Решение. Данное уравнение является уравнением, приводящееся к однородному. Разделим уравнение на

Контрольные по математике. Решение задач по математике для студентов.

Вариант №8

№1

_{Решение.}

_{Данное уравнение является уравнением, приводящееся к однородному.}Разделим уравнение на

Решаем его с помощью подстановки

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

_{Интегрируем обе части последнего равенства}

Так как

, то получаем общий интеграл данного дифференциального уравнения.

_Ответ:

№2

Решение.

Разделим на

Разделим на

Данное уравнение является однородным уравнением. Решаем его с помощью подстановки

. Находим:

Подставляем в уравнение.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные

Так как

_,то получаем общий интеграл данного дифф. уравнения.

Ответ:

№3

Решение.

_{Данное уравнение является уравнением с разделяющими переменными.}

Постараемся преобразовать уравнение так, чтобы в левой его части было выражение, содержащее только переменную y, а в правой неизвестную функцию x.

Разделим на

Ответ:

№4

Решение.

Данное уравнение является линейным.

Сделаем подстановку

, где

- неизвестные функции от х. Тогда

. Подставляя выражения

в данное уравнение, получаем:

Подберем функцию

так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф. уравнение

. Итак,

Ввиду свободы выбора функции

, можно принять с=0. Отсюда

Подставляя найденную функцию

в уравнение (*), получаем:

Возвращаясь к переменной

, получаем решение

Ответ:

№5

Решение.

_{Данное уравнение является уравнением Бернулли}

Сделаем подстановку

, где

- неизвестные функции от х. Тогда

. Подставляя выражения

в данное уравнение, получаем:

Подберем функцию

так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф. уравнение

. Итак,

Ввиду свободы выбора функции

, можно принять с=1. Отсюда

Подставляя найденную функцию

в уравнение (*), получаем:

Возвращаясь к переменной

, получаем решение

Ответ:

№6

Решение.

_{Данное уравнение является уравнением, допускающим понижение порядка.}

_{Полагаем , получим}

_{. Подставим данные выражения в исходное уравнение}

Данное уравнение является линейным.

Сделаем подстановку

, где

- неизвестные функции от х. Тогда

. Подставляя выражения

в данное уравнение, получаем:

Подберем функцию

так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим диф. уравнение

. Итак,

Ввиду свободы выбора функции

, можно принять с=0. Отсюда

Подставляя найденную функцию

в уравнение (*), получаем:

Возвращаясь к переменной

, получаем решение

_{Та как , то}

Ответ:

№7

Решение.

_{Это неполное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно аргумента}_x_._{Положим , тогда}

_{. Подставим данные выражения в исходное уравнение}

_{Заменяя вспомогательную переменную}_р_через

_{, получим уравнение}

Ответ:

№8

Решение.

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

. Решаем его:

Тогда общее решение исходного уравнения есть

.

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения. В данном случае частное решение ищем в виде

Найдем производные данной функции

Подставим данные выражения в исходное уравнение, получаем

Следовательно, частное решение имеет вид

Общее решение имеет вид

Ответ:

№ 9

Решение.

Решим данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка методом Лагранжа.

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения