Теория и методы цифровой обработки сигналов
Теория и методы цифровой обработки сигналов
На данном рисунке цель одиночная, скорость 300 м/с, влияние шумов и весовой обработки не учитывается.
В ситуации, когда отраженный сигнал образован групповой целью (двумя источниками излучения) комплексная огибающая сжатого ЛЧМ-сигнала будет описываться выражением: , (15), где: , - амплитудные составляющие 1-ого и 2-ого источников излучения соответственно, а , - фазовые составляющие 1-ого и 2-ого источников излучения соответственно.
Рис. 2 – Огибающая сжатого дискретного ЛЧМ-сигнала в двухсигнальной ситуации
На рис. 2 изображен отклик квазиоптимального фильтра на парную цель, отличия в ЭПР 3 дБ, скорости равны 300 и 305 м/с соответственно, отличия в дальностях до целей 55 м, влияние шумов и весовой обработки не учитывалось.
Анализ проведенных математических выкладок позволяет заключить следующее:
1. Огибающая дискретного сжатого ЛЧМ-сигнала подчиняется зависимости sin(RX)/sin(X) в отличие от sin(X)/(X) для непрерывного сигнала.
2. Амплитуда и фаза дискретных отсчетов сжатого ЛЧМ-сигнала зависят как от абсолютных значений взаимного рассогласования несжатого сигнала и копии , так и от знака (направления) рассогласования.
3. Для устранения фазовых различий между отсчетами сжатого ЛЧМ-сигнала необходимо каждый дискретный отсчет умножить на коэффициенты (выражение 14).
4. Полученное аналитическое описание ЛЧМ-сигнала позволяет разрабатывать новые методы обработки за счет анализа тонкой структуры комплексной огибающей сжатого сигнала.
Литература
1. Абраменков В.В. Измерение координат радиолокационных целей методами многосигнальной радиолокации, монография, ВУ В ПВО ВС РФ, 2002.
2. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех, М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и студентов ВТУЗОВ, М.: Наука, 1980. 976 с.
4. Баскаков С.И.. Радиотехнические цепи и сигналы, М.: Высшая школа, 1988. 464 с.
The analytical description of the compressed LINEAER FREQUENCY MODULATION SIGNAL
Abramenkov V., Vasilchenko O., Semchenkov S.
Military academy of army antiaircraft defense of Armed forces of the Russian Federation named after Marshal of Soviet Union Vasilevsky A.M., Smolensk
Process of processing (formation and compression) the lineaer frequency modulation (LFM) signal is known and is fully enough described analytically for analog processing in a situation when the reflected signal is formed by a single source of radiation. Process of digitization always imposes some peculiarities on the ways of processing any signal. Besides, in modern conditions the probability of a situation in which there will be more than one target in one pulse volume grows. Therefore a problem of the analytical description of discrete processing of the accepted echo - signal in a multi-target situation is of practical interest.
In the article “Analytical description of the compressed digital LFM -SIGNAL in one-target and multi-target situations” a variant of the analytical analysis of a discrete correlating processing of the LFM-SIGNAL for one-target and two target situations is offered. The compression of signal is examined in the time area by comparison of the accepted signal with his complex - connected copy removed on the interval amount to readout where changes from up to ( - the number of readout in one pulse). The echo - signal differs from its copy on Doppler's frequency - , fluctuation of a phase - , the possible change of a phase because of a discrepancy of the beginning of a signal with the moment of the beginning of digitization- , and an amplitude multiplier - . Processing by a method of a watching (following) window is carried out in vicinity from the beginning of the accepted signal 0 up to , that is enough for the formation of a full correlational function and that is necessary for the reduction of a number of operations of summation and multiplication. For the convenience of mathematical calculations the description of the response of kvazioptimal filter is offered to be divided into two equal parts (to the left of the maximal peak and to the right of it), that is, according to the parity of correlational function is fair.
As a result of the mathematical calculations which were carried out in the article there was received a correlation for the compressed discrete ЛЧМ-SIGNAL in a two-target situation: .
The literature
1. Абраменков В.В. Измерение координат радиолокационных целей методами многосигнальной радиолокации, монография, ВУ В ПВО ВС РФ, 2002.
2. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех, М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и студентов ВТУЗОВ, М.: Наука, 1980. 976 с.
4. Баскаков С.И.. Радиотехнические цепи и сигналы, М.: Высшая школа, 1988. 464 с.
Повышение эффективности метода перекрытия с накоплением для вычисления дискретной свертки
Альтман Е.А., Грицутенко С.С.
Омский государственный университет путей сообщения
Дискретная свертка является одной из часто используемых операций при цифровой обработке сигналов. Она применяется в цифровых фильтрах, при вычислении корреляции и других операциях.
Число операций для нахождения свертки прямым методом, т.е. по формуле из определения свертки, пропорционально произведению числа отсчетов в функциях. Для ее вычисления при большом числе отсчетов разработаны специальные быстрые алгоритмы, выполняющих эту функцию за меньшее количество вычислительных операций [1].
Во многих задачах цифровой обработки сигналов требуется найти свертку функций, в одной из которых количество отсчетов во много раз больше, чем в другой. Например, такую операцию требуется выполнять при цифровой фильтрации, когда одной из функций является фильтруемый сигнал, а другой – коэффициенты фильтра.
Вычисление такой свертки требует целый набор алгоритмов, состоящий из методов секционирования сигнала, вычисления линейной свертки через циклическую и быстрого метода вычисления циклической свертки. Наиболее часто для этого применяются методы перекрытия с накоплением (overlap-save) и перекрытия с суммированием (overlap-add) с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) для вычисления циклической свертки. Эти методы хорошо работают при относительно большом числе отсчетов, однако при малом их числе проигрывают прямому методу [2].
В докладе рассматривается способ повышения эффективности метода перекрытия с накоплением, позволяющий уменьшить число необходимых вычислений при любом числе точек.
