Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Лекторы

Рабочая программа дисциплины

1. Дифференциальные уравнения

2. Лекторы

2.1. Д.ф.-м.н., профессор Нефедов Николай Николаевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-48-59

2.2. Д.ф.-м.н., профессор Попов Виктор Юрьвич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: popovvyu@phys.msu.ru, телефон.: +7(495) 939-13-51

2.3. Д.ф.-м.н., профессор Неделько Илья Витальевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-48-59

3. Аннотация дисциплины

Курс " Дифференциальные уравнения " является обязательным общефакультетским курсом и читается в 4-м семестре. Данный курс подготовлен в рамках Приоритетных направлений развития МГУ "Система подготовки и воспроизводства кадров нового поколения".

Курс включает 34 часа лекций, а также 17 часов семинарских занятий.

Лекционный курс "Дифференциальные уравнения" включает 17 лекций и полностью охватывает материал, включенный в учебный план. Первые две лекции носят вводный характер и содержат основные определения, используемые в курсе, примеры физических задач, приводящих к необходимости решения дифференциальных уравнений, а также обзор простейших методов интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Затем подробно изложены классические результаты о существовании и единственности решений некоторых классов дифференциальных уравнений и систем, методы решения линейных уравнений и систем, рассмотрены краевые задачи, а также некоторые вопросы теории устойчивости и асимптотических методов. Заключительные лекции посвящены рассмотрению линейных и квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка. уделено достаточно много внимания рассмотрению качественных методов исследования нелинейных задач, в том числе анализу фазовой плоскости, нелинейным краевым задачам, современным асимптотическим методам.

4. Цели освоения дисциплины

Изучение основных свойств дифференциальных уравнений. Изучение линейных и нелинейных начальных и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Формирование умения применить эти знания для различных приложений.

5. Задачи дисциплины

В результате изучения данной дисциплины обучающийся должен овладеть понятиями и методами, составляющими ее содержание, уметь формулировать и доказывать основные утверждения, освоить практические навыки, достаточные для решения широкого класса фундаментальных и прикладных задач, применять знания в других областях математики и в теоретической физике.

6. Компетенции

6.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.

ОНК-1, ОНК-6, ИК-3, ПК-1

6.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.

ПК-2; ОНК-5; ОНК-6

7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать основные понятия теории дифференциальных уравнений, постановки начальных и краевых задач для различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, основы теории устойчивости, асимптотические методы исследования дифференциальных уравнений;

уметь решать постановки начальных и краевых задач для различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, исследовать устойчивость решений, применять асимптотические методы, применять знания основ теории дифференциальных уравнений в других областях математики, таких как, например, интегральные уравнения, методы математической физики;

владеть основными методами исследования различных классов обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка;

иметь опыт деятельности по решению дифференциальных уравнений, по исследованию качественного поведения решений и их интерпретации в приложениях
8. Содержание и структура дисциплины

Вид работы	Семестр			Всего
	4
Общая трудоёмкость, акад. часов	144			144
Аудиторная работа:	68			68
Лекции, акад. часов	34			34
Семинары, акад. часов	34			34
Лабораторные работы, акад. часов	-			-
Самостоятельная работа, акад. часов	76			76
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)	Зачет, экзамен			Зачет, экзамен

