Решение. Для определения доходности облигаций к погашению воспользуемся формулой простых процентов

Решение задач по финансовой математике.

адача 1.1

Инвестор приобрел ГКО сроком обращения 6 месяцев на 120-й день периода обращения по цене 92%. Определить доходность облигации к погашению.

Решение.

Для определения доходности облигаций к погашению воспользуемся формулой простых процентов.

100 = Р_b∙(1 + R_b∙n_b/365).

= 92% - цена покупки облигаций инвестором-покупателем на вторичном рынке;

- количество дней, оставшихся до погашения облигаций, купленных на вторичном рынке; n_b = N – n_a = 182 – 120 = 62 дня.

Тогда доходность операции для покупателя определяется по формуле:

,

R_b = ((100 – 92)/92)∙(365/62) = 0,512.

Доходность облигации к погашению составляет 51,2% годовых.


Задача 1.10

Облигация федерального займа с постоянным купонным доходом была приобретена юридическим лицом за 67 дней до своего погашения по цене 101% (с учетом накопленного купонного дохода). Длительность последнего купонного периода составляет 94 дня. Раз­мер купона 17% годовых. Определите сумму налогов, которую запла­тит инвестор (юридическое лицо) при погашении.

Решение.

Определим цену облигации к моменту погашения по формуле простых процентов:

Р_К = N∙(1 + t∙R/365),

Где t – длительность купона, R – размер купона, N – номинальная цена облигации.

Тогда процентный доход составит:

NPV = P_K – N = N∙ t∙R/365 = 100∙94∙0,17/365 = 4,378

Налог на процентный доход составит:

NPV∙q = 4,378∙q₁, где q₁ – ставка купонного налога.

Определим прибыль юридического лица:

D = P_K – P_b = 104 – 101 = 3,

Где P_b – цена покупки облигации.

Тогда величина налога на прибыль:

D∙q₂ = 3∙q₂, где q₂ – величина налога на прибыль.


Задача 2.6

Инвестор приобрел опцион на продажу с ценой исполне­ния 25 руб. Премия составила 3 руб. На момент исполнения опцио­на курс акции составил 27 руб. Определите, прибыль или убыток получил инвестор.

Решение.

Так как инвестор приобрел опцион пут, а к моменту исполнения рыночная цена акции повысилась S = 27 > K = 25, то никто не будет покупать право на продажу акции по цене ниже рыночной. Значит, инвестор останется в убытке и его убыток равен величине премии, за которую он приобрел опцион на продажу, т. е. 3 руб.
Задача 2.11

Инвестор реализует опционную стратегию стрэдл на акции компании «А» с ценой исполнения 80 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 12 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двой­ного опциона составила:

а) 100 руб.;

Решение.

Так как рыночная цена акции повысилась, то эффективным будет опцион колл, доход по которому составит S – K = 100 – 80 = 20 рублей. С учетом премии, уплаченной продавцу, прибыль инвестора составит 20 – 12 = 8 рублей.

Следовательно, инвестор окажется в прибыли, величина которого составляет 8 рублей.


3. 1 Задача на расчет справедливой цены опционы

а) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-колл и фьючерса, а затем найти цену опциона-пут

вариант	1
N	2
r	0,1
d	-0,2
S	100
K	100
u	0,25

Решение.

Расчет стоимости опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.

Опцион-колл.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

.

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если , то

,

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, N – число периодов, = (0,1 – (-0,2))/(0,2 – (-0,2)) = 0,75

Определи k₀.

K=0: 100∙(1+0,2)⁰∙(1 – 0,2)² = 64 < K

k=1: 100∙(1+0,2)¹∙(1 – 0,2)¹ = 96 < K

k=2: 100∙(1+0,2)²∙(1 – 0,2)⁰ = 144 > K

Следовательно, k₀ = 2.

= (1/(1 + 0,1)²)∙0,75²∙((1+0,2)²∙100 – 100) = 20, 45 руб.

Опцион-пут.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

.

Рассматривая то же значение , что и для случая опциона-колл, получим

=

= (1/(1 + 0,1)²)∙(0,25²∙(100 – (1-0,2)²∙100 ) + 2∙0,75∙0,25∙(100 – (1+0,2)∙(1 – 0,2)∙100)) = 3,099

Фьючерсные и форвардные контракты.

В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

.

Но



С другой стороны . Поэтому



Поэтому имеем

= 100 – 100/(1+0,1)² = 17,35 руб.

Проверка F₀(S) = C₀(S) – Р₀(S) = 20,45 – 30,1 = 17,35 руб.

Задача 1.2

ГКО сроком обращения 92 дня приобретена инвестором на 26-й день периода обращения с дисконтом 23% и продана на 68-й день по цене 91%. Определить доходность операции инвестора.

Решение.