Далее, для простоты изложения, будем использовать терминологию, соответствующую применению дискретной свертки для реализации цифрового фильтра, т.е. функцию с большим числом отсчетов будем называть сигналом, а с малым – фильтром. Однако это не влияет на общность выводов, и все рассмотренные алгоритмы применимы к любым задача, требующим вычисления дискретной свертки.
Методы перекрытия с накоплением и перекрытия с суммированием фактически реализуют как секционирование сигнала, так и вычисление линейной свертки через циклическую.
Под секционированием сигнала понимается разбиение его на блоки с количеством отсчетов, примерно равному количеству коэффициентов фильтра. Над каждым из блоков проводится операция линейной свертки, результаты которых объединяются. Для получения корректного результата блоки должны пересекаться, т.е. иметь общие точки. Из-за этого обстоятельства и получили свое название методы с перекрытием.
Рассмотрим более подробно связь между линейной и циклической дискретными свертками. Отметим, что когда из контекста ясно, о какой свертке идет речь, то слово линейная обычно опускают. Циклическую свертку также называют круговой или периодической.
Линейная дискретная свертка сигналов определяется следующей формулой: (1), где x(n) – отсчеты сигнала, h(к) – коэффициенты фильтра, y(n) – результат свертки.
Предположив, что фильтр имеет K коэффициентов, получим: (2)
Циклическая дискретная свертка определена при равном количестве отсчетов в функциях, над которыми она выполняется. Предположим, что x и y имеют также по K отсчетов. Формула для вычисления циклической свертки будет иметь вид: (3)
Существует несколько методов быстрого вычисления циклической свертки. Для дальнейшего изложения выбор метода не имеет значения, но для простоты понимания можно полагать, что используется метод вычисления с использованием быстрого преобразования Фурье.
Линейная и циклическая свертки совпадают только в одном отсчете – y(k). Очевидно, что в таком виде нахождение линейной свертки через циклическую будет неэффективным.
Отметим, что отчеты y(k-1) линейной и дискретной свертки отличаются только одним слагаемыми, равным x(-1)*h(k) для линейной свертки и x(к-1)*h(7) для циклической. Если принять h(k) = 0, то линейная и циклическая свертки совпадут уже в двух отсчетах.
Это замечание позволяет сформулировать идею более эффективного метода вычисления линейной свертки. Можно дополнить одну или обе функции, над которыми производится операция свертки нулевыми отсчетами, что позволит получить большее число совпадений в результатах линейной и циклической сверток.
Рассмотрим пример реализации этой идеи. Дополним коэффициенты фильтра нулевыми отсчетами в количестве равном ненулевым отсчетам, как это показано на рис. 1.
| |
| Рис. 1 – метод перекрытия с накоплением |
Как видно из рисунка, в этом примере линейная и циклическая свертка совпадают в 5 отсчетах – с y(3) по y(7).
В методе перекрытия с накоплением несовпадающие отсчеты (в нашем случае с y(0) по y(2)) отбрасываются, и далее рассчитываются с помощью перекрытия блоков. Взяв для следующего блока коэффициенты x(5) – x(12) мы получим следующие отчеты результата y(8) – y(12).
Отметим, что в английском варианте иногда встречается другое название метода – overlap discard (перекрытие с отбрасыванием), более точное отражающее его суть. При этом методе отбрасываются отчеты результата, которые рассчитываются по слагаемым, выделенным на рисунке черной рамкой.
Мы можем избежать расчета ненужных слагаемых, сделав нулевыми несколько отсчетов сигнала. В этом случае все результат линейной и циклической свертки полностью совпадают, однако, вычисляются не полностью. Для получения окончательного результата нужно просуммировать результаты отдельных блоков. Такой метод называется перекрытием с суммированием. По количеству необходимых вычислений методы перекрытия с накоплением и суммированием примерно одинаковые.
Для повышения эффективности метода перекрытием с накоплением в докладе предлагается следующий способ.
На рис. 2 приведен пример, которым иллюстрировалась свертка с накоплением.
Отметим, что отчеты y(2) линейной и дискретной свертки отличаются только одним слагаемыми, расположенными в последней строке содержащей ненулевые коэффициенты фильтра (на рисунке эти слагаемые выделены черной рамкой, слагаемое для линейной свертки располагается вне основной матрицы и равно x(-1)*h(3)). Мы можем рассчитать этот отчет линейной свертки следующим образом: (4), где y(2) и y(2) – отсчеты линейной и циклической сверток соответственно, значение x( 1) берется из предыдущего блока свертки.
| |
| Рис. 2 – модифицированная свертка с накоплением |
Аналогичным образом можно рассчитать значение следующего за y(7) отсчета линейной свертки (назовем его y(8)): (5), где y(8) и y(0) – отсчеты линейной и циклической сверток соответственно, значение x(8) берется из предыдущего блока свертки.
Расчет по любой из двух вышеприведенных формул позволит получить по дополнительному отсчету линейной свертки. Очевидно, что вычислительные затраты на нахождение этих точек существенно ниже, чем затраты на вычисление точек обычными методами с перекрытием и прямым методом вычисления свертки. Далее точки, рассчитанные подобным способом, будем называть дополнительными.
Следующие две дополнительных отсчета мы можем рассчитать таким образом: , (6)
Аналогичным образом можно и далее рассчитывать дополнительные отсчеты, однако с каждой парой количество вычислений возрастает. Очевидно, существует какое-то оптимальное дополнительное количество отсчетов для предложенного метода расчета линейной дискретной свертки, с минимальными вычислительными затратами на нахождение одного отсчета.