N раз- дела	Наименование раздела	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий			Форма текущего контроля
		Аудиторная работа		Самостоятельная работа
		Лекции	Семинары
1 .	Введение.	Лекция №1 (2 часа). Понятие дифферен-циального уравнения, постановки задач, общее решение, геометрическая интерпретация.	Семинар №1 (2 часа) Уравнения с разделя-ющимися переменными, однородные уравнения. Линейные уравнения, метод вариации постоянной, функция Коши. Семинар №2 (2 час) Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. Уравнения, не разрешенные относительно производной, особые решения. Уравнения высших порядков	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об
		Лекция №2 (2 часа). Примеры задач, при-водящих к ДУ. Простей-шие случаи интегриро-вания уравнений 1-го порядка. .		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №3 (2 часа). Теорема существования и единственности решения задачи Коши для скалярного уравнения 1-го порядка.		4 часа Работа с лекционным материалом.
2. 3. 4. 5.	Теорема существования и единственности Линейные уравнения Краевые задачи Основы теории устойчивости	Лекция №4 (2 часа). Непрерывная зависимость решения от параметров. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств.		4 часа Работа с лекционным материалом.	ДЗ, КР, Оп, Об, Т
		Лекция №5 (2 часа). Теоремы существования и единственности для нормальной системы ОДУ.	.	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №6 (2 часа). Линейные ОДУ n-го порядка.	Семинар №3 (2 часа) Линейные уравнения с постоянными коэффи-циентами. Общее реше-ние однородного уравне-ния. Неоднородное урав-нение, метод вариации постоянных, функция Коши.	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №7 (2 часа). Системы линейных дифференциальных уравнений.	Семинар №4 (2 час) Линейные системы с постоянными коэффи-циентами. Общее реше-ние однородной систе-мы. Методы построения частных решений неоднородной системы, матрица Коши Семинар №5 (2 час) Методы построения частных решений для уравнений с неоднород-ностями специального вида (метод неопреде-ленных коэффициентов, операторный метод). Семинар №6 (2 час) Контрольная работа по дифференциальным уравнениям (темы занятий 3-5).	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия. 3 часа Подготовка к контрольной работе
		Лекция №8 (2 часа). Краевые задачи для линейного ДУ 2-го порядка. Функция Грина.	Семинары №7- №8 (4 часа) Краевые задачи, функция Грина. Задача Штурма-Лиувилля. Сведение задачи Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма. Исследование разрешимости нелинейных краевых задач.	4 часа Работа с лекционным материалом.
		Лекция №9 (2 часа). Нелинейные краевые задачи. Теорема Нагумо.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №10 (2 часа). Основы теории устойчивости. Устойчивость по первому приближению.	Семинары №9 - №10 (4 часа) Исследование устойчивости по первому приближению. Метод функций Ляпунова	6 часов Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
6. 7.	Асимптотические методы ДУ в частных производных первого порядка.	Лекция №11 (2 часа) Второй метод Ляпунова.	Семинар №11 (2 часа) Классификация точек покоя автономных уравнений второго порядка и систем.	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, КР, Оп, Об, Т
		Лекция №12 (2 часа) Классификация точек покоя линейной системы 2-х уравнений.		4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №13 (2 часа). Фазовая плоскость автономной нелинейной системы.	Семинар №12 (2 часа) Фазовая плоскость. Краевые задачи для нелинейных уравнений. Семинар №13 (2 час) Контрольная работа по дифференциальным уравнениям (темы занятий 7-12).	6 часов Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №14 (2 часа). Понятие об асимптотических методах. Регулярные и сингулярные возмущения	Семинар №14 (2 часа) Построение приближенных решений для регулярно и сингулярно возмущенных задач. Применение Теоремы Тихонова для нахождения приближенного решения. .	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
		Лекция №15 (2 часа). Линейные ДУ в частных производных первого порядка. .	Семинар №15-№16 (4 часа) Уравнения в частных производных первого прядка. Построение общих решений линейных и квазилинейных уравнений, характеристики, первые интегралы. Решение задачи Коши.	4 часа Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
8.	Численные методы	Лекция №16 (2 часа). Квазилинейные ДУ в частных производных первого порядка. Схема решения задачи Коши	Семинар №17 (2 час) Контрольная работа по дифференциальным уравнениям (темы занятий 14-16).	6 часа Работа с лекционным материалом, подготовка к контрольной работе.	Оп, Об
		Лекция №17 (2 часа). Понятие о численных методах решения дифференциальных уравнений		3 часа Работа с лекционным материалом.

