Решение. Преобразуем данный оригинал по формуле Находим изображение по формуле

Контрольные по математике. Решение задач по математике для студентов.

Вариант 8

№1 Найдите изображения данных оригиналов и укажите, какими теоремами пользовались.

<sub>1)

Решение.

Преобразуем данный оригинал по формуле





Находим изображение по формуле







То по свойству линейности изображений следует, что



Ответ:

2)

Находим изображение</sub> и <sub>по формулам









По теореме смещения . Тогда



По свойству линейности окончательно получаем



Ответ:

3)

По формуле понижения степени упростим

Тогда



Находим изображение</sub> и <sub>по формулам





Находим





С учетом свойства линейности</sub>



По теореме интегрирования изображений, получаем





<sub>Ответ:

4)</sub>

По формуле получаем



По свойству линейности



По теореме запаздывания



Ответ:

5)

_{Данный интеграл есть свертка оригиналов} и <sub>.

Операции свертки оригиналов соответствует умножение изображений.

Так как</sub> и , то





_{То по теореме об умножении изображений.}

, получаем



<sub>Ответ:

6)



Аналитическая запись функции имеет вид



Применяя функцию Хевисайда, данную функцию можно представить следующим образом.



Так как

На основании теоремы запаздывания



По свойству линейности получим</sub>



Ответ:

<sub>7)

Разложим функцию</sub> по степеням t-5 пользуясь формулой Тейлора

, =5







Тогда



Получаем









Согласно теореме запаздывания







_{Применим свойство линейности}



Ответ:

№8 Найдите оригинал изображения с помощью свойств преобразования Лапласа.

Решение.

Наличие слагаемого в сумме , стоящей в знаменателе, говорит о том, что косинус имеет смещение, т.е. нужно воспользоваться формулой





По теореме о дифференцировании изображения, имеем





Ответ:

№9 Найдите оригинал изображения с помощью вычетов.

Решение.

Для отыскания f(t) нужно найти сумму вычетов функции во всех особых точках . Найдем корни знаменателя







Получили корни . Все корни являются простыми полюсами для функции . Для простого полюса справедливо следующее: если , а р₀ является простым полюсом , то вычет можно вычислить по формуле



В данном случае , ,

Следовательно









Были учтены формулы:

,

,

Ответ:

№10 Найдите оригинал изображения с помощью разложения рациональной дроби в сумму элементарных.

Решение.

Найдем корни знаменателя функции



Разложим данную дробь на элементарные



Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:



Найдём искомые коэффициенты из системы:





Тогда



Применяя теорему смещения и свойство линейности, получим

, ,



Ответ:

№11 Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

,

Решение.

Запишем уравнение в изображениях

Пусть , то

,



С учетом

исходное дифференциальное уравнение запишется в виде



Разложим дробь на простые дроби









Тогда



Используя соответствия



, ,

получаем искомое частное решение дифференциального уравнения:

Ответ:

№12 Решить дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями

,

Решение.

Запишем уравнение в изображениях

Пусть , то

,



С учетом

исходное дифференциальное уравнение запишется в виде



Используя соответствия





Получим





получаем искомое частное решение дифференциального уравнения:

Ответ:

Помощь на экзамене онлайн.