Оценим количество операций, необходимое для нахождения дискретной свертки рассмотренным методом с помощью количества необходимых операций над вещественными числами (flops). БПФ над вещественными числами может быть эффективно реализовано с помощь так называемой технологии realFFT. В этом случае количество необходимых операций можно примерно оценить сверху как 3*N*logN (где N – количество точек в БПФ, log – двоичный логарифм).
Прямой метод вычисления свертки требует примерно 2*N операций для каждого отсчета сигнала (где N – количество коэффициентов фильтра), поскольку для каждого отсчета сигнала и фильтра выполняется две операции – одно умножение и одно сложения.
Модифицированный метод затрачивает для вычисления N+K отсчетов примерно 6*N*logN+K2 вещественных операций. Можно теоретически найти значение K для заданного N, при котором количество операций на такт будет минимальным, однако практически оптимальное значение этого числа будет сильно зависеть от аппаратных средств и реализации алгоритма.
Покажем, что при любом значении N, при правильном выборе количества дополнительных отсчетов предложенный алгоритм требует меньшего количества вычислительных операций, чем прямой метод вычисления свертки и чем обычные методы с перекрытием.
Для сравнения с прямым методом выберем K = 2N (хотя это при любом N не самый лучший выбор). В этом случае, предлагаемый алгоритм вычисляет 3N отсчетов свертки с помощью 6*N*logN+4*N2, или 2*logN+4*N/3 операций на один отсчет, что меньше чем 2*N при любом целом N. Для сравнения с методами с перекрытиями можно выбрать K = 1 (тоже не оптимальный выбор), и, как было сказано выше, очевидно, что затраты на вычисления пары дополнительных точек будут существенно ниже затрат на вычисление точек любым другим способом.
Таким образом, предложенная модификация алгоритма вычисления дискретной свертки с перекрытием при любом количестве коэффициентов фильтра является более быстрым способом вычисления, чем прямой метод и методы с перекрытием.
Литература
Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов / М.: Мир, 1989г, 448с.
Смит C. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инжинеров и научных работников / М.:Додэка, 2008г, 720с.
IMPROVING OF THE OVERLAP-SAVE METHOD FOR DISCRETE CONVOLUTION PROCESSING
Altman E., Gritsutenko S.
Omsk State Transport University
Modification of the method with overlapping and accumulation is discussed in this address. Importance of this theme is defined by using of convolution in great number of DSP applications, for example in digital filters.
Now basic methods for discrete convolution calculation are the direct method, the overlap-save method, the overlap-add method. The main idea of these algorithms is to use the cyclic convolution for getting linear one. Several fast methods for cyclic convolution calculation are known. The most popular method use Fast Fourier Transform (FFT convolution). For getting linear convolution they use cyclic convolution with bigger size. Extra samples of one function (overlap-save method) or two functions (overlap-add method), that are processed with convolution, are considered as zero. In this case good enough number of result samples in cyclic convolution match with samples of the linear resultant convolution. Rest samples (that don’t match) are not used, but they contain useful information.
The main idea of the presented method is to use rest samples for fast calculation of several samples of linear convolution. Let we name them as additional samples, because they are calculated additionally for matched samples of the cyclic convolution and linear one.
If to analyze formulas for calculation of cyclic and linear convolutions then it’s possible to see that one pair of samples is not matched to each other with one summand element only. Second sample pair is not matched to each other with two summand elements only and so on. Therefore it is possible to calculate pair of additional samples with correction results of cyclic convolution by one summand element. Second sample pair would be got with correction results of cyclic convolution by two summand elements, etc.
So necessary performance for additional samples calculation is less than performance for calculation of these samples by direct method (if number of samples is selected correctly). Approximate estimation of this algorithm performance is 6*N*logN+K2 real operations for calculation of N+K samples (N – number of matched samples, K – number of additional samples). Usual methods accords the case when K=0. Obviously if K is a little number relative to N then presented method is more effective than common methods with overlapping. Even if N is any number and K= 2N (although it is none optimal case) then presented method demands less number of real operations than direct method.
Thus in this address discussed modification of overlap-save method is more efficient than original method and direct method for any length of convolution.
ПРОБЛЕМА АНАЛОГИЙ В ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛА
Грицутенко С.С.
Омский государственный университет путей сообщения
Проблема аналогий - это невозможность подобрать операцию над пространством последовательностей аналогичную операции над пространством функций и наоборот. Рассмотрим несколько примеров.
Как известно, функцию с периодом возможно разложить в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда находятся при помощи формулы:
. (1). Коэффициенты разложения периодической последовательности находится при помощи формулы Дискретного Преобразования Фурье (ДПФ): , (2), где - длина последовательности.
Очевидно, что если - четная функция, (симметричная относительно нуля), то коэффициенты Фурье строго действительны. Но из четности (симметричности) последовательности, действительность отсчетов ДПФ уже не следует. Так симметричной последовательности соответствует комплексное ДПФ: , а несимметричной последовательности , наоборот, соответствует действительное ДПФ: .
Рассмотрим следующий пример. В учебниках по теории ЦОС часто приводится следующее утверждение: "Импульсная характеристика для физически реализуемых КИХ-систем (систем с конечной импульсной характеристикой - прим. авторов) с линейной фазой обладает свойствами симметрии" [1]. И далее приводится формула, поясняющая какая именно симметрия имеется ввиду: , (3), где - импульсная характеристика КИХ-системы, а - ее длинна. То есть, в КИХ-системе, по утверждению авторов, самый первый и самый последний элемент импульсной характеристики должны быть равны, если фаза линейна. Данное утверждение ложное. Оно иллюстрирует одно из наиболее ярких проявлений проблемы аналогий.
Действительно, в отношении функций однозначно доказывается, что для линейности фазы необходимо и достаточно симметричности функции. Но для последовательностей доказывается только достаточность этого утверждения - для линейности фазы достаточно симметричности последовательности. Необходимость же просто декларируется исходя из соображений «аналогичности».
