) – (x +2)(x² – 2x +4)

Ответ представьте в виде многочлена стандартного вида.

2. Упростите выражение и вычислите его значение.

1) (a² – 2)³ + (a² + 2)³ – 2(a³ + 4)² при a = .

2) (x³ – 3x² – 5x + 14) : (x – 2) – x(x – 1) при x = 21.
Вариант Б-2

1. Даны многочлены: A = x + 3y; B = 2y – 3x; C = –2x + y – 1.

Найдите многочлен:

1) P, если P – 2C = A – B;

2) (xy)  A – (2y²)  B;

3) –B²;

4) (B + 1)  C;

5) ((3x + 1)² – 9x)  (3x + 1) – (2x + 1)(4x² – 2x + 1).

Ответ представьте в виде многочлена стандартного вида.

2. Упростите выражение и вычислите значение полученного многочлена

1) (2a² + 1)³ – (2a² – 1)³ – 6(2a² – 3)² при a = .

2) (x³ – x² + 7x + 26) : (x + 2) – x(x – 3) : x при x =23.
Контрольная работа № 4. Многочлены (§ 3)

Вариант А-1

Разложите многочлены на множители следующими способами.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

а) ab + 5a²;

б) a²b³ + 3a²b²;

в) 27a³b – 18ab²;

г) 3a(2a + b) – 2b(2a + b);

д) 3(a – 2)(a + 4) – 2(a + 4)(a + 5)

e) 6a(a – 2b) + 3ab(2b – a).

2. По формулам сокращенного умножения.

a) a² – 4;

б) 4a²b⁴ – 9;

в) (a – 3)² – 16;

г) 16a² – 8ab + 1.

3. Несколько способов.

а) a²b + ab² – a – b;

б) a² + 2ab + b² – 4a²b².
Вариант А-2

Разложите многочлены на множители следующими способами.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

а) xy + 6x;

б) x³y – 2x²y;

в) 16x³y² + 24x²y³;

г) 8x(2x + y) + y(2x + y);

д) 4(x + y)(2x – y) – 3(2x – y)(x – y);

е) 8xy (x – 2y) + 4y (2y – x).

2. По формулам сокращенного умножения.

а) x² – 9;

б) 25 – 16x²y⁶;

в) (x + 2)² – 9;

г) 49x⁶ – 14x³ + 1.

3. Несколько способов.

а) x – y – x²y + xy²;

б) x² – 2xy + y² – x²y².
Вариант Б-1

Разложите многочлены на множители следующими способами.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

а) 24a²b³c – 32a³b²c² + 16a²b²c;

б) (3a + 2)(6a – 5) – (a – 2)(6a – 5);

в) 14a²b² ∙ (2a – b) + 7ab³ ∙ (b – 2a);

г) 6ab² ∙ (8a – 5)(3a + 4) – 9a²b ∙ (3a + 4)(2b – 5).

2. По формулам сокращенного умножения

а) a⁴ – 16;

б) 8a³ – b⁶;

в) 25a² – (4 – a)².

3. Несколько способов

а) 2a²b – 8ab² + 8b³ – 18b;

б) a² – 2ab – 15b²;

в) 3b ∙ (2a – b)² (2b + a) – (4b² – a²) (4a² – b²).

4. Числовое выражение разложите на простые множители. Делится ли оно на 616?
Вариант Б-2

Разложите многочлены на множители следующими способами.

1. Вынесение общего множителя за скобку.

а) 16xyz² + 24x²y²z³ – 12x²yz²;

б) (5x – 3)(x – 4) – (2x + 6)(x – 4);

в) 15x³y(3x – y) + 5x²y²(y – 3x);

г) 24x²y(2x + 3y)(3x – 2) – 8x³(3y – 4)(3y + 2x).

2. По формулам сокращенного умножения.

а) 81 – x⁴;

б) y³ + 27x⁶;

в) (5x – 6)² – x².

3. Несколько способов.

а) 12xy² + 12x²y + 3x³ – 3x;

б) x² – 6xy + 8y²;

в) 5x²(2x – y)²(3y + 2x) – (4x² – y²)(4x² – 9y²);

4. Числовое выражение 3¹² – 2¹² разложите на простые множители. Делится ли оно на 665?
Контрольная работа № 5. Комбинаторика (§§ 1–3)

Вариант А-1

1. Правило произведения

а) У Маши есть две тетради с разными обложками, три цветных карандаша и две ручки разного цвета. В портфель нужно положить одну тетрадь, одну ручку и один карандаш. Сколькими способами можно это сделать?

б) Вершины треугольника (порядок обозначения не имеет значения) можно обозначить любыми буквами A,B,C,D,E,F.

Сколькими способами это можно сделать?

2. Перестановки

а) При составлении расписания соревнований по лыжам забеги на 1, 3, 5 и 10 км можно размещать в любом порядке. Сколько существует вариантов такого расписания?

б) Сколько можно составить различных трехзначных чисел, используя все цифры, кроме нуля, причем цифры не должны повторяться?

3. Сочетания

а) На листочке нарисованы 8 домиков. Их можно раскрасить красным, желтым и зеленым цветом, причем каждый домик раскрашивается только одним цветом. Сколькими способами можно получить три зеленых домика?

б) Какое число стоит в центре 12 строки треугольника Паскаля?
Вариант А-2

1. Правило произведения

а) Нужно придумать уравнение , где a,b и c – натуральные числа от 1 до 15. Сколько различных уравнений можно составить?