9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

1. Обязательная дисциплина

2. Базовая часть, профессиональный блок, модуль «Математика».

3. Курс является составной частью модуля «Математика» и тесно связан с читаемым параллельно курсом «Интегральные уравнения».

3.1. Дисциплины и практики, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины: «Математический анализ», «Линейная алгебра».

3.2. Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее: «Методы математической физики», «Теоретическая физика», «Квантовая механика» и другие дисциплины теоретической физики.

10. Образовательные технологии

Курс имеет электронные версии лекций и экзаменационных вопросов, доступные для студентов. В конце семестра проводится компьютерное тестирование. Все результаты работы студентов, такие как лекционные контрольные, тестирование и другие систематически обновляются на сайте кафедры математики.

11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Текущая аттестация проводится еженедельно. Критерии формирования оценки – посещаемость занятий, активность студентов на семинарских занятиях, уровень подготовки к семинарским занятиям, выполнение домашних заданий.

Промежуточная аттестация проводятся 3 контрольные работы и два теста.

Итоговая аттестация - зачет. экзамен.

Типовые задачи к зачету:
Решите уравнения (запишите общее решение и решение задачи с дополнительными условиями, если это необходимо):

1.		14.
2.		15.	,
3.		16.
4.		17.
5.		18.
6.		19.
7.		20.
8.		21.
9.	,	22.
10.	,	23.
11.		24.
12.		25.
13.		26.

Исследуйте особенности семейства решений уравнений. Постройте графики интегральных кривых (схематично):

27.		30.
28.		31.
29.

Решите уравнения:

32.		35.
33.		37.
34.		38.
35.

Решите уравнения (запишите общее решение и решение задачи с дополнительными условиями, если это необходимо):

39.	,	45.
40.		46.
41.		47.
42.		48.
43.	,	49.
44.	,

Решите уравнения методом вариации постоянной:

50.		52.
51.

Решите уравнения Эйлера:

53.		55.
54.		56.

Решите системы уравнений (запишите общее решение и решение задачи с дополнительными условиями, если это необходимо):

57.		62.
58.		63.
59.		64.
60.		65.
61.		66.
67.	Постройте функцию Коши и запишите с ее помощью общее решение уравнения	73.	Найдите положения равновесия системы, определите их тип и исследуйте устойчивость (по первому приближению)
68.	Постройте функцию Коши и запишите с ее помощью общее решение уравнения	74.	Найдите положения равновесия системы, определите их тип и исследуйте устойчивость (по первому приближению)
69.	Постройте функцию Коши и запишите с ее помощью общее решение уравнения	75.	Найдите положения равновесия системы, определите их тип и исследуйте устойчивость (по первому приближению)
70.	Найдите положения равновесия системы и исследуйте их устойчивость	76.	Найдите стационарные точки, определите их тип и изобразите фазовые траектории
71.	Найти положения равновесия системы, определить их тип и исследовать устойчивость (по первому приближению)	77.	Найти стационарные точки, определить их тип и изобразить фазовые траектории
72.	Найдите положения равновесия системы, определите их тип и исследуйте устойчивость (по первому приближению)	78.	Найдите стационарные точки, определите их тип и изобразите фазовые траектории

Постройте функцию Грина и запишите решения краевых задач:

79.		84.	;
80.		85.	;
81.		86.	;
82.	;	87.	;
83.	;

Найдите собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля:

88.	;	92.	;
89.	;	93.	;
90.	;	94.	;
91.	;

Запишите общее решение и решение задачи Коши для уравнений

95.	;	98.
96.	;	99.	;
97.		100.	;

Экзамен по курсу "Дифференциальные" состоит из 2-х частей.

1-я часть экзамена – письменная работа на знание определений, формулировок теорем и имение решать простые задачи.

2-я часть экзамена - теоретическая. К ней допускаются только студенты, успешно выполнившие первую. Для получения оценки "хорошо" и "отлично" необходимо уметь доказывать утверждения и теоремы, включенные в изучаемый курс.