Покажем, что существуют системы с несимметричными импульсными характеристиками, но, тем не менее, с линейной фазой. Возьмем строго симметричную импульсную характеристику, например, . Так, как последовательность симметрична, то фаза системы линейна, и, следовательно, ее частотную характеристику можно представить в виде: , где - строго действительная величина. Теперь получим из новую импульсную характеристику при помощи задержки на целое число отсчетов (время ): . Эта импульсная характеристика уже не симметрична в смысле формулы (3), но фаза такой системы все еще остается линейной.
Наконец, опишем весьма необычный эффект, возникающий при интерполяции. Для этого возьмем КИХ фильтр, с импульсной характеристикой . Пусть импульсная характеристика фильтра отлична от нуля только на промежутке времени . Вне этого отрезка она тождественно равна нулю. В момент времени на фильтр подается воздействие в виде дельта-последовательности , а на выходе фильтра мы имеем конечную реакцию , которая длиться до момента . Если провести интерполяцию импульсной характеристики КИХ фильтра по интерполяционной формуле Котельникова (например, в десть раз – между двумя отсчетами добавим девять новых): , (4),
то получим следующую картину: импульсная характеристика КИХ фильтра перестанет быть конечной! Но самое интересное заключается в том, что у импульсной характеристики появляется предыстория - ненулевые значения до момента времени (момента подачи входного воздействия). Другими словами, получается, что сигнал на выходе системы опережает сигнал на входе.
Причина проблем аналогий, как отмечалось выше, состоит в том, что разработчик не всегда может найти для пространства последовательностей аналогию в пространстве функций (имеется в виду операция над векторами). Следовательно, должны существовать критерии аналогичности объектов пространства последовательностей и пространства функций.
Рассмотрим два критерия аналогичности - аналогичность в широком смысле и аналогичность в узком смысле.
Предположим, имеются два пространства Гильберта: пространство функций и пространство последовательностей . Векторы пространства получают из векторов пространства при помощи дискретизации с периодом .
Определение 1: операция над вектором пространства считается аналогичной операции над вектором пространства в широком смысле, если: (5)
Для иллюстрации введенного понятия рассмотрим алгоритм измерения энергии сигнала. Для этого введем определение энергии функции (аналогового сигнала) на интервале : (6)
и энергии последовательности (дискретного сигнала) на том же интервале: . (7)
Очевидно, что если период дискретизации взять, например, в два раза меньше, то энергия последовательности, считаемая по формуле (7) увеличится, так как увеличится и количество отсчетов:
, (8), где - энергия новых отсчетов.
Таким образом, очевидно, что преобразование (7) не аналогично преобразованию (6), так как при уменьшении интервала дискретизации энергия последовательности пропорционально возрастает и не стремиться к энергии функции.
Предложим преобразование, которое будет аналогичным в широком смысле. (9)
В соответствии с критерием аналогичности и определением интеграла Римана имеем:
(10). Таким образом, преобразования (9) и (6) аналогичны.
Из аналогичности в широком смысле не следует, что результаты аналогичных операций для пространства последовательностей и пространства функций будут совпадать. Они будут совпадать только в пределе, при . Это не всегда удобно. Поэтому для операций предлагается ввести также критерий аналогичности в узком смысле:
Определение 2: операция над вектором пространства считается аналогичной операции над вектором пространства в узком смысле, если: (11)
Начнем решение проблем аналогии в том порядке, как они были поставлены.
Действительность спектров несимметричных последовательностей объясняется неаналогичностью стандартной формулы ДПФ. ДПФ, как известно, разлагает исходную последовательность на последовательности косинусов (действительная часть спектра) и последовательности синусов (мнимая часть). Но если в формуле вычисления коэффициентов разложения функции (1) косинус это строго симметричная (четная) функция, то в формуле ДПФ (2) последовательность косинуса не симметрична. Например, если мы возьмем последовательность косинуса с частотой в четверть частоты дискретизации, то получим следующее: . А так, как за действительную часть спектра отвечают несимметричные последовательности, то симметричную последовательность по ним разложить невозможно. Поэтому появляется мнимая часть спектра. Вывод: при традиционном ДПФ базисные последовательности не аналогичны базисным функциям.
Казалось бы, для решения проблемы аналогичности, достаточно сдвинуть все отсчеты, например, на половину (интервала дискретизации), но возникает вопрос: а как сдвигать на половину дельта-последовательность ? Как это сделать с точки зрения аналогичности мы рассмотрим позже.
Линейность фазы КИХ фильтров с несимметричной импульсной характеристикой объясняется неправильной формулировкой заявленной теоремы. Ниже приводится правильная формулировка.
Теорема: последовательность имеет линейную фазу на интервале тогда и только тогда, когда функция , получаемая из интерполирующей формулы Котельникова (4), имеет хотя бы одну ось симметрии.
Наконец, чтобы понять, что происходит с причинностью, необходимо разобраться, что же представляет собой дельта-последовательность на самом деле. Для этого сначала ответим на вопрос: почему при дискретизации «обычной» функции мы имеем последовательность из значений этой функции в моменты дискретизации, а при дискретизации дельта-функции Дирака, мы имеем нечто иное – дельта последовательность , хотя по аналогии можно было ожидать последовательность вида .
Ответ достаточно прост: мы не можем дискретизировать дельта-функцию Дирака. Дискретизации подлежат только функции со спектром, ограниченным по Котельникову. А спектр дельта-функции Дирака бесконечный и, следовательно, неограниченный. Таким образом, необходимо найти среди сигналов с ограниченным спектром аналогию дельта-функции Дирака.
Дельта-функция Дирака определяется из своего фильтрующего свойства: (12)
Свертка функций и во временной области эквивалентна произведению спектров этих функций в частотной области. Но если имеет спектр , ограниченный по Котельникову отрезком на оси частот , то возможно подобрать функцию с таким спектром , что будет выполняться соотношение: (13). В том случае если: , (14)
то: . (15).
