Учебный курс «Методы математической физики»

Учебный курс «Методы математической физики» является частью профессионального цикла подготовки бакалавра физики. Дисциплина изучается студентами третьего курса физического факультета. Программа курса подготовлена в соответствии с требованиями образовательного стандарта третьего поколения.

Цели курса – дать представление об основных понятиях и концепциях современной математической физики, научить студентов решать широкий класс математических задач теоретической физики, передать опыт эффективного применения математических методов в научной деятельности, сформировать общекультурные и профессиональные навыки физика-исследователя. Двухсеместровый курс «Методы математической физики» состоит из лекционных и практических занятий, сопровождаемых регулярной индивидуальной работой преподавателя со студентами в процессе сдачи семестровых домашних заданий и консультаций. В конце каждого семестра проводится экзамен.

Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единицы, 252 академических часа (из них 170 аудиторных). Программой дисциплины предусмотрены 68 часов лекционных и 102 часа практических занятий, а также 82 часа самостоятельной работы.

Авторы

докт. физ.-мат. наук, проф. Д. А. Шапиро,

докт. физ.-мат. наук, доц. Е. В. Подивилов

Программа учебного курса подготовлена в рамках реализации Программы развития НИУ-НГУ на 2009–2018 г. г.


 Новосибирский государственный

университет, 2010
Приложение № 2.
Примерная программа учебного курса (учебной дисциплины)
Программа курса «Методы математической физики» составлена в соответствии с требованиями к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированного специалиста бакалавра по профессиональному циклу дисциплин (Б.3) по направлению «011200 Физика», а также задачами, стоящими перед Новосибирским государственным университетом по реализации Программы развития НГУ.
Автор (авторы) Шапиро Давид Абрамович, д.ф.-м.н., профессор

Подивилов Евгений Вадимович, д.ф.-м.н., доцент
Факультет: физический

Кафедра: теоретической физики
1. Цели освоения дисциплины (курса)

Дисциплина (курс) «Методы математической физики» имеет своей целью обучение студентов-физиков основным математическим методам, применяемым в физике. В курсе излагается материал, знание которого необходимо как для теоретиков и вычислителей, так и для экспериментаторов. В процессе освоения дисциплины студенты знакомятся с методами решения уравнений в частных производных, решениями обыкновенных дифференциальных уравнений в виде специальных функций, применением теории неприводимых представлений групп.
2. Место дисциплины в структуре образовательной программы

Математические методы физики – необходимый элемент образования физика. В программу входят те темы, которые нужны студенту для изучения основных курсов теоретической физики – квантовой механики, статистической физики, физики сплошных сред. Основные разделы курса: уравнения в частных производных, специальные функции, асимптотические методы, применение теории представлений групп, функции Грина и составляют такой минимум. Курс рассчитан на два семестра, каждый завершается зачетом и экзаменом. Этот курс имеет практическую направленность, учит решать задачи и применять знания из изученных ранее разделов высшей математики.
Считается, что студенты третьего курса уже знакомы в достаточной степени с линейной алгеброй, математическим анализом, теорией функций комплексной переменной и обыкновенными дифференциальными уравнениями. Цель заключительного математического курса – научить решать простые математические задачи, возникающие в физике. Для этого надо свободно пользоваться высшей математикой из разных разделов. Поэтому семинарские занятия начинаются с повторения основных понятий из таких разделов. Далее следуют уравнения в частных производных. Среди уравнений в частных производных рассматриваются первую очередь задачи для уравнений Лапласа и Пуассона с разными граничными условиями, уравнения теплопроводности и волнового уравнения, важными в физике сплошных сред. Наряду с классическими линейными действительными уравнениями в частных производных студентов учат искать решения простейших нелинейных уравнений (Хопфа, Бюргерса, Кортевега – де Фриза) и комплексного уравнения Шредингера из квантовой механики. При разделении переменных в сферических и цилиндрических координатах естественно появляются сферические и цилиндрические функции. Для решения задач из разных разделов физики с аксиальной или сферической симметрией в курсе изучаются специальные функции, в основном, функции Бесселя и Лежандра. Студенты учатся пользоваться интегральными представлениями специальных функций и получать простые формулы для их асимптотик методами стационарной фазы и перевала. Изучается также метод усреднения, позволяющий решить важную задачу аналитической механики – проследить эволюцию слабо нелинейного классического осциллятора на больших временах. Для лучшего усвоения квантовой физики в программе предусмотрено решение задач по применению теории представлений групп. К таким задачам относятся расчет кратности вырождения молекулярных колебаний, количества независимых компонент симметричных и антисимметричных инвариантных тензоров разных рангов, снятие вырождения квантовых уровней энергии при понижении симметрии системы, а также рассматриваются правила отбора в молекулах средней и высокой симметрии. Для решения задач электростатики студентов знакомят с методом функций Грина, в частности, с потенциалами объемного заряда, простого и двойного слоя, с запаздывающей функцией Грина классической электродинамики, для квантовой механики - с функциями Грина уравнений Шредингера.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Методы математической физики».

• 
  общекультурные компетенции: ОК-1, ОК-5, ОК-17, ОК-18, ОК-20, ОК-21;
  
• 
  профессиональные компетенции: ПК-1 –ПК-4 , ПК-5, ПК-10.
  

В результате освоения дисциплины студент должен:

• 
  знать физический смысл характеристик, типичные постановки задач для эллиптического, параболического и гиперболического типов уравнений второго порядка (задач Коши, Дирихле и Неймана), свойства функций Бесселя и Лежандра, основные свойства асимптотических разложений, основные определения теории представлений групп.
  
• 
  уметь решать простейшие линейные и квазилинейные уравнения, искать автомодельные подстановки, пользоваться формулами Родрига и интегральными представлениями специальных функций, оценивать асимптотику интегралов методами, разлагать представление группы в прямую сумму неприводимых, рассчитывать кратности вырождения молекулярных колебаний, строить функцию Грина оператора Штурма – Лиувилля, задач Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона, задачи Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности.
  
• 
  владеть методами характеристик, автомодельных подстановок, разделения переменных и Фурье, стационарной фазы и перевала, усреднения, функций Грина, симметрии.
  

4. Структура и содержание дисциплины курс «Методы математической физики»

Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц, 252 часа.

№ п/п	Раздел Дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)			Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
1	Метод характеристик	5	1-4	8 часов лекций	12 часов семинаров	самостоятельной работы (в т.ч. сдача семестровых домашних заданий), 12 часов
2	Уравнения второго порядка	5	5-8	8 часов лекций	12 часов семинаров	10 часов	Контрольная работа или коллоквиум
3	Специальные функции	5	9-12	8 часов лекций	12 часов семинаров	10 часов
4	Асимптотические методы	5	13-18	12 часов лекций	18 часов семинаров.	10 часов	Экзамен
5	Группы и представления	6	1-5	10 часов лекций	15 часов семинаров	10 часов
6	Группа вращений	6	6-9	8 часов лекций	12 часов семинаров	10 часов	Контрольная работа или коллоквиум
7	Тензоры	6	10-11	4 часа лекций	6 часа семинаров	10 часов
8	Метод функций Грина	6	12-16	10 часов лекций	15 часов семинаров	10 часов	Экзамен
Итого				68 часов	102 часа	82 часа

Программа лекций (5-й семестр)
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

1. 
   Метод характеристик для линейных и квазилинейных уравнений с частными производными. Задача Коши. Образование разрывов.
   
2. 
   Понятие характеристик для систем линейных и квазилинейных уравнений с двумя переменными.
   
3. 
   Классификация по типам: гиперболические, эллиптические, параболические системы.
   
4. 
   Приведение гиперболической системы к каноническому виду. Инварианты Римана, простая волна Римана.
   
5. 
   Метод годографа для уравнений газовой динамики. Точные решения для политропного газа.
   

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1. 
   Волновое уравнение. Вывод из уравнений Максвелла и газодинамики. Решение одномерного волнового уравнения, формула Даламбера.
   
2. 
   Приведение гиперболического, эллиптического и параболического уравнения с двумя переменными к каноническому виду.
   
3. 
   Приведение многомерных уравнений к каноническому виду. Характеристики гиперболического уравнения и их физический смысл.
   
4. 
   Понятие автомодельности. Автомодельные подстановки для уравнений теплопроводности.
   
5. 
   Разделение переменных. Метод Фурье.