Программа дисциплины Линейная алгебра Лекторы

Рабочая программа дисциплины

1. Линейная алгебра

2. Лекторы

2.1. К.ф.-м.н., доцент Шишкин Александр Александрович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-10-33

2.2. К.ф.-м.н., доцент Овчинников Алексей Витальевич, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-38-09

2.3. К.ф.-м.н., доцент Бадьин Андрей Валентинович, кафедра математики физического факультета МГУ, e-mail: [email protected], телефон: +7(495) 939-38-09

3. Аннотация дисциплины

Курс "Линейная алгебра" является обязательным общефакультетским курсом и читается во втором семестре. Данный курс подготовлен в рамках Приоритетных направлений развития МГУ "Система подготовки и воспроизводства кадров нового поколения".
Общая трудоемкость курса — 108 часов. Курс включает 34 часа лекций, 17 часов семинарских занятий и требует 57 часов самостоятельной работы студентов.
В курсе рассматриваются следующие разделы линейной алгебры: теория линейных пространств и подпространств, тензорная алгебра, теория линейных операторов, теория билинейных и квадратичных форм, теория линейных евклидовых (псевдоевклидовых, унитарных) пространств, теория линейных операторов в евклидовых пространствах (включая спектральную теорию самосопряженных операторов), теория билинейных и квадратичных форм в евклидовых пространствах, теория кривых и поверхностей второго порядка в аффинных евклидовых пространствах, элементы теории групп. На примере теории линейных пространств курс знакомит студентов со стандартным алгебраическим языком и даёт общие навыки работы с алгебраическими системами. В курсе линейной алгебры студенты делают первый шаг на пути знакомства с языками теории относительности и квантовой механики.

4. Цели освоения дисциплины

Знакомство с основными понятиями общей алгебры. Изучение основных свойств линейных пространств, подпространств, отображений линейных пространств. Овладение методами решения прикладных задач матричной алгебры, овладение методами решения прикладных задач линейной алгебры, приобретение навыков решения указанных задач.

5. Задачи дисциплины

В результате освоения дисциплины обучающийся должен свободно владеть матричной, тензорной и векторной системами обозначений, знать свойства линейных пространств, подпространств, линейных операторов, билинейных и квадратичных форм, уметь решать прикладные задачи матричной алгебры, находить собственные значения и собственные векторы линейных операторов, приводить матрицы линейных операторов, билинейных и квадратичных форм к каноническому виду, уметь применять перечисленные знания, умения и навыки в других областях математики и в теоретической физике.

6. Компетенции

6.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины

ИК-3, ОНК-1, ПК-1

6.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины

ОНК-5, ОНК-6, ПК-2

7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

знать основные понятия и факты теории линейных пространств и подпространств, тензорной алгебры, теории линейных операторов, теории билинейных и квадратичных форм, теории линейных евклидовых (псевдоевклидовых, унитарных) пространств, теории линейных операторов в евклидовых пространствах, теории билинейных и квадратичных форм в евклидовых пространствах, теории кривых и поверхностей второго порядка, теории групп;

уметь решать прикладные задачи матричной алгебры, находить базис линейной оболочки векторов и её линейного дополнения, находить матрицу перехода от одного базиса к другому, находить собственные значения и собственные векторы линейных операторов, приводить матрицы линейных операторов, билинейных и квадратичных форм к каноническому виду различными методами, приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду;

владеть методами решения прикладных задач матричной алгебры, основными методами исследования линейных пространств, подпространств, линейных евклидовых пространств, линейных операторов, билинейных и квадратичных форм;

иметь опыт деятельности по решению задач, перечисленных выше.

8. Содержание и структура дисциплины

Вид работы	Семестр			Всего
	2
Общая трудоёмкость, акад. часов	108			108
Аудиторная работа:	51			51
Лекции, акад. часов	34			34
Семинары, акад. часов	17			17
Лабораторные работы, акад. часов	—			—
Самостоятельная работа, акад. часов	57			57
Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен)	зачёт, экзамен			зачёт, экзамен

N раздела	Наименование раздела	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий				Форма текущего контроля
		Аудиторная работа			Самостоятельная работа
		Лекции	Семинары	Лабораторные работы
1.	Теория линейных пространств и подпространств	Лекция №1 (2 часа). Подпространства линейных пространств. Сумма подпространств, линейная независимость подпространств, прямая сумма подпространств. Базис и размерность прямой суммы.	Семинар №1 (1 час). Нахождение координат вектора. Нахождение базиса линейной оболочки векторов и её линейного дополнения.		5 часов. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об
2.	Тензорная алгебра	Лекция №2 (2 часа). Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора. Определение тензора, линейные операции над тензорами.	Семинар №2 (1 час). Нахождение матрицы перехода от одного базиса к другому. Преобразование координат вектора.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об
		Лекция №3 (2 часа). Прямое произведение тензоров, свёртка тензора, перестановка индексов тензора (определения, простейшие свойства). Возможные обобщения.			4 часа. Работа с лекционным материалом.
3	Линейные операторы в линейных пространствах	Лекция №4 (2 часа). Линейный оператор, ядро и образ линейного оператора, линейные операции над линейными операторами. Размерность образа линейного оператора, первая теорема Фредгольма.	Семинар №3 (1 час). Нахождение матрицы линейного оператора. Нахождение ядра и образа линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об, Т
		Лекция №5 (2 часа). Матрица линейного оператора (определение, простейшие свойства). Преобразование матрицы линейного оператора.
		Лекция №6 (2 часа). Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные значения, собственные векторы, собственные подпространства линейного оператора.	Семинар №4 (2 часа). Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об
		Лекция №7 (2 часа). Характеристический полином линейного оператора. Геометрическая и алгебраическая кратность собственного значения линейного оператора. Теорема Гамильтона—Кэли.			4 часа. Работа с лекционным материалом.
		Лекция №8 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме.	Семинар №5 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об
		Лекция №9 (2 часа). Приведение матрицы линейного оператора к жордановой форме (продолжение).
4.	Билинейные и квадратичные формы	Лекция №10 (2 часа). Линейная форма, компоненты линейной формы и их преобразование. Билинейная форма, матрица билинейной формы, преобразование матрицы билинейной формы. Квадратичная форма, матрица квадратичной формы.	Семинар №6 (2 часа) Нахождение матрицы билинейной (квадратичной формы). Восстановление билинейной (квадратичной) формы по её матрице. Преобразование матрицы билинейной (квадратичной) формы. Исследование квадратичной формы на знакоопределённость. Приведение симметричной билинейной (квадратичной) формы к каноническому виду методом Лагранжа.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об, КР.
		Лекция №11 (2 часа). Метод Лагранжа, закон инерции, критерий Сильвестра.			4 часа. Работа с лекционным материалом.
5.	Линейные евклидовы (псевдоевклидовы, унитарные) пространства	Лекция №12 (2 часа). Скалярное произведение, неравенство Коши—Буняковского. Метрический тензор (ковариантный и контравариантный). Ортогональное дополнение к подпространству, ортогональная проекция вектора на подпространство, оператор ортогонального проектирования. Процесс ортогонализации Грама—Шмидта.	Семинар №6 (2 часа). Вычисление компонент ковариантного (контравариантного) метрического тензора. Применение процесса Грама—Шмидта. Построение ортогональных проекций.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, Оп, Об, Т
		Лекция №13 (2 часа). Линейное псевдоевклидово пространство. Псевдоортогональные базисы. Преобразования Лоренца.
6.	Теория линейных операторов в евклидовых пространствах	Лекция №14 (2 часа) Связь между векторами и линейными формами в евклидовом пространстве. Связь между операторами и билинейными формами в евклидовом пространстве. Сопряжённый оператор: определение, простейшие свойства, матрица сопряжённого оператора. Вторая теорема Фредгольма.	Семинар №7 (2 часа). Исследование оператора на самосопряжённость. Нахождение матрицы сопряжённого оператора. Диагонализация матрицы самосопряжённого оператора. Нахождение спектрального разложения самосопряжённого оператора.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.	ДЗ, КР, Оп, Об
		Лекция №15 (2 часа) Самосопряжённый оператор (определение, простейшие свойства). Свойства собственных значений и собственных векторов самосопряжённого оператора. Спектральная теорема.	Семинар №8 (2 часа). Нахождение ортонормированного базиса, в котором матрица симметричной билинейной формы имеет диагональный вид. Одновременная диагонализация матриц двух симметричных билинейных форм.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
7.	Кривые и поверхности второго порядка	Лекция №16 (2 часа). Определение кривой (поверхности) второго порядка. Упрощение уравнения кривой (поверхности) второго порядка. Ортогональные инварианты уравнения кривой (поверхности) второго порядка. Классификация кривых второго порядка.	Семинар №9 (2 часа). Приведение уравнения кривой (поверхности) второго порядка к каноническому виду. Исследование уравнения кривой второго порядка с помощью ортогональных инвариантов.		4 часа. Работа с лекционным материалом. Выполнение домашнего задания по теме семинарского занятия.
8.	Элементы теории групп	Лекция №17 (2 часа). Понятие группы. Основные примеры групп.			4 часа. Работа с лекционным материалом.

