Решение. Средняя арифметическая скорость молекул выражается формулой = (1)

Решение задач, контрольных работ по физике.

№ 504

Найти среднюю квадратичную, среднюю арифметическую и наиболее вероятную скорости молекул водорода. Вычисления выполнять для температуры 300 К.

Дано: Т = 300 К.

Найти: , , V_в.

Решение.

Средняя арифметическая скорость молекул выражается формулой

= (1)

где Т- температура газа ; R- молярная газовая постоянная [R=8,31 Дж/(моль К)] ; M- моляр- ная масса газа (для водорода М=0,002 кг/моль).

Средняя квадратическая скорость молекулы газа выражается формулой:

= (2)

Наиболее вероятная скорость молекул газа:

V_в = (3)
Находим:
=1781,6 м/с;
=1933,8 м/с;
V_в=1578,9 м/с.

№ 514.

Определить молярную массу газа, если при температуре Т=300 К и давлении p=0,2 МПа он имеет плотность ρ=2,41 кг/м³.

Дано : T= 300 K

P= 2×10⁵ Па

ρ=2,41 кг/м³

Найти:  Решение.

Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, записанного в виде:

P= (1) , где ρ – плотность газа; R – молярная газовая постоянная (R =8.31 Дж/(моль∙К)) ; T – температура газа ; P – давление газа ; μ – молярная масса газа.

Выражая из (1) молярную массу μ, получим :

= (3)

Подставляя, заданные числовые значения физических величин в формулу (3) и вычисляя, получим :

==0,03 кг/моль

Ответ : =0,03 кг/моль.


№ 524

Найти отношения теплоёмкостей C_p/C_v для газовой смеси, состоящей из 10 г гелия и 25 г водорода?

Дано: газ He

газ Н₂

ν₁= m₁/M₁ = 10/4 =2,5 моль

ν₂= m2/M₂ = 25/2 = 12,5 моль

Найти : C_p/C_v Решение.

Молярную теплоёмкость смеси C_v при постоянном объёме найдём следующим. Теплоты, необходимую для нагревания смеси на ΔТ, выразим двумя способами :

Q=C_v(ν₁+ν₂)ΔT (1)

Q=(C_v1ν₁+C_v2ν₂)ΔT (2)

где C_v1 – молярная теплоёмкость гелия ; C_v2 – молярная теплоёмкость кислорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на ΔТ, получим :

C_v(ν₁+ν₂)=C_v1ν₁+C_v2ν₂ , откуда

C_v=(C_v1ν₁+C_v2ν₂)/(ν₁+ν₂) (3)

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления молярной теплоёмкости при постоянном давлении :

C_p=(C_p1ν₁+C_p2ν₂)/(ν₁+ν₂) (4)

Вычислим отношение формул (4) и (3), получим :

C_p/C_v=(C_p1ν₁+C_p2ν₂)/(C_v1ν₁+C_v2ν₂) (5)

Молярные теплоёмкости газа при постоянном объёме и давлении выражаются соответственно :

C_v=iR/2 ; C_p=(i+2)R/2 , где i – число степеней свободы молекулы газа.

Используя эти выражения запишем формулы для молярных теплоёмкостей гелия и кислорода. Помощь на экзамене онлайн.

С_v1=i₁R/2 (6) ; C_p1=(i₁+2)R/2 (7) ,где i₁=3 (так как молекула гелия одноатомная).

С_v2=i₂R/2 (8) ; C_p2=(i₂+2)R/2 (9) , где i₂=5 (так как молекула водорода двухатомная).

Подставляя, полученные выражения (6), (7), (8) и (9) в формулу (5), получим :

C_p/C_v=[(i₁+2)ν₁+(i₂+2)ν₂]/(i₁ν₁+i₂ν₂) (10)

Произведя вычисления, получим :

C_p/C_v=[(3+2)∙2,5+(5+2)∙12,5]/(3∙2,5+5∙12,5)= 1,4286 Дж/(К моль)

Ответ : C_p/C_v=1,4286 Дж/(К моль).

№534

Найти среднюю длину свободного пробега молекулы азота в сосуде объемом 6 л. Масса газа 0,5 г.

Дано : d=3×10^-8 см=3×10^-11 см

p=10⁵ Па

T=273 K

Найти :

Решение.

Средняя длина свободного пробега молекул газа выражается формулой :

=1/πd²n (1)

где d – диаметр молекулы ; n – концентрация молекул.

Концентрация молекул связана с давлением и температурой газа выражением:

n=p/kT (2)

где к – постоянная Больцмана (к=1.38×10^-23 Дж/К)

Из уравнения Менделеева-Клайперона можем записать:

(3)

, где V – объем газа, R – молярная газовая постоянная, m и M – масса и молярная масса газа соответственно.

Подставляя (3) в (2), а затем в выражение (1), получим:

= (4)

Вычисления по формуле (4) дают

== 1,9336×10^-3 м

Ответ: =1,9336×10^-3 м.

№ 546

Газ, для которого γ=C_p/C_v=4/3, находится под давлением P=2×10⁵ Па и занимает объём V=3 дм³. В результате изобарического нагревания объём увеличился в 3 раза. Определить количество теплоты, переданное газу.

Дано : γ=C_p/C_v=4/3

P=2×10⁵ Па

V=3 дм³=3×10^-3 м³

V₂/V=3

Найти : Q

Решение.

Количество теплоты, участвующее в изобарном процессе выражается формулой :

Q= (1) , где m – масса газа ; M – молярная масса газа ; C_p – молярная теплоёмкость при p=const ; ΔT – изменение температуры газа.

Изменение температуры газа :

ΔT=T₂-T₁ (2)

Начальную Т₁ и конечную Т₂ температуры газа найдём из уравнения Менделеева-Клапейрона :

T₁= (3) ; T₂= (4)

где V и V₂ – объёмы газа до нагревания и после, соответственно.

С учётом выражений (3) и (4), формула (2) примет вид :

ΔT= (5)

Подставляя полученное выражение для ΔТ согласно (5) в уравнение (1), получим :

Q= (6)

С учётом уравнения : R=C_p-C_v выражение (6) примет вид :

Q=

Разделив числитель и знаменатель последнего выражения на C_v и, учитывая, что V₂=3V, получим :

Q= (7)

Произведя вычисления по формуле (7), найдём количество теплоты, подведённое к газу :

Q==4800 Дж=4.8 кДж

Ответ : Q=4.8 кДж.


№ 556

Во сколько раз необходимо увеличить объём ν=5 моль идеального газа при изотермическом расширении, если его энтропия увеличилась на ΔS=57.6 Дж/К?

Дано : ν=5 моль

T=const

ΔS=57.6 Дж/К

Найти : V₂/V₁

Решение.

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой :

ΔS=S₂-S₁= (1)

При вычислении по формуле (1) вынесем температуру Т за знак интеграла (при изотермическом процесс T=const). Помощь на экзамене онлайн. Вычислив интеграл, найдём :

ΔS= (2)

где Q – количество теплоты.

Количество теплоты при изотермическом процессе выражается формулой :

Q=νRTln(V₂/V₁) (3)

С учётом (2) уравнение (3) примет вид :

ΔS=

Отсюда изменение объёма газа :

V₂/V₁= (4)

Вычисления по формуле (4) дают :

V₂/V₁==4

Ответ : объём газа необходимо увеличить в 4 раза.