Очевидно, что является модифицированной дельта функцией: с одной стороны она ограничена по Котельникову, а с другой стороны в отношении нее истинно соотношение (20) для любой функции , также ограниченной по Котельникову.
Так как является обычной функцией sinc, то становиться понятен парадокс нарушения принципа причинности. Собственно, никакого нарушения принципа причинности нет. Просто надо учитывать, что функция sinc не является финитной, то есть не имеет начала. Соответственно отклик на такую функцию тоже начала не имеет.
Литература
1. Оппенгейм А.В., Шафер Р.В. Цифровая обработка сигналов. – М.: Связь, 1979. – 416 с.
PROBLEM OF ANALOGIES IN DIGITAL SIGNAL PROCESSING
Gritsutenko S.
Omsk State Transport University
The problem of analogies is an impossibility to choose an operation on set of sequences that is analogous to an operation on set of functions and vice versa.
A periodic function can be expressed as Fourier series. Coefficients of this Fourier series are calculated with standard procedures. If the function is even one then these coefficients are real ones. But an even sequence sometimes hasn’t real DFT.
DSP textbooks often contain following statement: “the pulse response of FIR with linear phase is symmetrical”. This is false statement.
Interpolation can destroy causality.
The reason of analogies problem is impossibility for the developer to find an analogy for sequences set in function set. So it’s necessary to create criterions of equivalency for objects in set of sequences and for objects in set of functions.
Two criterions of equivalency is discussed there - criterions of wide sense equivalency and criterions of narrow sense equivalency.
Definition 1: the operation on a vector in the set is equivalent for operation on a vector in the set in the wide sense when: . (1)
Definition 2: the operation on a vector in the set is equivalent for operation on a vector in the set in the narrow sense when: . (2).
The important reason of analogy problems is incorrect understanding what is.
The result of usual function sampling is samples of this function but the result of delta-function sampling is other thing. This result is sequence but is not sequence.
It is because we can’t make sampling of delta function. We can make sampling of functions that have a limited spectrum but delta function spectrum is unlimited one. Thus it’s necessary to find analog of delta function between functions with a limited spectrum. This function is defined this way: . (3)
is a modern delta function. It has a limited spectrum and satisfies to identity: , (4)
for any with spectrum that is limited by frequency.
Аналитическое описание дискретной Комплексной огибающей сжатого КОДОФАЗОМАНИПУЛИРОВАННОГО сигнала
Абраменков В.В., Васильченко О.В., Муравский А.П.
Военная академия войсковой противовоздушной обороны Вооруженных Сил Российской Федерации имени Маршала Советского Союза Василевского А.М.
Измерение параметров сигналов, в том числе пространственных координат – важнейшая составная часть процесса получения радиолокационной информации. Время запаздывания – один из наиболее информативных параметров радиолокационного сигнала, поскольку характеризует дальность до источников переизлучения. Особый интерес представляет измерение в РЛС с КФМ-сигналом дальностей до нескольких источников вторичного излучения в случаях, когда отраженные ими сигналы перекрываются по времени и не разрешаются традиционными способами. Существуют подходы [1, 2] к решению данной задачи, но они предъявляют строгие требования к комплексной огибающей сжатого сигнала. В частности, параметры сигналов целей и параметры измерителя должны подчиняться линейной модели.
Вопрос аналитического описания комплексной огибающей сжатого КФМ–сигнала не является новым и рассматривался в работах [3, 4, и д.р ]. Однако часть из них описывает огибающую сигнала только в моменты времени, кратные длительности одной дискреты КФМ-сигнала, другая – для сигнала образованного одним ИВИ.
Учитывая сказанное, в настоящей работе исследована структура комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала для двух ситуаций: 1. Входной сигнал образован одной целью (единственным точечным по дальности источником излучения). 2. Входной сигнал образован несколькими целями (точечными источниками излучения).
В первой ситуации отраженный от цели КФМ-сигнал будет иметь вид:
, tЗ< t≤tЗ+τИ, 0
Будем считать, что обработка принятого сигнала производится в цифровом виде, а интервал дискретизации АЦП Т таков, что на длительность одного дискрета отраженного от цели КФМ -сигнала приходится S отсчетов АЦП. Тогда значение каждого отсчета АЦП будет зависеть как от его текущего номера s, так и от номера дискрета l. В общем случае время запаздывания tЗ не совпадает с моментом получения каждого дискретного отсчета с номером s и не зависит ни от s, ни от l. Выражение для оцифрованного принятого сигнала одиночной цели примет вид: , (2),
где , d=tЗ/ΔT – число отсчетов АЦП от нулевой дальности до начала сигнала, или номер отсчета АЦП, с которого начинается сигнал цели.
Сжатие КФМ-сигнала осуществляется в цифровом виде корреляционным способом. Тогда отсчеты дискретной копии зондирующего сигнала можно записать в виде
. (3).
В момент совпадения положения сигнала и копии амплитуда сжатого сигнала будет равна (4).
Вид аналогового КФМ-сигнала, вид его после оцифровки и взаимное положение сигнала и копии показаны на рис. 1.
Рис. 1 – Расположение сигнала относительно своей копии в односигнальной ситуации
На данном рисунке k= n-d – дискретное рассогласование по времени текущего n-го положения копии и положения на оси дальности дискретного сигнала.
Из представленного рисунка видно, что при формировании главного лепестка сжатого КФМ-сигнала отсчеты сигнала и копии при корреляционной обработке будут суммироваться на 2-х характерных участках. На первом из них суммируются произведения отсчетов одноименных дискрет КФМ-сигнала и его копии с совпадающей фазой. На втором суммируются произведения отсчетов соседних дискрет, фаза которых может совпадать или не совпадать в зависимости от закона фазовой манипуляции сигнала. Таким образом, при k≠0 выражение (4) можно переписать в виде , ,
Подставим в полученные выражения значения напряжения сигнала (2) и копии (3). Тогда первая составляющая комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала будет иметь вид
. (5).