и - соответственно цена первоначальной покупки (bid price) и цена продажи (ask price) облигаций инвестором-продавцом на вторичном рынке;

= 68 – 26 = 42 - количество дней, в течение которых продавец владеет ими с момента покупки;

= 100 – 23 = 77% - цена покупки облигаций инвестором-покупателем на вторичном рынке;

Тогда доходность операции для инвестора определяется по формуле:

= ((91 – 77)/77)∙(365/ 42) = 1,58 или 158% годовых.


Задача 1.11
Облигация федерального займа с переменным купоном была приобретена юридическим лицом по цене 103% (с учетом накопленного купонного дохода) от номинала. Срок последнего купонного периода составляет 94 дня. Купонная ставка — 24% годовых. Налог на процентный доход при погашении составил 7 руб. Рассчитайте, какой будет налог на прибыль.

Решение.

Определим цену облигации к моменту погашения по формуле простых процентов:

Р_К = N∙(1 + t∙R/365),

Где t – длительность купона, R – размер купона, N – номинальная цена облигации.

Тогда процентный доход составит:

NPV = P_K – N = N∙ t∙R/365 = 100∙94∙0,24/365 = 6,18

Тогда ставка налога на процентный доход составит:

q = 7/(6,18 +3) = 0,76 рублей с 1% процента купонного дохода.

Предположим, что ставка налога на прибыль такая же как и налога на купонный доход, тогда величина налога на прибыль:

NPV∙q = 6,18∙0,76 = 4,7 руб.


Задача 2.7

Надписатель продал опцион на продажу акции с ценой испол­нения 70 руб. Полученная им премия составила 10 руб. К моменту ис­полнения опциона курс акции на рынке — 55 руб. Определите, при­быль или убыток получил надписатель опциона.

Решение.

Так как надписатель продал опцион пут, а к моменту исполнения рыночная цена акции понизилась S = 55 < K = 70, следовательно, продавец обязан купить у покупателя акции по цене 70 рублей. Тогда убыток продавца с учетом рыночной цены акции составит 70 – 55 – 10 = 5 рублей.

Задача 2.11

Инвестор реализует опционную стратегию стрэдл на акции компании «А» с ценой исполнения 80 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 12 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двой­ного опциона составила:

б) 60 руб.;

Решение.

Так как рыночная цена акции понизилась, то эффективным будет опцион пут, доход по которому составит K – S = 80 – 60 = 20 рублей. С учетом премии, уплаченной продавцу, прибыль инвестора составит 20 – 12 = 8 рублей.

Следовательно, инвестор окажется в прибыле, величина которого составляет 8 рублей.

3. 2 Задача на расчет справедливой цены опционы

а) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-колл и фьючерса, а затем найти цену опциона-пут

вариант	2
N	2
r	0,1
d	-0,2
S	100
K	100
u	0,3

Решение.

Расчет стоимости опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.

Опцион-колл.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

.

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если , то

,

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, N – число периодов, = (0,1 – (-0,2))/(0,3 – (-0,2)) = 0,6

Определи k₀.

K=0: 100∙(1+0,3)⁰∙(1 – 0,2)² = 64 < K

k=1: 100∙(1+0,3)¹∙(1 – 0,2)¹ = 104 > K

k=2: 100∙(1+0,3)²∙(1 – 0,2)⁰ = 169 > K

Следовательно, k₀ = 2.

= (1/(1 + 0,1)²)∙(0,75²∙(2∙0,6∙0,4((1+0,3)¹∙(1 – 0,2)¹∙100 – 100)) + 0,6²∙(100∙(1+0,3)²∙(1 – 0,2)⁰ – 100)) = 22,12 руб.

Опцион-пут.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

.

Рассматривая то же значение , что и для случая опциона-колл, получим

=

= (1/(1 + 0,1)²)∙(0,4²∙(100 – (1-0,2)²∙100)) = 4,77 руб.

Фьючерсные и форвардные контракты.

В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

.

Но



С другой стороны . Поэтому



Поэтому имеем

= 100 – 100/(1+0,1)² = 17,35 руб.

Проверка F₀(S) = C₀(S) – Р₀(S) = 22,12 – 4,77 = 17,35 руб.
Задача 1.5.

ГКО со сроком обращения один год продается на аукционе по цепе 72%. По какой цене необходимо приобрести на аукционе ГКО со сроком обращения 3 месяца с тем, чтобы обе облигации имели бы оди­наковую годовую доходность? Расчет доходности вести по формуле сложного процента.

Решение.

Определим доходность ГКО со сроком обращения 1 год:

R₁ = 100 – P₁ = 100 – 72 = 28%,

Здесь Р₁ – цена покупки ГКО со сроком обращения 1 год.

Определим цену покупки ГКО со сроком обращения 3 месяца, воспользовавшись формулой сложных процентов:

(1 + (1 – Р₂))⁴ = 1 + R₁→P₂ = -(1+R₁)^1/4 + 2

P₂ = 2 – (1 + 0,28)^1/4 = 0,936

Следовательно, цена ГКО со сроком погашения 3 месяца должна составлять 93,6%.

Задача 1.14.

Облигация федерального займа с переменным купоном была приобретена юридическим лицом за 77 дней до своего погашения по цене 103% (с учетом накопленного купонного дохода) от номинала. Доходность облигации к погашению в этот момент составляла 36% годовых. Определите размер последнего купона по облигации (в годовых про­центах), если длительность последнего купонного периода составляет 94 дня. Налогообложение не учитывать.

Решение.

Определим цену облигации в момент погашения:

P₀^’ = 100 + 36∙(77/365) = 107,6%

С учетом цены покупки получим:

P₀ = 107,6 + 3 = 110,6 %.

Определим доходность последнего купона в годовых процентах:

R₀ = (110,6 – 100)∙(365/94) = 41,2 %.

Задача 2.10.
Продавец реализует опцион колл на акцию компании «В» с ценой исполнения 30 руб. Цена за опцион (премия), полученная продавцом, составляет 4 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 32 руб. Определите, прибыль или убыток получил покупатель опциона.

Решение.

Так как рыночная цена на момент исполнения выше цены опциона S>K, то прибыль опциона составит 32 – 30 = 2 руб., с учетом прими заплаченной продавцу, доход покупателя составит 2 – 4 = -2 руб. Следовательно, покупатель окажется в убытке, что бы оказаться в точке безубыточности, рыночная цена акции должна составлять 34 руб.

Задача 2.12

Продавец реализует опцион стрэдл с ценой исполнения 60 руб. Премия, полученная им, составила 10 руб. Определить резуль­таты стрэдла для продавца, если рыночная цена на момент исполне­ния составила:

в) 60 руб.

Решение.

Так как рыночная цена акции на момент исполнения оказалась равна стоимости опциона, то продавец оказался в прибыли, которая равна величине полученной им премии, т. е. 10 руб.

3. 25 Задача на расчет справедливой цены опционы

а) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-пут и фьючерса, а затем найти цену опциона-колл

вариант	25
N	2
r	0,1
d	-0,2
S	100
K	100
u	0,25

Решение.

Расчет стоимости опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.

Опцион-пут.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

.

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если , то

,

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, N – число периодов, = (0,1 – (-0,2))/(0,25 – (-0,2)) = 0,667

Определи k₀.

k=0: 100∙(1+0,25)⁰∙(1 – 0,2)² = 64 < K

k=1: 100∙(1+0,25)¹∙(1 – 0,2)¹ = 100 = K

k=2: 100∙(1+0,25)²∙(1 – 0,2)⁰ = 156,3 > K

Следовательно, k₀ = 2.

Для случая опциона-пут, получим

=(1/(1 + 0,1)²)∙{ 0,333²∙(100 – 100∙(1+0,25)⁰∙(1 – 0,2)²) + 2∙ 0,667∙0,333∙((100 – 100∙(1+0,25)¹∙(1 – 0,2)¹)} = 3,299 руб.
Опцион-колл.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

.

= (1/(1 + 0,1)²)∙{ 0,667²∙(100∙(1+0,25)²∙(1 – 0,2)⁰– 100)} = 20,7 руб.
Фьючерсные и форвардные контракты.

В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

.

Но



С другой стороны . Поэтому



Поэтому имеем

= 100 – 100/(1+0,1)² = 17,355 руб.

Проверка: F₀(S) = C₀(S) – Р₀(S) = 20,7 – 3,299 ≈ 17,4 руб.

ЛИТЕРАТУРА
1. Терпугов А.Ф. Математика рынка ценных бумаг // Томск. – Издательство НТЛ.-2004.-С.167.

2. Уотшем Дж Т., Паррамоу К. Количественные методы в финансах // М.-1999.-ЮНИТИ.-С.528

3. Мельников А.В. Риск-менеджмент: Стохастический анализ рисков в экономике финансов и страховании // М.-2002.-Издательство «Анкил» -С.112.

4. Малюгин В.И Рынок ценных бумаг: количественные методы анализа// Минск –2001- БГУ – С.318

5. Медведев Г.А. Математические модели финансовых рисков (в двух частях) // Минск –2001- БГУ –Часть 2- С.290.

6. Эрлих А. Технический анализ товарных и финансовых рынков // М.-1996 - ИНФРА-М – С.174.

7. Мельников А.В. Финансовые рынки. Стохастический анализ и расчет производных ценных бумаг//Москва-1997-ТВП.Научное издательство- с.125

8 Башарин Г.П. Начала финансовой математики//Москва-1997-ИНФРА-М-160 с.

9. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: Расчет и Риск. //Москва-1994-ИНФРА-М-191 с.

Помощь на экзамене онлайн.