Типовые экзаменационные вопросы

1. Сформулируйте теорему существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка.

2. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения . Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи .

3. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения . Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи .

4. Сформулируйте теорему Чаплыгина существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка.

5. Дайте определение фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения. Какой вид имеет общее решение такого уравнения? Приведите пример.

6. Метод вариации постоянной для решения неоднородного линейного ОДУ первого порядка. Приведите пример.

7. Метод вариации постоянных для решения неоднородной линейной нормальной системы ОДУ первого порядка. Приведите пример.

8. Покажите равносильность задачи Коши для ОДУ n-го порядка задаче Коши для нормальной системы 1-го порядка. Приведите пример.

9. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений первого порядка.

10. Что такое фундаментальная матрица? Как с ее помощью построить общее решение однородной системы? Приведите пример.

11. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно старшей производной.

12. Сформулируйте теорему о структуре ФСР однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения. Приведите пример.

13. Сформулируйте определение матрицы Коши однородной системы линейных ОДУ. Приведите пример.

14. Алгоритм решения линейного неоднородного ОДУ n-го порядка с помощью функции Коши. Приведите пример.

15. Определение и свойства фундаментальной матрицы однородной линейной системы ОДУ. Приведите пример.

16. Определение и свойства определителя Вронского, построенного из решений однородного ОДУ n-го порядка. Приведите пример.

17. Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы ОДУ.

18. Алгоритм решения задачи Коши для линейного неоднородного ОДУ n-го порядка с нулевыми начальными условиями с помощью функции Коши. Приведите пример.

19. Алгоритм построения решения задачи Коши для линейной однородной системы ОДУ с помощью матрицы Коши. Приведите пример.

20. Алгоритм построения решения задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ с помощью матрицы Коши. Приведите пример.

21. Какому интегральному уравнению равносильна задача Коши для ОДУ первого порядка? Приведите пример.

22. Что такое характеристическое уравнение линейного однородного ОДУ n-го порядка? Приведите пример.

23. Запишите математические постановки задач Коши для нормальной системы линейных ОДУ 1-го порядка и линейного ОДУ n-го порядка.

24. Что такое фундаментальная матрица однородной системы линейных ОДУ? Приведите пример.

25. Что такое матрица Коши однородной системы линейных ОДУ? Приведите пример.

26. Сформулируйте теорему Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению.

27. Дайте определения устойчивого решения. Приведите пример решения устойчивого, но не асимптотически.

28. Дайте определения асимптотически устойчивого решения. Приведите пример.

29. Дайте определения неустойчивого решения. Приведите пример.

30. Сформулируйте критерий устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Приведите примеры.

31. Сформулируйте теорему о достаточных условиях устойчивости системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

32. Какое положение равновесия линейной динамической системы на плоскости называется устойчивым узлом ? Неустойчивым узлом? Приведите примеры.

33. Какое положение равновесия линейной динамической системы на плоскости называется устойчивым фокусом ? Неустойчивым фокусом? Приведите примеры.

34. Какое положение равновесия линейной динамической системы на плоскости называется седлом ? Что можно сказать про устойчивость седла? Приведите пример.

35. Какое положение равновесия линейной динамической системы на плоскости называется центром ? Что можно сказать про устойчивость центра? Приведите пример.

36. Сформулируйте теорему единственности решения краевой задачи и теорему о достаточных условиях существования только тривиального решения у однородной краевой задачи с краевыми условиями первого рода.

37. Сформулируйте теорему Нагумо о существовании решения нелинейной краевой задачи.

38. Сформулируйте теорему о представлении решения краевой задачи с помощью функции Грина.

39. Сформулируйте определение функция Грина краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка.

40. Алгоритм построения функции Грина и решения первой краевой задачи для неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка.

41. Определение и алгоритм построения функции Грина первой краевой задачи.

42. Сформулируйте определение и перечислите свойства функции Грина первой краевой задачи.

43. Запишите математические постановки известных Вам краевых задач.

44. Запишите линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка в общем виде опишите алгоритм нахождения решения этого уравнения.

45. Что такое характеристическая система и характеристики линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка?

46. Что такое первый интеграл характеристической системы линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка?

47. Сформулируйте теорему о решении квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка.

48. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Используя фазовую плоскость, установите, при каких y⁰ разрешима краевая задача .

49. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Используя первый метод Ляпунова, исследуйте устойчивость точек покоя этого уравнения.

50. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте устойчивость точек покоя этого уравнения.

51. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте расположение траекторий на фазовой плоскости и изобразите эскиз фазового портрета.

52 Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Найдите точки покоя и исследуйте их устойчивость.

53. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Найдите точки покоя и исследуйте их устойчивость.

54. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте расположение траекторий на фазовой плоскости. Изобразите на фазовой плоскости эскиз фазового портрета.

55. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Используя фазовую плоскость, установите при каких y0. разрешима краевая задача .

56. Найдите общее решение уравнения . Используя фазовую плоскость, исследуйте устойчивость точек покоя уравнения.

57. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Нарисуйте на фазовой плоскости эскизы фазовых траекторий, найдите точки покоя и исследуйте их устойчивость.

58. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте по первому приближению устойчивость точек покоя.

59. Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений первого порядка.

60. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте расположение траекторий на фазовой плоскости. Изобразите на фазовой плоскости эскиз фазового портрета.

61. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Используя теорему Нагумо, установите разрешимость краевой задачи .

62. Найдите общее решение уравнения . Используя фазовую плоскость, исследуйте устойчивость точек покоя.

63. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте расположение траекторий на фазовой плоскости. Изобразите на фазовой плоскости эскиз фазового портрета.

64. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте устойчивость точек покоя

65. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте расположение траекторий на фазовой плоскости. Изобразите на фазовой плоскости эскиз фазового портрета.

66. Найдите в квадратурах общее решение уравнения . Исследуйте по первому приближению устойчивость точек покоя.

67. На фазовой плоскости определите тип и исследуйте на устойчивость точку покоя системы ОДУ .

68. На фазовой плоскости определите тип и исследуйте на устойчивость точку покоя системы ОДУ .

69. На фазовой плоскости определите тип и исследуйте на устойчивость точку покоя системы ОДУ .

70. На фазовой плоскости определите тип и исследуйте на устойчивость точку покоя системы ОДУ .

71. На фазовой плоскости определите тип и исследуйте на устойчивость точку покоя системы ОДУ .

72. Исследуйте на устойчивость по первому приближению тривиальное решение системы .

73. Исследуйте на устойчивость по первому приближению тривиальное решение системы .

74. Сформулируйте и докажите теорему существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка.

75. Сформулируйте и докажите теорему о зависимости решения задачи Коши для уравнения первого порядка от начальных условий и параметров.

76. Сформулируйте и докажите теоремы о линейной зависимости системы функций и линейной независимости решений однородного линейного уравнения n-го порядка.

77. Сформулируйте и докажите теорему о представлении общего решения однородного линейного уравнения n-го порядка через ФСР.

78. Сформулируйте и докажите теорему Нагумо о существовании решения нелинейной краевой задачи.

79. Сформулируйте и докажите теорему независимости решений однородной линейной системы уравнений.

80. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова об устойчивости и неустойчивости по первому приближению решения скалярного автономного уравнения первого порядка.

81. Сформулируйте и докажите теорему о структуре ФСР однородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.

82. Сформулируйте и докажите теорему о существовании функции

Грина краевой задачи.

83. Сформулируйте и докажите теорему единственности решения краевой задачи и теорему о достаточных условиях существования только тривиального решения у однородной краевой задачи с краевыми условиями первого рода.

84. Сформулируйте и докажите теорему о зависимости решения задачи Коши для уравнения первого порядка от начальных условий и параметров.

