Развитие понятия о числе

ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ И ПРАКТИЧЕСКИХ
ЗАДАНИЙ

ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО
СПЕЦИАЛЬНОСТИ 060501 СЕСТРИНСКОЕ ДЕЛО

ДИСЦИПЛИНА «МАТЕМАТИКА»


АЛГЕБРА

ТЕМА: Развитие понятия о числе:
1. Целые и рациональные числа.

2.Действительные числа. Приближенные вычисления.

3. Действия над приближенными значениями чисел.
ТЕМА: Тригонометрические функции:
1.Определение тригонометрических функций любого аргумента. Знаки тригонометрических функций по четвертям.

2. Функция , ее свойства и график.

4. Функция , ее свойства и график.

5.Функция , ее свойства и график.

6.Функция , ее свойства и график.

7.Периодические функции. Периодичность тригонометрических функций.

8.Основные тригонометрические тождества.

9.Решение уравнения

10. Решение уравнения

11. Решение уравнений ,

12.Частные случаи решения уравнений ( =1, = -1, =0).

13.Четные и нечетные функции. Свойства их графиков.

14.Формулы приведения.

ТЕМА: Показательная и логарифмическая функции:
1.Корень n-ой степени и его свойства.


2.Степень с рациональным показателем. Свойства степени.

3.Определение функции. Область определения и множество значений функции. Указать область определения и множество значений показательной функции.

4.Определение возрастающей и убывающей функции, максимум и минимум функции. Указать характер функции .

5.Показательная функция, ее свойства и график.

6.Определение логарифма и его свойства.

7.Логарифмическая функция , ее свойства и график.
ТЕМА: Начала математического анализа:

1.Определение производной функции. Правила вычисления производных.

2.Механический и геометрический смысл производной.

3.Признаки возрастания и убывания функции.

4.Критические точки функции, максимумы и минимумы функции.

5.Определение первообразной функции, основное свойство первообразной.

6.Криволинейная трапеция, ее площадь. Формула Ньютона - Лейбница.

ТЕМА: Комбинаторика, статистика, теория вероятностей:
1.Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

2.Понятие вероятности события. Сложение и умножение вероятностей.

3. Представление статистических данных ( таблицы, диаграммы, графики).

4.Центральные тенденции ( мода, медиана, среднее значение).

5.Понятие генеральной совокупности и выборки( дисперия, среднее квадратичное отклонение).
ГЕОМЕТРИЯ
ТЕМА: Координаты и векторы:
1.Понятие вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов.

2.Умножение вектора на число. Основные свойства умножения вектора на число.

3.Компланарные векторы. Доказать признак компланарности трех векторов.

4.Компланарные векторы. Доказать теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

5. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Правила действия над векторами с заданными координатами.

6. Простейшие задачи в координатах: координаты середины отрезка.

7. Простейшие задачи в координатах: вычисление длины вектора по его координатам.

8. Простейшие задачи в координатах: расстояние между двумя точками.

9. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
ТЕМА: Прямые и плоскости в пространстве:
1.Основные понятия стереометрии, аксиомы, следствия аксиом.

2.Взаимное расположение прямой и плоскости. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

3. Определение перпендикулярных прямых. Доказать признак перпендикулярности прямых.

4. Определение прямой , перпендикулярной к плоскости. Признак перпендикулярности. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

5.Взаимное расположение двух плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей.

6.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Доказать свойство параллельных прямых , перпендикулярных одной и той же плоскости .

7. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Доказать свойство прямых , перпендикулярных одной и той же плоскости.

8.Определение перпендикулярности двух плоскостей. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

9.Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Показать угол между боковым ребром и плоскостью основания в правильной четырехугольной пирамиде.

10.Теорема о трех перпендикулярах.

11.Двугранный угол и его измерение.
ТЕМА: Многогранники и тела вращения:
1.Призма, ее элементы. Виды призм.

2.Определение параллелепипеда, его виды и свойства.

3.Прямоугольный параллелепипед. Свойство диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

4.Пирамида, ее элементы, виды пирамид.

5.Конус, его виды, элементы и сечения.

6.Цилиндр, его виды, элементы и сечения.

7. Шар и сфера. Сечения сферы и шара.
ТЕМА: Площади поверхностей тел:
1.Площадь поверхности прямой призмы.

2.Площадь поверхности правильной пирамиды.

3.Площадь поверхности цилиндра.

4.Площадь поверхности конуса.