Суммы по l и s представляют собой суммы соответственно L и S-k членов геометрических прогрессий, воспользовавшись известными выражениями для сумм членов геометрических прогрессий [5] и проведя необходимые преобразования, перепишем выражение (5) в виде
. (6)
В современных системах цифровой обработки величину Т часто выбирают равной или кратной 1/2f0. С учетом этого выражение для первой составляющей комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала примет вид
. (7)
Анализ этого выражения с использованием правила Лопиталя [5] показывает, что его модуль будет максимальным в случае FД=0 и k=0 и равным . (8)
Вторая составляющая комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала после подстановки значений напряжений сигнала и копии и преобразований, аналогичных приведенным выше, примет вид
(9)
Анализ выражения для второй составляющей комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала показывает, что сумма по l не является геометрической прогрессией, т. к. закон фазовой манипуляции в общем случае не линейный. Однако из приведенного выражения видно, что величина может принимать только значения 1 и -1 в зависимости от того, меняется или нет фаза между текущими соседними дискретами КФМ-сигнала. В [6] говорится, что у КФМ-сигналов, полученных на основе М-последовательностей, число элементов с нулевой фазой всегда на один больше, чем с фазой π. У всех известных КФМ-сигналов на основе кода Баркера (кроме 4-х позиционного) число перебросов фазы между соседними элементами равно числу неизменных фаз, что легко проверить. Исходя из этого, число суммируемых 1 в (5) всегда будет равна числу -1 (кроме 4-х позиционного кода Баркера, который на практике не используется). По этой причине при выполнении равенства FД=0 величина второй составляющей комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала будет равна нулю и, как показывают расчеты, не существенно отличаться от нуля при FД≠0.
Проведенные аналитические выкладки и логические рассуждения позволяют записать конечное выражение для комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала в одноцелевой ситуации в виде. (10)
где .
Величина представляет собой значение нормированной автокорреляционной функции сжатого КФМ-сигнала в зависимости от рассогласования k и в общем случае, при FД≠0 является комплексной величиной. Фаза каждого n-го отсчета определяется величиной доплеровской частоты цели.
Из представленного выражения видно, что амплитуда сигнала цели и параметры измерителя (значение огибающей автокорреляционной функции в зависимости от смещенности сигнала и копии) в одноцелевой ситуации подчиняется линейной модели.
Во второй ситуации отраженный от совокупности целей КФМ-сигнал будет иметь вид:
, (11), где gm представляет собой функцию включения каждой цели. gm =1 для tЗm< t≤tЗm+τИ, 0
где dm=tЗm/ΔT, gm =1 для dm< (l-1)S+s ≤ dm +SL, 0
Как и в предыдущем случае, введем обозначение .
Тогда выражение (12) примет вид (16)
Пример взаимного расположения сигналов М источников и n-го положения копии показан на рис. 2.
Рис. 2 – Расположение сигналов относительно своей копии в двухсигнальной ситуации
Анализ этого рисунка и выражения (16) позволяет сделать вывод о том, что дискретные отсчеты сигналов и копии по-прежнему суммируются на 2-х характерных участках. Это позволяет использовать все рассуждения и приемы, проделанные выше применить к многосигнальной ситуации. Выражение для амплитуды сигнала на участке суммирования 1 будет иметь вид
, (17), где km= n-dm.
Отличием приведенного выражения от (5) является только то, что оно образовано М суммами членов геометрических прогрессий, что позволяет преобразовать их по правилам, изложенным выше. Амплитуда сигнала на втором участке суммирования, как и в первом случае, будет близка или равна нулю. Конечное выражение для комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала в многоцелевой ситуации, таким образом, будет иметь вид , (18),
где (19)
Таким образом, впервые выполненное аналитическое описание комплексной огибающей сжатого КФМ-сигнала в односигнальной и многосигнальных ситуациях, учитывающее эффекты дискретизации, позволяет анализировать тонкую структуру сигнала в интересах получения новых способов его обработки.
Литература
1. Варюхин В. А. Основы теории многоканального анализа. Киев: ВА ПВО СВ, 1993. 171 с.
2. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.
3.Трухачев А. А. Радиолокационные сигнал и их применения. М.: Воениздат, 2005. 320с.
4. Варакин Л. Е. системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио связь,1985. 384с.
5. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. 720 с.
The analytical discription of a descrete complex ENVELOPE of the compressed codefasemanipulating SIGNAL
Abramenkov V., Vasilchenko O., Muravskij A.
Military academy of army antiaircraft defense of Armed forces of the Russian Federation
named after Marshal of Soviet Union Vasilevsky A.M., Smolensk
The measurement of signals’ parameters, including spatial coordinates - is the major component of the process of reception the radar-tracking information. Time of delay - is one of the most informative parameters of a radar-tracking signal as it characterizes the range up to the sources of reflection. The measurement of ranges in rader with the сpf -signal up to several sources of secondary radiation in cases when the reflected signals are blocked on time and are not resolved by traditional ways represents a special interest. There are approaches [1, 2] to solving the given problem, but they show strict requirements to a complex envelope of the compressed signal. Particularly, the analytical description of a complex envelope of the compressed signal formed by several sources of secondary radiation within the limits of an interval of impulse volume should have a linear kind.
The question of the analytical description of a complex envelope of the compressed сpf -signal is not new and was examined in works [3, 4, and others]. However, part of them describes envelope of a signal only at the moments of time, diversity order to the duration of a discrete value of the сpf -signal, another one for a signal formed by one sources of secondary radiation.
