Теория и методы цифровой обработки сигналов

По сути, сам алгоритм представляет собой два вложенных друг в друга цикла: счетчик внешнего цикла увеличивается, когда производится переход к извлечению следующей моды, а внутренний цикл – это и есть сам процесс отсеивания. Он направлен на извлечении данной моды, номер которой зафиксирован внешним циклом. Процесс отсеивания применяется для каждой моды, однако число итераций может отличаться, причем порой даже на несколько порядков. Поскольку сам процесс является итерационным, то невозможно заранее предсказать, сколько именно заходов потребуется в каждом конкретном случае. Обычно число итераций ограничивают числом 2000, и иногда для сложных сигналов, представляющих собой совокупность нескольких процессов, число итераций для некоторых мод переваливает и за эту границу. Поэтому специально были придуманы и изучены различные критерии остановки процесса отсеивания [1], некоторые из которых приведены ниже:

- процесс отсеивания для очередной моды прекращается, если общее число уже проведенных итераций превышает некоторый допустимый предел. Обычно максимальным значением этой величины является 2000 итераций;

- процесс отсеивания для очередной моды прекращается, если число экстремумов и нулей на текущей итерации либо совпадает, либо отличается не более, чем на 1. Данный критерий имеет то преимущество, что он непосредственно связан с определением моды. При этом, как правило, если выполняется условие равенства числа нулей и экстремумов (или они отличаются на 1), то требование равенства нулю полусуммы верхней и нижней огибающих также оказывается выполненным;

- процесс отсеивания для очередной моды прекращается, если значение показателя нормированной квадратичной разности между значениями функции на 2-х последовательных итерациях , где – длительность сигнала; и – номера 2-х последовательных итераций процесса отсеивания; h_1k и h_1(k-1) – значения функции на 2-х последовательных итерациях, выходит за границы интервала [0.2;0.3]. Указанный интервал получен экспериментальным способом для рассматриваемых ТМ сигналов. В общем случае пороговое значение показателя может быть изменено. Главным недостатком данного критерия является то, что он никаким образом не учитывает определение моды, а именно ни условия равенства числа нулей и экстремумов, ни равенство нулю полусуммы огибающих. Следовательно, вполне возможен вариант, когда результатом процесса отсеивания окажется функция, не удовлетворяющая одному из необходимых условий, что даст неверный результат в целом.

Полученные на первом этапе моды позволяют выполнять удобное для дальнейшего анализа преобразование Гильберта-Гуанга, в результате которого процесс представляется в частотно-временной области с возможностью выявления скрытых модуляций и областей концентрации энергии. Т.к. декомпозиция основана на данных конкретной локальной временной области ТМ сигналов, то она применима к нестационарным процессам. С помощью преобразования Гильберта эмпирические моды определяют мгновенную частоту как функцию времени, позволяющую получить отчетливую идентификацию внутренней структуры процесса. Итоговым результатом является трехмерное представление “амплитуда-частота-время” или же, в несколько измененной модификации, представление “энергия-частота-время”, построенное в виде спектра Гильберта. Главными концептуальными нововведениями данного метода является введение понятия “эмпирических мод”, основанного на локальных свойствах сигнала, что придает значение понятию мгновенной частоты; введение понятия мгновенной частоты для сложного сигнала, которое исключает необходимость использования дополнительных гармоник для представления нестационарных сигналов.

Литература

1. Huang N., Shen S. Hilbert-Huang Transform and Its Applications, World Scientific, 2005.

2. Huang N.E., etc. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for non-linear and non-stationary time series analysis. - Proc. Royal Soc. London, Vol. 454, pp. 903-995, 1998.

3. Flandrin P., Gonsalves P., Rilling G. Detrending and denoising with empirical mode decomposition. - IEEE Signal Process, pp. 1581-1584, 2004.

4. Flandrin P., Rilling G., Gonsalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank.- IEEE Signal Process. Lett., Vol. 11, pp. 112-114, 2004.


EMPIRICAL MODE DECOMPOSITION IN CONTEMPORARY DIGITAL SIGNAL PROCESSING

Klionskij D.