9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

1. Обязательная дисциплина.

2. Базовая часть, профессиональный блок, модуль «Математика».

3. Курс является составной частью модуля «Математика» и тесно связан с читаемым параллельно курсом «Математический анализ».

3.1. Дисциплины и практики, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины: «Аналитическая геометрия».

3.2. Дисциплины и практики, для которых освоение данной дисциплины (модуля) необходимо как предшествующее: «Дифференциальные уравнения», «Интегральные уравнения и вариационное исчисление», «Методы математической физики», «Теория вероятностей», «Теоретическая механика», «Электродинамика», «Квантовая теория» и другие дисциплины теоретической физики.

10. Образовательные технологии

Курс имеет электронные версии лекций и экзаменационных вопросов, доступные для студентов и размещённые на сайте кафедры математики физического факультета (http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6). В течение семестра дважды проводится компьютерное тестирование.

11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации

Текущая аттестация проводится дважды в месяц. Критерии формирования оценки — посещаемость занятий, активность студентов на семинарских занятиях, уровень подготовки к семинарским занятиям, выполнение домашних заданий.

Промежуточная аттестация проводится в середине и в конце семестра в форме контрольных работ с оценкой. Критерии формирования оценки — уровень знаний пройденного материала.

Примерные варианты контрольных работ:

Контрольная работа №1 (линейные пространства)

1. 
   Составить однородную систему линейных алгебраических уравнений (состоящую из минимального числа уравнений), для которой заданные столбцы образуют фундаментальную совокупность решений: , .
   
2. 
   Найти базис линейной оболочки заданных столбцов, разложить каждый заданный столбец по найденному базису: , , , , , .
   
3. 
   В трёхмерном линейном вещественном пространстве введены базисы , , ("старый") и , , ("новый"). Найти столбцы координат , элементов x, y, если заданы их столбцы координат , . Здесь: , , ; , .
   
4. 
   Найти матрицу линейного оператора, переводящего столбцы матрицы X в столбцы матрицы Y. Найти ядро и образ этого оператора. Здесь: , .
   
5. 
   Найти матрицу линейного оператора в "новом" базисе, если задана его матрица в "старом" базисе и задана матрица C перехода от "старого" базиса к "новому". Здесь: , .
   
6. 
   Линейный оператор A задан своей матрицей в некотором базисе. Найти собственные значения и собственные векторы оператора A. Здесь .
   
7. 
   Найти собственные значения и собственные векторы матрицы .
   
8. 
   Линейный оператор A задан своей матрицей в некотором базисе. Привести матрицу оператора A к диагональному виду. Здесь .
   
9. 
   Рассматривается трёхмерное линейное вещественное пространство. Задано выражение для квадратичной формы Q в некотором базисе: . Привести квадратичную форму Q к каноническому виду методом Лагранжа.
   

Контрольная работа №2 (линейные евклидовы пространства)

1. 
   В линейном унитарном пространстве столбцов высоты 3 со скалярным произведением заданы элементы , , . Проверить, что эти элементы образуют базис пространства и вычислить компоненты ковариантного метрического тензора в этом базисе. Здесь: , , .
   
2. 
   Применить процесс ортогонализации (без нормировки) к заданной системе столбцов: , , , . Скалярное произведение определено формулой .
   
