Рациональные числа дополнительные задания к главе. Ответы и указания  Соответствия

6 класс глава 5 РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Дополнительные задания к главе. Ответы и указания

 Соответствия

1 – B, C, E; 2 – D; 3 – B, E; 4 – A, B, D; 5 – C

 Комбинаторика

1. Каждый член последовательности может принимать два значения О или Р, следовательно, таких последовательностей может быть 2¹⁵.

Ответ: 2¹⁵.

2. Если ученик идет в театр, то присвоим этому ученику 1, если не идет –0. Получим всевозможные последовательности из 0 и 1. Таких последовательностей 2³⁰.

Ответ: 2³⁰.

3. Возможны два варианта: на первом месте стоит четная цифра, на втором нечетная или наоборот, на первом месте стоит нечетная цифра, на втором четная. Так как количество четных и нечетных цифр одинаково, то в обоих случаях количество вариантов одинаково – на каждом месте может стоять любая из трех цифр. Всего вариантов будет 2  3⁴ = 162.

Ответ: 162.

4. Первая цифра может быть любой из 6 имеющихся, вторая – любая из 5 оставшихся, третья – из 4 и т. д. Всего мы получим 6  5  4  3 = 360 вариантов.

Ответ: 360.

5. Решение аналогично, только теперь на последнем месте должна стоять четная цифра –3 варианта, на первом месте может стоять любая из пяти оставшихся цифр, на втором – из четырех, на третьем – из трех. Всего получим 3  5  4  3 = 180 вариантов.

Ответ: 180.

6. Решается аналогично, только теперь две последние цифры должны быть 2 и 5, остальные выбираются из четырех оставшихся без повторения, следовательно, получим 4  3 = 12 вариантов.

Ответ:12.

7. Ответ: 6⁴.

8. На последнем месте должна стоять цифра 5. Ответ: 120.

9. Одно пятитомное собрание можно составить 5  4  3  2  1 = 120 способами и поставить на любое из трех мест, второе и третье собрания также можно составить 120 способами каждое и поставить на два оставшихся места –2 варианта. Итого имеем 3  2  120³ = 10 368 000 способов.

Ответ: 10 368 000.

10. Первое письмо можно выбрать из 4 писем, первую телефонограмму – из 3; второе письмо можно выбрать из трех оставшихся писем, телефонограмму – из 2, третье письмо можно выбрать из двух оставшихся писем, затем отправить телефонограмму и последнее письмо. Всего имеем 4  3  3  2  2  1  1 = 144 способа рассылки.

Ответ: 144.

Математический язык и логика. Ответы и указания

1. Опровержение условного высказывания

Это логическое правило крайне важно и к нему нужно будет неоднократно возвращаться. Ответы, разумеется, неоднозначны.

Возможные варианты:

1) n = 6. Годится любое число, делящееся на 6, но не делящееся на 4.

2) Рисунок строится легко.

3) Взять два любых отрицательных числа.

4) Взять любое отрицательное число.

5) Полезно высказывание A  B заменить эквивалентным: B  A, т. е. если диагонали равны, то четырехугольник – прямоугольник. Теперь опровергающий пример строится легко.

2. Два дня подряд ответ должен быть одинаковым. Так как в приведенном списке нет двух подряд идущих одинаковых ответов, то в седьмой день ответ должен либо совпадать с шестым (Боря), либо с первым (Женя). Осталось проверить выполнение условия – во вторник ответ должен быть другим. В первом случае (Боря) шестой день должен быть четвергом, тогда вторник – четвертый день, но в четвертый день ответ (Боря) тот же. Во втором случае (Женя), четвергом должен быть седьмой день, а вторником – пятый, когда он назвал себя Петей.

Ответ: А.

3. Верный ответ – С, т. е. все лягушата веселые. Задача трудная. Проще всего записать все высказывания формулами.

Обозначения:

A:  п – всякий лягушонок пестренький;

B:  л  б – всякий лягушонок не сидит на берегу (плавает);

C:  в – всякий лягушонок веселый;

D:  л  в – всякий лягушонок невеселый;

E:  л: в  3 – всякий лягушонок если он веселый, то зеленый.

Запишем данные условия, верные для любого лягушонка л:

1. з  в (если он зеленый, то веселый)

2.  в  б

3. з или п

4. п   б (если пестрый, то не сидит на берегу)

Теперь проверим обязательность выполнения C. Если бы C было неверно, то нашелся бы невеселый лягушонок. Но тогда из условия 1 он был бы не зеленый, по условию 3 он обязан быть пестреньким, по условию 4 не может сидеть на берегу, а по условию 2 должен быть веселым. Получили противоречие.

Можно проверить, что ни одно из других условий – A, B, D или E – не является обязательным, но можно этого и не делать, если считать, что по условию задачи лишь один ответ может быть верным.

Использование математических символов

Ответы на упражнение 2:

а) n нечетно  n + 1 четно.

б) 3x = x + 4  x = 2.

в) a > b  a + c > b + c.

На самом деле данное утверждение таково: a > b  a + c > b + c. Но если оно верно для любого c, то оно верно и для числа –c, что доказывает другую импликацию: a + c > b + c  a > b. Квантор c скрыт, но подразумевается.

г) ABCD – параллелограмм  ABCD имеет центр симметрии.

Страничка Кенгуру. Ответы

1 – A; 2 – B; 3 – C; 4 – D; 5 – A; 6 – B; 7 – E; 8 – A; 9 – C; 10 – E.