б) Спортсмен занимается боксом, борьбой и плаваньем. По каждому виду у него одна тренировка в неделю. Сколькими способами он может составить расписание тренировок?

2. Перестановки

а) Сколько одночленов можно получить из одного одночлена x³y²z, переставляя в нем буквы?

б) Врач должен посетить в любом порядке 6 пациентов. Сколькими способами он может это сделать?

3. Сочетания

а) В корзине имеется 8 роз различных оттенков. Нужно составить букет из 5 роз. Сколькими способами это можно сделать?

б) ?
Вариант Б-1

1. Правило произведения

а) Сколько значений может принимать выражение xy, если вместо каждой буквы можно подставить любое из чисел 1, 3,5,7,9?

б) Сколькими способами можно расставить две ладьи разного цвета на шахматной доске, чтобы они не били друг друга?

2. Перестановки

а) Сколькими способами можно записать код, состоящий из 3 различных цифр, так чтобы сумма цифр равнялась 10?

б) В ряду 11 мест, на которых нужно рассадить 6 мальчиков и 5 девочек, причем так, чтобы мальчики и девочки чередовались. Сколькими способами это можно сделать?

3. Сочетания

а) У одного ученика 8 открыток с Видами Москвы, а у другого – 10 открыток с видами Санкт-Петербурга. Они решили поменять три открытки с видами Москвы на три открытки с видами Санкт-Петербурга. Сколькими способами они могут это сделать?

б) В алфавите 10 согласных букв и 5 гласных. Сколькими способами можно написать слова, состоящие из двух гласных и трех согласных или из трех гласных и двух согласных?

Вариант Б-2

1. Правило произведения

а) Сколько существует способов можно образовать четное четырехзначное число, не оканчивающееся нулем?

б) Команда школьников участвует в соревнованиях по волейболу, состоящему из 5 встреч, исходом которых может быть выигрыш, проигрыш и ничья. Сколько разных последовательностей исходов может иметь команда?

2. Перестановки

а) Ученику нужно решить в любом порядке 6 задач из списка, содержащего 10 задач. Сколькими способами он может это сделать, если учитывается не только выбор задач, но и последовательность их решения?

б) Для участия в конкурсе online ребята получили пароль, состоящий из четырех различных цифр, причем первая и последняя цифра четные. На сколько учеников может хватить таких паролей?

3. Сочетания

а) Двое ребят обмениваются марками на следующих условиях: две марки первого ученика обмениваются на три марки второго ученика. Сколько существует вариантов такого обмена, если у первого ученика было 7 марок, а у второго 9?

б) На окружности расположены 10 точек. Сколько можно построить треугольников и четырехугольников с вершинами в этих точках (чего больше и насколько)?
Контрольная работа № 6. Рациональные дроби (§§ 1–2)

Вариант А-1

1. Проверьте, будут ли дроби равны: .

2. Сократите дроби:

1) ;

2) ;

3) .

3. Выполните действия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .
Вариант А-2

1. Проверьте, будут ли дроби равны: .

2. Сократите дроби:

1) ;

2) ;

3) .

3. Выполните действия:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .
Вариант Б-1

1. Упростите выражение и найдите его значение при x = 1,45, y = 0,55.

2. Дано выражение .

Подставьте , и выполните действия.

3. Проверьте тождество и примените его для упрощения выражения .
Вариант Б-2

1. Упростите выражение и найдите его значение при x = 2,2, y = 0,4.

2. Дано выражение .

Подставьте , и выполните действия.

3. Проверьте тождество и примените его для упрощения выражения .
Контрольная работа № 7. Уравнения (§§ 1–2)

Вариант А-1

1. Решите уравнения:

1) ;

2) (x² + 2x + 3)(x – 1) – (x – 1)(2x + 7) = 0;

3) .

2. Из пар чисел (–1; 14), (5; 2), (1; 1) выберите решения системы

3. Решите систему:

4. Составьте уравнение прямой y = kx + b, проходящей через точки A(0; 2) и
B(–1; –1).
Вариант А-2

1. Решите уравнения:

1) ;

2) (x² + 3x – 1)(x + 2) – (3x + 8)(x + 2) = 0;

3) .

2. Из пар чисел (2; 3), (5; –4), (1; 6) выберите решения системы

3. Решите систему:

4. Составьте уравнение прямой y = kx + b, проходящей через точки C(0; –1) и D(1; 1).
Вариант Б-1

1. Решите уравнения:

1) ;

2) x³ + 8 + (x + 2)(3x + 8) = (x + 2)(3 – 5x);

3) .

2. Дана система уравнений

1) Проверьте, что x = 2, y = 3 – a является решением системы при любом а.

2) Решите систему при a = –5.

3. Решите задачу.

Двое рабочих изготовили вместе 1020 деталей. Первый рабочий работал 15 дней, а второй – 14 дней. Сколько деталей изготавливал каждый рабочий за один день, если первый рабочий за 3 дня делал на 60 деталей больше, чем второй за 2 дня.
Вариант Б-2

1. Решите уравнения:

1) ;

2) x³ – 1 – (x – 1)(2x + 7) = 2 – x – x²;

3) .

2. Дана система уравнений .

1) Проверьте, что x =  – 1, y = 1 является решением системы при любом а.

2) Решите систему при a = –1.

3. Решите задачу.

В двух баках содержалось 140 л воды. Когда из первого бака взяли 26 л воды, а из второго – 60 л, то в первом баке осталось в два раза больше воды, чем во втором баке. Сколько литров воды было в каждом баке первоначально?