5.Площадь сферы.
ТЕМА: Объемы тел:
1.Объем призмы.

2.Объем пирамиды.

3. Объем цилиндра.

4.Объем конуса.

5. Объем шара.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:
ТЕМА: Развитие понятия о числе:
№1.Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь:

1. 
   0,(6); 2) -0,(8); 3) 1,(55) ; 4) -3,(27); 5) 0,1(2);
   

6) -2,3(82) 7) 0,(248); 8) 1,10(209); 9) 0,108(32).
ТЕМА: Тригонометрические функции:
№1. Решите уравнение: а) ; б) ;

№2. Решите уравнение: а) ; б) ;

№3. Упростите выражения: а) ;

б) .

№4. Упростите выражения: а) ;

б) .

№5.Вычислить sinα, если <α<

сosα , если ; 0<α<
№6. Постройте график функции y = 1 - cos x.
а) найдите область определения и область значений этой функции;

б) найдите все значения х, при которых у=0.
№7. Постройте график функции у = - cos x.
а) найдите область определения и область значений этой функции;

б) найдите все значения х, при которых у=0.

№8. Докажите тождества: а) ;
б) ;
в)
г)

№9.Найти область определения функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

№10. Решите уравнения:

а) 2 sin x = ; б) cos ( x+)= -1; в) 2 sin ² x – 3 sin x -2=0.

№11. а) Выразите в градусной мере величины углов и .

б) Дано: cos=, 0<<. Найдите sin, ctg, tg.

№12. а) Выразите в градусной мере величины углов и .

б) Дано: sin=-, <<. Найдите cos, tg, ctg.
№13. . Вычислите cos (), если sin

№14. Вычислите sin 2, если:

а) sin б) cos


№15. Выяснить, является ли данная функция четной или нечетной:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж).
№16. Найти наименьший положительный период функции:

а) ; б) ; в) .
ТЕМА: Показательная и логарифмическая функции:
№1. Решите уравнение: а) ; б) .

№2. Решите уравнение: а) ; б) .

№3.Решите неравенства: а) <; б) .

№4.Решите уравнение: а) ; б) .

№5. Решите уравнение: а) ; б) .

№6. Решите уравнение: а) ; б)

№7. Решите уравнение: а) ; б)

№8. Решите уравнение: а) ; б) ;

в); г) ;

№9. Решите уравнение: а) ; б) ;

в) ; г)

№10. Решите уравнение: а) ; б)

№10. Найдите область определения функции: а) ;

б) .

№11. Решите неравенства: а) ; б) .

в)

№12.Вычислите: а) ; б) ; в) .

№13. Вычислите: а) ; б) ; в) .

№14. Вычислите: а) ; б) .

№15. Вычислите: а) ; б) (.

№16. Дана функция у = 0,4+1.

а) Постройте график этой функции.

б) Опишите свойства этой функции.
№17. Дана функция y = log

а) Постройте график этой функции.

б) Опишите свойства этой функции.
№18. Дана функция: у= log

а) Постройте график этой функции.

б) Опишите свойства этой функции.
№19. Дана функция у =

а) Постройте график этой функции.

б) Опишите свойства этой функции.
№20. Решите уравнение:

а) 5

б) log(x
№21. Решите неравенство:

а) log

б) lg(x-1)

в) 3
№22. Вычислите логарифмы:

а); б) ; в) ; г)

№23. Вычислите логарифмы:

а) ; б); в) ; г).

№24. Вычислите:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

ТЕМА: Начала математического анализа:
№1.Вычислите производную функции и найдите ее значение :

а) б) .

№2. Вычислите интегралы: а) б) .

№3. Вычислите производную функции и решите уравнения , если:

а) ; б)

№4. Вычислите производные функций:

а) б)

№5. Исследовать функцию на возрастание и убывание:

а) б)

№6. Найти максимум и минимум функции: а) ; б)

№7. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) f(x) = 3x²-2,

б) f(x)= 4cos 2x,

в) f(x)= -2sin2x +3x.
№8. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) f(x)=2sinx +3cosx,

б) f(x)=+x²,

в) f(x)=(2x-1)²+x.
№9. Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку М:

f(x)=1-4х, М( -1;9).
№10. Найдите для функции f первообразную, график которой проходит через точку М:

f(x)=2х-2, М( 2;1).
№11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=2х², у=2х.
№12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=-х²+2, у=-х.
№13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

у=х²+1, у=1, х=1.
№14. Найдите промежутки возрастания и убывании функции:
а) ; б)

№15. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
а) ; б)
№16. Найдите точки экстремума функции; укажите точки:

а) ; б)
№16. Найдите точки экстремума функции; укажите точки:

а) ; б)

№17.Исследовать функцию и построить график :

а) ; б) ;

в) ; г)
№18.Вычислите производные функций:

а) ; б); в) ;

г) ; д) ; е)

№19. Вычислите интегралы:

а); б) ; в) ; г) .