Research and Engineering Centre of Saint-Petersburg State Electrotechnical University "LETI"

Empirical Mode Decomposition, or, simply, EMD, is one of the most advanced techniques, considered in contemporary Digital Signal Processing. Due to the recent invention by N. Huang in 1998 most of its implementations still need further investigation, nevertheless, this method has already shown its high effectiveness in solving many problems of DSP. The latter involve carrying out multiresolution analysis of signals, decomposing an arbitrary nonlinear and non-stationary signal in a finite number of specialized basis functions, which helps better understand the underlying processes as well as internal structure and local features. Besides, EMD allows adaptive denoising and detrending, classification on the base of Hurst parameter, extrapolation and extensive statistical analysis. Finally, the 3-dimensional spectral representation, namely, Hilbert-Huang spectrum, is evaluated and the original signal is represented in time-frequency domain with the subtle resolution on both time and frequency axes.

The key role is played by the mentioned basis functions, called IMFs (Intrinsic Mode Functions), which may be deprived of an analytical description but they must necessarily satisfy 2 obligatory conditions:

1. 
   The total number of extrema and zero-crossings are either equal or differ at most by one.
   
2. 
   The half-sum of 2 envelopes, the upper one, interpolating all local maxima and the lower one, interpolating all local minima, should be close to zero.
   

The examples of IMFs are harmonic function, chirps, rectangular sequence of impulses, Gaussian radioimpulse and etc. Cubic splines have been assumed to fit the problem of interpolation the, as they are smooth, twice differentiable and provide the least intensive oscillations. In spite of this some problems still remain: swings on the ends, undershootings and overshootings, too much computational time required. Thus, some new approaches have been worked out for the sake of avoiding these drawbacks (parabolic EMD).

The algorithm is completely adaptive, denoting that IMFs are extracted directly from the original signal by the predetermined sequence of steps. At each step we obtain the detailed component (an IMF) and the rough component (the approximation component, the residual). No restriction are imposed on the nature functions, unlike, for example, in Fourier analysis. Decomposition is proved to be adaptive, full and local, which is desirable for processing non-stationary signals. The algorithm is iterative, thereby, the number of iterations for every IMF should be defined via specialized criterion. This “sifting process” sometimes requires too many iterations which is considered to be a very substantial problem. So far a conception of interpretation of EMD as a dyadic filter bank has been worked out and it’s very useful for exploring the frequency peculiarities of IMFs and interpretation of the technique in terms of frequency analysis. This structure comprises band-pass filters with overlapping on the frequency band.

The main branch of the technique is called global EMD. Local EMD is supposed to be more accurate due to the improvement of sifting, which is here applied more reasonably. On-line EMD caters for processing extremely long signals. Finally, fast EMD is advantageous for saving time, taken by the whole procedure, because it substitutes splines for the specially designed functions, which usually reveal non-significant errors, in comparison with the global EMD, but simultaneously, help obtain IMFs a great deal quicker.

Denoising and detrending are very actual and perspective, concerning EMD. The possible algorithms are denoising on the base of energy estimation, hard and soft thresholding. Detrending has been primarily worked out on the base of statistical properties of IMFs. Hence, the results well correspond to the expected ones because of their highly-adaptive and data-driven nature. Another very essential aspect is experimentally evaluating the Hurst parameter which is very important for regularity extent estimation. The final goal is to obtain a 3-dimensional Hilbert-Huang representation, which is also very suitable and convenient for non-stationary signals. It enables discovering various types of hidden modulations, including amplitude and frequency ones, finding out the areas of energy concentration and classifying signals according to their Hilbert spectrum.



АЛГОРИТМЫ ОЧИСКТКИ ОТ ШУМА НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ НА ЭМПИРИЧЕСКИЕ МОДЫ

Клионский Д.М.

Научно-инженерный центр Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета “ЛЭТИ”

Одним из важнейших приложений метода декомпозиции на эмпирические моды [1-4] является очистка сигнала от шума [1,3]. Эта операция является важнейшей на стадии предварительной обработки, поскольку во многом от качества ее проведения зависит эффективность всей дальнейшей обработки. В настоящее время разработано довольно большое число разнообразных алгоритмов, направленных на удаление шума из сигнала. Наиболее популярные из них – мягкая и жесткая пороговая обработки коэффициентов, полученных путем проведения вейвлет-анализа сигнала [5], использование различных критериев, также основанных на применении вейвлет-разложения сигнала. В данной статье будут представлен один из самых новых и современных методов очистки сигнала от шума, базирующийся на идеях и особенностях алгоритма ДЭМ. Прежде всего, отметим, что конечной целью данной процедуры является, как уже было сказано, очистка сигнала от шума. Однако наряду с этим должна быть предварительно решена задача классификации мод на сигнальные, которые содержат полезную информацию о процессе, и шумовые, представляющие собой шум. Можно утверждать с очень высокой степенью достоверности, что шумовые моды находятся в числе начальных, что объясняется их высокой средней и мгновенной частотами – признаком, присущим большинству быстро меняющихся шумовых процессов. Однако очевидная, на первый взгляд, трактовка начальных мод (до определенного номера) как шумовых является в данном методе принципиально ошибочной, поскольку шумовая мода, пусть даже и низкочастотная, может вполне встретиться и на дальнейших уровнях разложения. Другими словами, полезные и шумовые моды могут чередоваться и соотноситься произвольным образом, и изначально их местоположение неизвестно. Данный подход является очень эффективным при анализе нестационарных сигналов по сравнению с обычной фильтрацией высокочастотных компонент, поскольку во втором случае может быть безвозвратно потеряна полезная информация о сигнале, сосредоточенная в области высоких частот.

Далее будет рассматриваться случай, соответствующий наличию аддитивной смеси сигнала и белого гауссовского шума. Первым этапом является определение показателя Херста для шумового процесса, входящего в исходную аддитивную смесь. Данная величина может быть найдена исходя из некоторых априорных сведений, однако чаще всего она принимается равной . Этот случай соответствует практически идеальной модели белого гауссовского шума, в то время как остальные возможные значения данного показателя () соответствуют другим классам шумовых процессов, гораздо реже встречающихся на практике.

Затем производится расчет энергии каждой из полученных мод. Энергия моды – сумма квадратов ее отсчетов, что соответствует методу вычисления этой величины в классическом Фурье-анализе. Расчет производится по следующим формулам: , где - энергия -ой моды; - константа, определяемая энергией первой моды и табулированными коэффициентами , зависящими от значения показателя Херста.

После этого определяются доверительные интервалы, по которым будет непосредственно выноситься решение об отнесении моды к шумовой либо к сигнальной. Обычно используются 95% и 99% доверительные интервалы, что объясняется во многом высокой вероятностью принятия правильного решения по результатам классификации. Выражение, определяющее доверительный интервал, описывается в линейном масштабе довольно сложно и громоздко. Однако его замечательное свойство заключается в том, что переход к логарифмическому масштабу позволяет существенным образом упростить запись, представив ее в виде линейной зависимости: , где - номер моды; - коэффициенты, определяемые выбранной доверительной вероятностью (95% или 99%) и показателем Херста шумового процесса. Коэффициенты и являются табулированными величинами. Из формулы видно, что выражение для доверительного интервала описывается линейной функцией, зависящей от номера моды , следовательно, ее определение как интервала не совсем корректно, т.к. она определяет только одну границу. Поэтому более правильным было бы название “граничная линия” или “граничное значение”.

Таблица 1. Параметры соответствующих доверительных интервалов.

H		(95%)	(95%)	(99%)	(99%)
0.2	0.487	-2.435	0.458	-1.951	0.452
0.5	0.719	-2.449	0.474	-1.919	0.460
0.8	1.025	-2.331	0.497	-1.833	0.495

Определив энергии мод и граничную линию для принятия решения, необходимо совместно отобразить энергии мод и доверительную границу в системе координат “номер моды – двоичный логарифм энергии”. Поскольку граница используется для классификации мод по их энергиям, то эти величины (значение доверительной границы и энергии) оказываются примерно одного порядка. Следовательно, является возможным их отображение совместно в одной системе координат.

Моды, энергия которых превышает доверительную границу, трактуются как сигнальные, т.е. содержащие полезную, нужную информацию, в то время как моды, чья энергия уступает по значению этой границе, представляют собой шум.

Получив классификацию мод, т.е. их точное в соответствии с выбранной доверительной вероятностью отнесение к классу сигнальных и шумовых, остается провести реставрацию сигнала на основе полученных результатов. При этом сумма всех мод, отнесенных к разряду сигнальных, будет представлять собой полезный сигнал, очищенный от шума, а сумма мод, отнесенных к разряду шумовых, будет являться выделенным из аддитивной смеси шумом.

Еще одной возможностью данного подхода является построение т.н. линейной модели энергий мод, выделенных из исходной смеси. Эта модель рассчитывается теоретически и представляет собой идеальный случай – отсутствие вредного, мешающего шума и присутствие лишь одного полезного сигнала. Эта модель обычно строится совместно с энергиями мод и доверительной границей и позволяет оценить степень расхождения реального случая и идеального. Модель описывается следующим соотношением:

, где - энергия -ой моды.

Используемые в выше описанном алгоритме коэффициенты и , представляющие его ключевой этап – выбор доверительной границы – рассчитаны экспериментально, путем добавления к эталонному детерминированному сигналу различных реализаций гауссовского шума. Главным достоинством изложенного подхода является его четкость, интуитивная ясность основных идей и уже неоднократно упоминавшаяся адаптивность. Кроме того, появляется возможность построения модели, соответствующей идеальному случаю отсутствия шума, что позволяет количественно и качественно определить степень и характер зашумленности сигнала.

Н

а рис. 1 приведен пример очистки от шума затухающего синусоидального сигнала.
Рис. 1. Иллюстрация процедуры очистки от шума.

На рис. 1 (a) показана зависимость логарифма энергии моды от ее номера (толстая сплошная линия), соответствующая линейная модель для (тонкая сплошная линия) и 99% доверительный интервал. Из рис. 1 (а) видно, что энергия 5,6,7-й мод превосходит соответствующее граничное значение, следовательно, эти моды трактуются как сигнальные. Остальные же моды (1,2,3,4-я) относятся к шумовым. Исходный зашумленный сигнал изображен на рис. 1 (b). Результат процедуры очистки от шума показан на рис. 1 (c) и 1 (d), где представлены очищенный от шума сигнал (сумма последних 3-х мод) и выделенный высокочастотный шум (сумма первых 4-х мод). Эффективность работы алгоритма подтверждается представленными результатами.

Среди недостатков необходимо упомянуть необходимость априорных сведений о показателе Херста, т.к. большинство параметров алгоритма выбираются именно исходя из этого априорного знания. Как уже было сказано, чаще всего встречаются случаи, когда , однако вполне может оказаться, что присутствующий шум имеет редкую природу, и тогда подобного рода приближения порождают большие неточности в конечном результате. В этом случае существует еще один подход, очень похожий на только что описанный, но при этом отличающийся от него некоторыми упрощениями, касающимися, прежде всего, выбора доверительной границы, а если быть точнее, то порогового значения.

Данная модификация заключается в том, что вместо расчета доверительной границы, экспериментально производится определение порогового значения для энергий мод. Практика показывает, что этот порог, определенный на 5-7 различных сигналах, дает хорошие результаты на других сигналах, относящихся к этому же классу, которая определяется в данном случае по структуре найденной декомпозиции. Выделение такой группы сигналов позволяет применять найденное пороговое значение для шумоочистки к любому представителю данной группы. Смысл этого порогового значения такой же, как и в предыдущем методе: моды, энергия которых превышает порог, классифицируются как сигнальные, в противном случае – как шумовые. Пороговое значение обычно выбирается экспериментально, но обычно оно не превосходит 20% от энергии сигнала. Но это число, как и сам подход, носит эвристическую природу, следовательно, для большей надежности оно должно быть проверено и при необходимости скорректировано. Недостатком данной упрощенной модификации, является сложность в различении полезного высокочастотного сигнала и вредного высокочастотного шума, что может встретиться, например, при анализе мультигармонического процесса с частотой одной из гармоник, много большей другой. В этом случае вторая высокочастотная гармоника часто идентифицируется как шум.