85. Сформулируйте и докажите теоремы о линейной зависимости системы функций и линейной независимости решений однородного линейного уравнения n-го порядка.

86. Сформулируйте и докажите теорему о представлении общего решения однородного линейного уравнения n-го порядка через ФСР.

87. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка – постановка и схема решения.

88. Сформулируйте и докажите теорему существования решения краевой задачи.

89. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова об устойчивости

(метод функций Ляпунова).

90. Сформулируйте и докажите теорему Чаплыгина о дифференциальных неравенствах.

91. Сформулируйте и докажите теорему о неустойчивости по первому приближению точки покоя скалярного уравнения.

92. Сформулируйте и докажите теорему о структуре ФСР однородной линейной системы уравнений с постоянными коэффициентами в случае простых собственных значений.

93. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости (метод функций Ляпунова).

94. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка – постановка и схема решения.

95. Сформулируйте и докажите теорему о взаимосвязи первого интеграла характеристической системы и решения линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.

96. Сформулируйте и докажите теорему об устойчивости по первому приближению точки покоя скалярного уравнения.

97. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка – постановка и схема решения.

98. Сформулируйте и докажите теорему единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка.

99. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка – постановка и схема решения.

100. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова об устойчивости (метод функций Ляпунова).

101. Задача Коши для линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка – постановка и схема решения.

102. Сформулируйте и докажите теорему существования и единственности решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной.

103. Сформулируйте и докажите теорему о непрерывной зависимости решения задачи Коши для уравнения первого порядка от параметра, входящего в правую часть уравнения.

104. Сформулируйте и докажите теорему об отличии от нуля определителя Вронского линейно независимых решений однородного ОДУ n-го порядка.

105. Сформулируйте и докажите теорему о существовании ФСР

линейного однородного ОДУ n-го порядка.

106. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного неоднородного ОДУ n-го порядка.

107. Сформулируйте и докажите теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости.

108. Выведите и докажите первую формулу Грина.

109. Выведите и докажите вторую формулу Грина.

110. Сформулируйте и докажите теорему о решении задачи Коши для линейной неоднородной системы ОДУ с использованием матрицы Коши.

111. Сформулируйте и докажите теорему об отличии от нуля определителя Вронского линейно независимых решений однородного ОДУ n-го порядка.

12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература:

1. 
   Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Москва. Физматлит. 2002.
   
2. 
   Васильева А.Б., Медведев Г.Н., Тихонов Н.А., Уразгильдина Т.А. Дифференциальные и интегральные уравнения. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 2005.
   
3. 
   Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Едиториал УРСС, 2003.
   
4. 
   Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:УРСС, 2008.
   
5. 
   Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.–Ижевск: РХД, 2005.
   
6. 
   Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Теоремы сравнения. Метод дифференциальных неравенств Чаплыгина. Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2007.
   
7. 
   Васильева А.Б., Нефедов Н.Н. Нелинейные краевые задачи. Учебное пособие. Физ. Фак. МГУ. 2006.
   

Дополнительная литература для углубленного изучения предмета:

1. 
   Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.–Ижевск: РХД, 2000.
   
2. 
   Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Высшая школа, 1983
   
3. 
   Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Высшая школа, 1978.
   
4. 
   Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва. Наука. 1983.
   
5. 
   .Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М.:УРСС, 2004
   

Интернет-ресурсы

1. 
   http://matematika.phys.msu.ru
   

Нефедов Н.Н., Попов В.Ю., Волков В.Т. Дифференциальные уравнения. Курс лекций.

2. 
   Сайт также содержит необходимые методические материалы для самостоятельной работы студентов по дисциплине.
   

13. Материально-техническое обеспечение

В соответствии с требованиями п.5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки “Физика”.

Курс может быть прочитан в поточной аудитории при наличии: работающих электрических розеток, компьютера, проектора, экрана, учебной доски.