ТЕМА: Комбинаторика, статистика, теория вероятностей:
№1.Найти значение выражения:

а); б); в) ; г) ; е)
№2. Сколько различных слов можно составить, переставляя местами буквы в слове: а) гипотенуза; б) треугольник.
№3. Вычислить:

; ; .
№4. Вычислить:

; ; .

№5.Сколько существует способов для обозначения с помощью букв А, В, С,Д, Е, F.
№6. Решите относительно m уравнение:

а) ; б) ; в) .
№7. Из корзины, в которой находятся 4 белых и 7 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар окажется черным.
№8. Определить вероятность появления «герба» при бросании монеты.
№9.В корзине 20 шаров: 5 синих, 4 красных, остальные черные. Выбирают наудачу один шар. Определить, с какой вероятностью он будет цветным.
№10. Случайная величина Х задана законом распределения:

1	4	6
0,1	0,6	0,3

№11. Случайная величина Х задана законом распределения:

1	5	8
0,1	0,2	0,7

Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.
№12. В таблице записаны результаты 20 взвешиваний ( с точностью до 1 г ) одной и той же стальной отливки:

99	97	101	100	99	102	100	102	98	101
100	98	100	98	101	97	101	100	100	99

Составьте таблицы распределения по частотам (М) и относительным частотам( W ) , а так же постойте полигон частот значений случайной величины Х – результат определения массы стальной отливки.
№13. Найти размах, моду, медиану и среднее выборки значений случайной величины Х , распределение которых по частотам M задано таблицей:
1)

X	-1	0	1	3	5	6
M	2	3	4	1	1	1

2)

X	-2	-1	0	2	3	4
M	1	2	4	4	1	1

ТЕМА: Координаты и векторы:
№1. Даны векторы , , . Найдите координаты вектора .

№2.Найдите значения m и n, при которых вектора и коллинеарны, если , .
№3. Вершины имеют координаты A (-2;0;1) , B ( -1;2;3), C ( 8;-4;9). Найдите координаты вектора , если BM –медиана .
№4. Даны векторы и , причем , , ˚. Найти:

1) ; 2) значение m, при котором векторы и перпендикулярны.
№5. Найдите угол между прямыми AB и CD, если A(3,-1,3), B(3,-2,2), C(2,2,3) и D(1,2,2).

№6. Даны векторы и (для № 1-5).

1. 
   Найти .
   
2. 
   Найти .
   
3. 
   Найти .
   
4. 
   Найти .
   
5. 
   Найти координаты векторов , , .
   

№7. Даны точки A(-2,1,2), B(-6,3,-2), C(0,0,-5). Точка С- равноудалена от точек А и B . Найдите площадь .
№8.- параллелепипед. Найдите .
№9.- параллелепипед. Найдите .
№10.Даны точки А ( -1; 2;1), В ( 3; 0;1) , С ( 2;-1;0) , и Д ( 2;1;2). Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и СД.


ТЕМА: Прямые и плоскости в пространстве:
№1.Из точки пространства проведен к плоскости перпендикуляр, равный 6 см и наклонная, длиной 9 см. Найдите: а) длину проекции наклонной на плоскость; б) угол наклона данной наклонной к плоскости.
№2. Дан треугольник АВС, точка Д не лежит в плоскости треугольника. Точки А, В, С середины отрезков АД, ВД,СД соответственно. Доказать, что плоскости АВС и АВС параллельны.
№3. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 12 и 24 см, проекции которых относятся как 1:7. Найдите расстояние от точки до плоскости.
№4. Точка К не лежит в плоскости прямоугольника АВСД. Отрезок ОК перпендикулярен плоскости прямоугольника и равен 12см. Найдите расстояние от точки К до вершины прямоугольника В, если стороны прямоугольника равны 6 и 8 см.
№5. Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает сторону АВ в точке А, а сторону ВС- в точке С. Найдите АС, если АС=12см, ВА: ВА = 1:3.
№6. Дан квадрат АВСД сторона которого равна 3см. Из точки М проведена прямая МВ перпендикулярно к плоскости квадрата, отрезок МВ равен 4см. Вычислите площадь треугольника МСД.
№7. Точка К, удаленная от плоскости треугольника АВС на 4см, находится на равном расстоянии от его вершин. Стороны треугольника равны 12см. Вычислите: а) длину проекции отрезка КВ на плоскость треугольника;