Taking into account what was told, in this work the structure of a complex envelope of the compressed сpf -signal for two situations is investigated (searched):
1. The entrance signal is formed by one target (the only dot source of radiation on the range).
2. The entrance signal is formed by the several targets (dot sources of radiation).
The fulfilled analytical description of a complex envelope of the compressed сpf -signal allows to conclude, that signals’ amplitudes of targets and parameters of a measuring instrument (value of envelope autocorrelational function depending on the removal of targets’ signals and position of a copy) in a multialarm situation are submitted to a linear model.
The literature
1. Варюхин В. А. Основы теории многоканального анализа. Киев: ВА ПВО СВ, 1993. 171 с.
2. Марпл-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.
3.Трухачев А. А. Радиолокационные сигнал и их применения. М.: Воениздат, 2005. 320 с.
4. Варакин Л. Е. системы связи с шумоподобными сигналами. М.: Радио связь,1985. 384 с.
5. Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968. 720 с.
Обобщенные преобразования Кравченко-Фурье на основе семейства атомарных функций
Кравченко В.Ф.1,Сафин А.Р.2
1Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова ран,
125009, Москва, Моховая 11, корп.7, е-mail:[email protected]
2Московский энергетический институт(ТУ),
111250, Москва, Красноказарменная 14, e-mail:[email protected]
Известно, что сигналы, которые используются в современной радиотехнике и цифровой обработке сигналов (ЦОС), могут быть представлены в виде сумм ортогональных функций бесчисленным количеством вариантов, так как система функций, применяемых для их разложения известна, то они полностью определяются наборами весовых чисел. Такие наборы чисел называются спектрами сигналов [2]. Из всевозможных форм спектрального оценивания сигналов наибольшее распространение получили тригонометрические колебания. Они являются основой классического спектрального анализа. Однако для решения различных радиотехнических проблем необходимо искать адекватные им спектральные системы. В связи с этим возникает проблема синтеза базисной системы функций. В докладе построены и обоснованы ортогональные системы базисных функций (БФ) на основе семейства атомарных функций (АФ): [1,3]. Используя построенные БФ, введём обобщенное преобразование Кравченко-Фурье.
Простейшая ортогональная система базисных функций на основе АФ
Представим наиболее простую ортогональную систему БФ на основе «материнской» АФ на одностороннем полуинтервале . Обозначим за систему БФ, строящуюся по следующей схеме:
Приведем доказательство следующей теоремы, которая иллюстрирует процесс образования данной системы БФ.
Теорема. Система функций является ортогональной на полуинтервале .
Доказательство. Докажем, что и , где . Тогда . Разобьем последний интеграл на 4 интеграла по следующим пределам: . Получим
. (1). Графики для и представлены на рис.1.
Рис. 1. Поведение базисных функций и
Докажем, что разность первого и четвертого интегралов в (1) дает 0. Сделаем замену переменных в четвертом интеграле в (1). Пусть . В этом случае
в силу четности АФ . Производя замену переменных во втором и третьем интегралах в (1), получим
. (2)
Равенство 0 в (2) имеет место потому, что АФ – четная функция, поэтому . Равенство очевидно, если обратиться к графику произведения двух функций (см. рис. 2). Действительно, разность площадей под фигурами на отрезках и равна нулю.
Рис. 2. График произведения двух функций и
Рис. 3. Поведение базисных функций и
Рис.4. График произведения двух функций и
Докажем, что . Имеем . Поведение функций и представлены на рис.3. Для расчета воспользуемся теми же приемами, что и при доказательстве того, что . Из рис.4 следует, что график произведения имеет симметричный вид на относительно точки . В силу этого .
Завершим доказательство исследованием общего случая для . Рассмотрим ситуацию, когда . Тогда
.
Здесь возможны два следующих случая: является четным или нечетным числом. Если – четное, то доказательство того, что аналогично рассмотренному выше случаю для , а если – нечетное, то . Теорема доказана.
На основе построенной системы аналогично с классическими рядами Фурье и преобразованием Фурье строятся ряды Кравченко-Фурье и обобщенные преобразования Кравченко-Фурье. Такой подход обобщается на различные системы АФ [1], а именно: , , , а также на обобщенную АФ теорему Уиттекера-Котельникова-Шеннона [3,4]. Проведенный численный эксперимент и сравнение с известными результатами [2] показали эффективность нового подхода к задачам спектральной теории ЦОС.
Работа выполнена в рамках гранта НШ-5708.2008.9
Литература
Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. М.: Радиотехника, 2003.
Трахтман А.М. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов.М.: Советское радио, 1972.
Кравченко В.Ф., Рвачёв В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит, 2006.
Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях./ Под ред. В.Ф. Кравченко, М. Физматлит, 2007.
Generalized KRAVCHENKO-FOURIER TRANSFORMs BASED ON the ATOMIC FUNCTIONS
Kravchenko V.1,Safin A.2
1Institute of Radio Engineering and Electronics ras,
125009, Moscow, ul. Mokhovaya 11, building 7, [email protected]
2Moscow Power Engeneering Institute,
111250, Moscow, ul. Krasnokazarmenaya 14, [email protected]
In this paper the orthogonal systems of basic functions based on the atomic functions (AFs): are constructed. Generalized Kravchenko-Fourier transforms and generalized Kravchenko-Fourier series based on AFs are considered. Traced numerical experiments and comparisons with known results shown it’s efficiency for spectral theory and digital signal processing.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТОВ КРАВЧЕНКО В СИСТЕМЕ ПАК-Б
Хитров О.В.
Научно-технологический центр уникального приборостроения РАН,
ул. Бутлерова, д. 15, Москва, 117342, т. (495)333-61-02, holeg21@mail.ru
Переносной анализатор качества (ПАК-Б) предназначен для проведения спектральных исследований различных бензинов с целью идентификации их марок[1], а также установления соответствия нормативным документам по основным показателям качества.