3. 
   Построить ортонормированный базис линейного евклидова пространства многочленов степени не выше 2 на сегменте , применив процесс ортогонализации к системе многочленов 1, t, . Скалярное произведение определено формулой .
   
4. 
   В линейном евклидовом пространстве многочленов степени не выше 2 на сегменте со скалярным произведением задан линейный оператор A, действующий по правилу . Записать в простейшем базисе матрицу этого оператора и матрицу сопряжённого оператора. Здесь .
   
5. 
   В трёхмерном линейном евклидовом пространстве действует линейный оператор A, заданный своей матрицей в неортогональном базисе , , , векторы которого линейно выражены через векторы ортонормированного базиса , , . Доказать, что оператор A является самосопряжённым, найти его собственные значения и координаты его собственных векторов в базисе , , , показать, что собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Здесь: , , ; .
   
6. 
   Линейный самосопряжённый оператор A задан своей матрицей в некотором ортонормированном базисе. Построить ортонормированный базис из собственных векторов оператора A и записать матрицу оператора A в этом базисе. Здесь .
   
7. 
   Построить спектральное разложение линейного самосопряжённого оператора A, заданного своей матрицей в некотором ортонормированном базисе. Убедиться в том, что оператор A является неотрицательным и вычислить . Здесь .
   
8. 
   Квадратичные формы A, B заданы своими матрицами , в некотором базисе. Привести квадратичные формы A, B к каноническому виду одним линейным невырожденным преобразованием. Здесь: , .
   
9. 
   Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, найти координаты фокусов и уравнения директрис в исходной системе координат: .
   
10. 
    Используя теорию ортогональных инвариантов, исследовать зависимость типа кривой второго порядка от параметра p, входящего в её уравнение. Записать каноническое уравнение кривой: .
    

Итоговая аттестация — экзамен.

Экзамен по курсу "Линейная алгебра" состоит из 1-й части. Билет содержит два теоретических вопроса и две задачи. Для получения оценок "хорошо" и "отлично" нужно знать определения понятий, включённых в курс, уметь доказывать утверждения и теоремы, включённые в курс, уметь решать стандартные задачи.

Полный перечень вопросов и задач к экзамену доступен по адресу: http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6.

Образец экзаменационного билета

1. 
   Рассматривается линейное вещественное пространство L с базисом , , , . Задано выражение для квадратичной формы Q в базисе e: . Найти матрицу квадратичной формы Q в базисе e. Используя метод Лагранжа, привести квадратичную форму Q к каноническому виду: найти матрицу квадратичной формы Q в каноническом базисе ; найти матрицу перехода от базиса e к базису ; найти матрицу перехода от базиса к базису e.
   
2. 
   Рассматривается линейное евклидово пространство H с ортонормированным базисом . Пусть A — линейный оператор в пространстве H. Доказать равенство (здесь  — след оператора A).
   
3. 
   Определение ранга матрицы. Ранг матрицы как размерность линейной оболочки столбцов и строк. Теорема о том, что если определитель матрицы равен нулю, то столбцы матрицы линейно зависимы. Теорема об операциях, сохраняющих ранг матрицы. Теорема о достраивании базиса подпространства  до базиса подпространства  (здесь ).
   
4. 
   Линейный самосопряженный оператор (определение). Теорема о вещественности собственных значений самосопряжённого оператора. Теорема об ортогональности собственных векторов самосопряжённого оператора, соответствующих различным собственным значениям. Теорема о вещественности корней характеристического полинома (продолженного на ) самосопряжённого оператора. Теорема о существовании ортогонального базиса, состоящего из собственных векторов самосопряжённого оператора.
   

12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Основная литература

1. 
   Кадомцев С. Б., Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.
   
2. 
   Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
   
3. 
   Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
   

Дополнительная литература

1. 
   Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: МЦНМО, 2011.
   
2. 
   Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
   
3. 
   Ким Г. Д., Крицков Л. В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том II (2). М.: ЗЕРЦАЛО-М, 2003.
   

Интернет-ресурсы

1. 
   http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/6
   

13. Материально-техническое обеспечение

В соответствии с требованиями п. 5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки “Физика”.

Курс может быть прочитан в поточной аудитории при наличии: работающих электрических розеток, компьютера, проектора, экрана, учебной доски.