На рис. 2 изображен переходный процесс, представляющий собой аддитивную смесь с гауссовским шумом. Для применения описанного алгоритма необходимо, выполнив декомпозицию, построить гистограмму энергий мод и выбрать доверительный интервал, равный, в данном случае, 5% . Исходя из вида гистограммы на рис. 2 можно сделать вывод, что все моды, кроме 7,8-й и 12-й, являются шумовыми, т.к. их энергия меньше 5% (выбранное пороговое значение, обозначенное на рисунке жирной линией) от энергии сигнала. Отношение сигнал шум (отношение мощностей сигнала и шума) составляет в данном примере 8.2 дБ.

Рис. 2. Иллюстрация процедуры очистки от шума сложного сигнала.

Два представленных алгоритма в подавляющем большинстве случаев дают точные и правдоподобные результаты при проведении очистки от шума. Они адаптивны, не требуют значительного количества времени и ресурсов вычислительного устройства и позволяют также выявить степень зашумленности сигнала. Наконец, в настоящее время осваивается методика очистки от шума на основе мягкой и жесткой пороговой обработки отсчетов мод [5]. Предполагается, что каждая найденная мода содержит в себе сигнальную и шумовую компоненты, что можно записать как: , где - -ая мода, - сигнальная составляющая, - шумовая составляющая. Тогда , где - определенный оператор, - определенное одним из способов пороговое значение. Тогда аналитически выражения для мягкой и жесткой пороговой обработки будут выглядеть следующим образом:

1) 2)

1 – соответствует мягкой пороговой обработке отсчетов, 2 - жесткой пороговой обработке.

Рис. 3. Иллюстрация жесткой пороговой обработки отсчетов сигнала.

Пороговые значения определяются по формуле: , где - число отсчетов в сигнале, а - робастная выборочная оценка стандартного отклонения шумовой составляющей моды, которая может быть найдена по следующей формуле: .

Обычно пороговая обработка применяется к начальным модам (первым 3-4-м в разложении), что связано с тем, что большая часть шумовой составляющей из исходной аддитивной смеси, попадает в начальные, высокочастотные компоненты разложения [4]. Жесткая пороговая обработка в основном применяется к зашумленным сигналам, содержащим скачки и резкие изменения, в то время как мягкая пороговая обработка используется при работе с достаточно гладкими, регулярными сигналами. Пример жесткой пороговой обработки приведен на рис. 3 (использовались 4 первых моды).

На рис. 3 в верхней части приведен исходный сигнал. Далее показана смесь этого сигнала и аддитивного гауссовского шума с нулевым средним и единичной дисперсией. Наконец, внизу изображен сигнал после очистки от шума. Используя известные критерии качества проведения процедуры шумоочистки, (SNR – отношение сигнал-шум, RMSE – среднеквадратическая разность между исходным и восстановленным сигналами, MAE – средняя абсолютная ошибка) можно записать: .

Литература

1. Huang N., Shen S. Hilbert-Huang Transform and Its Applications, World Scientific, 2005.

2. Huang N.E., etc. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for non-linear and non-stationary time series analysis. - Proc. Royal Soc. London, Vol. 454, pp. 903-995, 1998.

3. Flandrin P., Gonsalves P., Rilling G. Detrending and denoising with empirical mode decomposition. - IEEE Signal Process, pp. 1581-1584, 2004.

4. Flandrin P., Rilling G., Gonsalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank.- IEEE Signal Process. Lett., Vol. 11, pp. 112-114, 2004.

5. Малла С. обработке сигналов – М.: Мир, 2005.