Отличительные особенности ПАК-Б:
Контроль бензинов, практически, по неограниченному числу параметров.
Оперативность (время анализа не более 5 минут).
Использование в полевых условиях.
Простой интерфейс и минимальный набор измерений не требует от оператора специальной подготовки и позволяет значительно сократить расходы на обучение персонала.
Алгоритм, с помощью которого происходит оценивание параметров, построен с использованием теорий статистических решений и нечетких множеств.
Алгоритмы обучения и распознавания образов позволяют в процессе эксплуатации комплексов повышать точность определения параметров.
Используемые алгоритмы и существующее программное обеспечение позволяют быстро адаптировать экспертную систему к решению всевозможных задач оценки качества (в том числе технологических процессов приготовления углеводородных соединений).
Web-интерфейс предоставляет возможность осуществлять создание обучающей выборки из удаленных источников через internet, что способствует вовлечению в работу сразу нескольких экспертных источников знаний и значительно повышает качество получаемых результатов.
Рис.1. Оптическая плотность бензина АИ-95
В докладе предложено модернизировать программное обеспечение ПАК-Б с помощью использования известных вейвлетов[2], а также новых вейвлетов Кравченко[3-5]. Алгоритм работы системы ПАК-Б состоит из нескольких этапов: получение спектров (оптической плотности) исследуемых бензинов на портативном Фурье спектрометре ПАК-Б[6], используя встроенное программное обеспечение прибора; анализ марки исследуемого бензина, на основе заранее созданной базы данных; анализ заданных параметров бензина, например, концентрации бензола. Размер одного спектра бензина составляет порядка 4000 точек. При большом количестве бензинов в базе данных существенно возрастает трудоемкость вычислений. Использование вейвлетов для сжатия спектров бензинов позволяет сократить этот размер до 150 -200 точек. Для этого в алгоритм работы системы необходимо добавить операции сжатия спектров и их декомпрессии. Дискретное вейвлет преобразование (ДВП) обладает свойством локализации энергии сигнала, то есть, более 90% вейвлет коэффицентов преобразования по значению близко к нулю. Устанавливая определенный порог для вейвлет коэффициентов, ниже которого их считают равными нулю, и, используя стандартные методы кодирования[7] сигналов осуществляют сжатие спектров. По числу нулевых коэффициентов вейвлет преобразования можно приблизительно оценить степень сжатия спектра. Кроме сжатия данных, ДВП позволяет уменьшить шумовую составляющую сигнала. Очищение от шума – стандартная операция цифровой обработки сигналов. Обычно шумом считаются высокочастотные компоненты сигнала, которые соответствуют малым размерам деталей при проведении вейвлет-анализа. Идея шумоподавления состоит в том, чтобы удалить высокую частоту (малые детали) таким образом, чтобы лежащие в основе сигнала структуры (завуалированы шумом) были сохранены и восстановились в процессе очищения от шума. Процедуру очищения от шума спектра можно представить в виде трех этапов: выполнение ДВП, определение уровня порога в детализирующем сигнале спектра в соответствии с масштабами, которые могут быть отнесены к шуму, восстановление спектра из обработанных детализирующих сигналов. Очевидно, что очищение от шума и сжатие базируются на одних и тех же свойствах ДВП – кратномасштабном анализе и локализации энергии. В системе ПАК-Б эти операции можно совместить в одной. Далее в качестве примера приведено сжатие и восстановление спектра бензина марки АИ-95 рис. 1 с использованием вейвлетов Кравченко [4] при N=4, J=5 шагов разложения. Пороговый уровень был выбран равным 5%, то есть степень сжатия примерно составляет 95% исходного сигнала.
В таблице 1 приведены коэффициенты фильтра {hn} вейвлетов Кравченко {} N=2, 4, 8 и 16. На рис. 2 показаны коэффициенты вейвлет разложения спектра бензина, а на рис. 3 восстановленный сигнал. Для оценки меры совпадения исходного сигнала спектра с преобразованным было предложено использовать стандартное отклонение, которое составило для исследуемого бензина с данным ДВП 0,8%. При использовании ДВП на основе вейвлета Добеши “db7” с таким же уровнем разложения J=5 и уровнем порога 5% стандартное отклонение составило 1,6%. Оба ДВП убирают из сигнала едва заметную паразитную высокочастотную гребенку.
Таблица 1
| n | hn=h–n | |||
| N=2 | N=4 | N=8 | N=16 | |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 | 0,753117883758 0,440682932200 –0,043178930071 –0,123388058647 0,035499766971 0,050890260724 –0,025102187531 –0,018883182785 0,014608128980 0,004210371266 –0,006197778215 0,001052542629 0,000962971314 – – – – | 0,751690134933 0,441222946160 –0,041796290935 –0,124987992607 0,034309220121 0,053432685600 –0,024353106483 –0,022045882572 0,014555894480 0,007442614689 –0,006923189587 –0,001611566664 0,002253528579 0,000052445920 –0,000189566204 –0,000032923756 –0,000258206216 | 0,750092264349 0,441804458720 –0,040337135646 –0,126642108835 0,033264607367 0,055874341507 –0,023954411397 –0,024800230517 0,014884321152 0,009947166461 –0,007820846788 –0,003415104011 0,003357819409 0,000997896020 –0,001105219900 –0,000290154439 0,000240195056 | 0,746857186778 0,442980700797 –0,037578904439 –0,129802611904 0,031727074259 0,060084982659 –0,023867818123 –0,028974663341 0,015935658919 0,013273539823 –0,009386352535 –0,005580802604 0,004835056468 0,002140730448 –0,002149802505 –0,000770385258 0,000807115905 |
Рис.2. Коэффициенты вейвлет разложения спектра бензина АИ-95
Цифровая обработка сигналов и ее применение
Digital signal processing and its applications
страница 1
скачать
Другие похожие работы: