Программа дисциплины Методы математической физики Лекторы

Рабочая программа дисциплины

1. Методы математической физики

2. Лекторы.

2.1. Д.ф.-м.н., профессор, Боголюбов Александр Николаевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон.: +7(495) 939-10-33

2.2. Д.ф.-м.н., профессор, Тихонов Николай Андреевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон.: +7(495) 939-10-33

3. Аннотация дисциплины.

Курс «Методы математической физики» посвящен методам постановки и исследования начально - краевых задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического, параболического и гиперболического типов.

Излагаются основы теории специальных функций математической физики, применяемых при решении соответствующих задач, а также основные методы их исследования.

4. Цели освоения дисциплины

Изложение математического аппарата, необходимого для корректной постановки начально-краевых и краевых задач математической физики, а также для исследования этих задач аналитическими методами.

5. Задачи дисциплины.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен научиться корректно ставить задачи математической физики и овладеть математическим аппаратом, необходимым для их исследования, в частности, овладеть аппаратом специальных функций математической физики.

6. Компетенции.

7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.

ОНК-5, ИК-1, ИК-2, ИК-3, ИК-4, ПК-1

7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.

ПК-2, ПК-3, ПК-6

7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины.

В результате освоения дисциплины студент должен

знать основные принципы построения и исследования начально-краевых и краевых задач математической физики;

уметь применять специальные функции математической физики для решения начально-краевых и краевых задач;

владеть навыками грамотного использования современных аналитических методов для потроения решений начально-краевых и краевых задач математической физики.

иметь опыт деятельности выполнения научного доклада.
8. Содержание и структура дисциплины.

Вид работы	Семестр			Всего
	6
Общая трудоёмкость, акад. часов	216			216
Аудиторная работа:	108			108
Лекции, акад. часов	54			54
Семинары, акад. часов	54			54
Лабораторные работы, акад. часов	-			-
Самостоятельная работа, акад. часов	108			108
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)	Экзамен			Экзамен

N раз- дела

Наименование раздела

Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий

Форма текущего контроля

Аудиторная работа

Самостоятельная работа

Лекции

Семинары

Лабораторные работы

1

Специальные функции математической физики.

№1. 2 часа. Уравнение специальных функций и свойства его решений. Цилиндрические функции. Уравнение Бесселя. Функция Бесселя. Интегральное представление функции Бесселя.

№1. 2 часа. Вывод уравнений. Колебания нагруженной струны. Состыкованные стержни. Конвективный обмен теплом. Уравнения нелинейного горения.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение вывода основных уравнений математической физики. Решение постановочных задач из «Сборника задач по математической физике» Б.М.Будака, А.А.Самарского и А.Н.Тихонова.

Оп, Об

.

№2. 2 часа. Цилиндрические функции. Функции Неймана и Ханкеля. Асимптотические формулы. Рекуррентные формулы. Задача на собственные значения в круге.

№2. 2 часа. Вывод уравнений. Телеграфные уравнения. Волноведущие системы. Электромагнитные колебания в полых резонаторах. Постановка начально-краевых задач.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение вывода основных уравнений математической физики. Решение постановочных задач из «Сборника задач по математической физике» Б.М.Будака, А.А.Самарского и А.Н.Тихонова.

ДЗ, Оп, Об

№3. 2 часа. Цилиндрические функции. Линейная зависимость цилиндрических функций. Вычисление определителя Вронского.

№ 3. 2 часа. Вывод уравнений. Скин-эффект. Уравнения гидро- и газодинамики. Ударные волны. Постановка начально-краевых задач. Классические и обобщенные решения.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Повторение вывода основных уравнений математической физики. Решение постановочных задач из «Сборника задач по математической физике» Б.М.Будака, А.А.Самарского и А.Н.Тихонова.

№4. 2 часа. Цилиндрические функции. Функции Инфельда и Макдональда. Асимптотическое представление. Рекуррентные формулы.

№4. 2 часа. Метод разделения переменных. Уравнение колебаний и теплопроводности на отрезке, в прямоугольнике и прямоугольном параллелепипеде.

4 часа. Работа с лекционным мате- риалом. Решение задач из сборника «Задачи по математической физике» А.Н.Боголюбова и В.В.Кравцов.

2

Методы математической физики.

№5. 2 часа. Классические ортогональные полиномы. Общие свойства.

№5. 2 часа. Задача Штурма-Лиувилля. Уравнение Лапласа. Отрезок, прямоугольник и прямоугольный параллелепипед.

4 часа. Работа с лекционным мате риалом. Решение задач из сборника «Задачи по математической физике» А.Н.Боголюбова и В.В.Кравцов..

ДЗ, КР, Оп, Об

№6. 2 часа. Классические ортогональные полиномы. Полиномы Якоби, Лежандра, Лягерра и Эрмита.

№6. 2 часа. Вычисление квадрата нормы для цилиндрических функций. Задача Штурма-Лиувилля. Уравнение Лапласа. Круг, цилиндр и его части. Электроемкость цилиндрических резонаторов.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из сборника «Задачи по математической физике» А.Н.Боголюбова и В.В.Кравцов.

№7. 2 часа. Присоединенные функции Лежандра. Основные свойства.

№7. 2 часа. Задача Штурма-Лиувилля. Уравнение Лапласа. Шар. Шаровой слой.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из сборника «Задачи по математической физике» А.Н.Боголюбова и В.В.Кравцов.

№ 8. 2 часа. Сферические и шаровые функции. Основные свойства. Задача на собственные значения в шаре.

№8. 2 часа. Вычисление производящих функций полиномов Лежандра, Лагерра и Эрмита. Бигармоническое уравнение.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

№9. 2 часа. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

№9. 2 часа. Уравнение теплопроводности и колебаний в ограниченной области с однородными граничными условиями.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

10. 2 часа. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям второго порядка гиперболического типа. Начальные и граничные условия.

№10. 2 часа. Уравнение теплопроводности и колебаний в ограниченной области с однородными граничными условиями.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

№ 11. 2 часа. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям второго порядка параболического и эллиптического типа типа.

№11. 2 часа. Уравнение теплопроводности и колебаний в ограниченной области с неоднородными граничными условиями.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

Оп, Об, КР, ДЗ

№12. 2 часа. Метод разделения переменных. Пространства Лебега и Соболева. Полные и замкнутые ортогональные системы функций. Свойства собственных функций и собственных значений. Замкнутость систем полиномов Лежандра и присоединенных функций Лежандра.

№12. 2 часа. Уравнение теплопроводности и колебаний в ограниченной области с неоднородными граничными условиями. Метод сведения к однородным граничным условиям.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

№13. 2 часа. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Гармонические функции. Основные свойства. Принцип максимума. Внутренние и внешние краевые задачи. Регулярность решения на бесконечности.

№13. 2 часа. Уравнение теплопроводности и колебаний в ограниченной области с неоднородными граничными условиями. Метод Гринберга.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

Оп, Об, ДЗ, КР

		№ 14. 2 часа. Функция Грина для уравнения Лапласа. Граничные условия Дирихле. Граничные условия Неймана. Трехмерный и двумерный случаи.	№14. 2 часа. Обобщенные решения краевых задач. Функция Грина оператора Лапласа задачи Дирихле. Построение методами разделения переменных, электростатических и конформных отображений.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.	Оп, Об, КР, ДЗ
		№ 15. 2 часа. Уравнения параболического типа в ограниченной области. Принцип максимума. Принцип сравнения. Теоремы единственности и существования решения.	№14. 2 часа. Функция Грина оператора Лапласа задач Неймана и Робена. Построение методами разделения переменных, электростатических и конформных отображений.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.	Оп, Об, КР, ДЗ
5.		№16. 2 часа. Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой и в неограниченного пространства. Применение метода интегрального преобразования Фурье. Теоремы единственности, устойчивости и существования решения.	№16. 2 часа. Метод интегральных преобразований Фурье. Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой и в неограниченном пространстве. Фундаментальное решение.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.	Оп, Об, КР, ДЗ

№17. 2 часа. Уравнение теплопроводности на полуограниченной прямой. Метод продолжения. Применениеинтегральных преобразований Фурье и Лапласа. Принцип Дюамеля.

№17. 2 часа. Уравнение теплопроводности на полупрямой. Однородные граничные условия. Функция Грина. Принцип продолжениия.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

Оп, Об, ДЗ, КР

№18. 2 часа. Уравнения гиперболического типа. Внутренние начально-краевые задачи. Теорема единственности. Энергетический метод. Теорема существования классического решения. Метод Фурье.

№18. 2 часа. Метод интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Уравнение теплопроводности на полупрямой. Неоднородные граничные условия. Принцип Дюамеля.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

Оп. Об, ДЗ, КР

№19. 2 часа. Уравнения колебаний на бесконечной прямой. Формула Даламбера. Интерпретация решения на фазовой плоскости. Метод характеристик. Метод Фурье.

№16. 2 часа. Метод интегральных преобразований Фурье. Уравнение колебаний на бесконечной прямой.

4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.

Оп. Об, ДЗ, КР

		№ 20. 2 часа. Уравнение колебания на полубесконечной прямой. Метод продолжения. Интерпретация решения на фазовой плоскости. Метод характеристик. Метод Фурье.	№ 20. 2 часа. Метод характеристик. Фазовая плоскость. Уравнение колебаний на бесконечной прямой .		4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.	Оп. Об, ДЗ, КР
		№21. 2 часа. Задача Коши для уравнения колебаний в пространстве. Формула Кирхгофа. Метод спуска, Формула Пуассона. Физическая интерпретация решения. Принцип Гюйгенса.	№21. 2 часа. Метод интегральных преобразований Фурье. Уравнение колебаний в неограниченном пространстве. Вывод формулы Кирхгофа методом трехмерного интегрального преобразования Фурье.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.	Оп. Об, ДЗ, КР
		№22. 2 часа. Теория потенциала. Объемный потенциал. Поверхностные потенциалы простого и двойного слоя. Логарифмические потенциалы. Основные свойства. Понятие поверхности Ляпунова.	№ 22. 2 часа. Уравнение колебаний на полупрямой. Однородные граничные условия. Метод характеристик. Фазовая плоскость. Принцип продолжения.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Решение задач из задачников Б.М.Будака, А.А.Самарского, А.Н.Тихонова и А.Н.Боголюбова, В.В.Кравцова.	Оп. Об, ДЗ, КР