б) расстояние от точки К до вершин треугольника.
№8.Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости. Докажите , что прямые АВ и СД не пересекаются.
№9. Докажите , что через прямую можно провести две различные плоскости.
№10.Прямые a и b пересекаются. Докажите , что все прямые , параллельные прямой b и пересекающие прямую a , лежат в одной плоскости.

ТЕМА: Многогранники и тела вращения:
№1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12и 5см. Диагональ наклонена к плоскости основания под углом 45°. Найти длину бокового ребра.
№2. Площадь сечения шара плоскостью равна 81π см. Радиус шара равен 15см. Вычислите расстояние от центра шара до плоскости сечения.
№3. В прямой треугольной призме в основании лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 10см и катетом 8см. Площадь наименьшей боковой грани равна 120см. Найдите боковые ребра.
№4. В шаре на расстоянии 5см от центра проведено сечение, радиус которого равен 12см. Найти радиус шара.
№5. Осевое сечение конуса – прямоугольный равнобедренный треугольник, катет которого равен 16см. Вычислите длину высоты конуса и площадь его сечения.
№6. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину дуги окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12см .
№7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 м, а площадь основания 5 м . Найдите высоту цилиндра.
№8. Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм, а площадь основания равна 8 дм.
№9. Напишите уравнение сферы с центром А, проходящей через точку М, если

А( -2; 2; 0), М ( 5; 0; -1 ).
№10. Радиусы оснований усеченного конуса равны 5 см и 11 см , а образующая равна 10 см. Найдите высоту усеченного конуса и площадь осевого сечения.
ТЕМА: Площади поверхностей тел:
№1. В конусе образующая равна 15 см, а высота конуса 9 см. Найдите площадь основания.
№2. В прямом параллелепипеде стороны основания 6 и 8 м, образуют угол 30°, боковое ребро равно 5м. Найти полную поверхность параллелепипеда.
№3. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь полной поверхности призмы.
№4. Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

№5. Радиусы оснований усеченного конуса 8м и 5м, высота 4м. Найти площадь боковой поверхности и объем.
№6. Высота конуса 15м, объем 320Пм³. Определите полную поверхность конуса.
№7. Радиусы оснований усеченного конуса 6см и 11см, высота 12см. Найти площадь боковой поверхности.
№8. Сечением цилиндра является квадрат. Объем цилиндра 128П дм³. Найти площадь полной поверхности.
№9. Диаметр основания цилиндра равен 1 м, а высот цилиндра равна длине окружности основания. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
№10.Площадь сферы равна 324 см. Найдите радиус сферы.


ТЕМА: Объемы тел:
№1. Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 4 дм, а высота равнадм; показать угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
№2. Вычислить объем пирамиды, если в основании ее лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, а высота пирамиды равна 16 см.
№3. Найти объем прямого параллелепипеда, основанием которого является ромб с диагоналями 12 см и 16 см, а высота параллелепипеда равна 16 см.
№4. Вычислить: а) объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 4 см, 3 см, 5 см.

б) диагональ этого параллелепипеда.
№5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12см. она наклонена к плоскости основания под углом 60°. Вычислите объем цилиндра.
№6. Длина окружности сечения шара плоскостью равна 8π см. радиус шара, проведенный в точку окружности, наклонен к плоскости сечения под углом 45°. Вычислите объем шара.
№7. Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 9м и 12м, все боковые ребра равны 12,5м. Найдите объем пирамиды.
№8. Длины сторон основания прямого параллелепипеда равны 10 и 5 см, а величина угла между ними равна 45º. Найдите объем параллелепипеда, если длина меньшей его диагонали равна 10см.
№9. Полная поверхность цилиндра 80П м², площадь его основания 25П м². Определить объем цилиндра.
№10. Длина окружности сечения шара плоскостью равна 8π см. радиус шара, проведенный в точку окружности, наклонен к плоскости сечения под углом 45°. Вычислите объем шара.