Теория и методы цифровой обработки сигналов
Теория и методы цифровой обработки сигналов
| |
| а |
| |
| б |
| Рис. 3. Спектр сигнала на входе и выходе ФД |
В качестве фильтра нижних частот использован фильтр на основе атомарной функции семейства .
Из анализа рис. 3 следует, что спектр сигнала на выходе модифицированного ФД сместился на нулевую частоту, а его форма практически не изменилась.
Выводы. Таким образом, предложенный алгоритм оцифровки и предварительной фильтрации позволяет значительно снизить требования к вычислительному ресурсу системы, а именно: произведений, за счет устранения операций умножения входной последовательности на синусную и косинусную составляющие, уменьшить на операций; инверсий отсчетов квадратурных составляющих входной последовательности, за счет учета инверсии элементов импульсной характеристики ФНЧд, − в раз; децимация на уровне ФНЧ позволяет уменьшить количество векторных произведений в раз; снизить вдвое требования к размеру буфера блоков C и S за счет отбрасывания нулевых отсчетов квадратурных составляющих сигнала.
При этом количество операций произведения составляет , вместо первично требуемых . В отличие от алгоритма, предложенного в [1], предложенный способ более адаптирован к аппаратной реализации. Анализ результатов моделирования подтвердил адекватность предлагаемого способа цифрового синхронного детектирования широкополосных сигналов.
Литература
1. Радиолокационные станции с цифровым синтезированием апертуры антенны. / Под. ред. В.Т. Горяинова. – М.: Радио и связь, 1988.
2. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. – М.: Радиотехника, 2003.
3. Кравченко В.Ф., Чуриков Д.В., Юрин А.В. Аналитическое описание локусов сложной формы R-операциями и атомарными функциями. Цифровая обработка сигналов и изображений. Успехи современной радиоэлектроники. – 2007. − №3. − С. 6-37.
METHOD OF DIGITAL SYNCHRONOUS DETECTING OF BROADBAND SIGNALS
Yefimov V.1, Kabanov А.1, Volosyuk V.2, Pavlikov V.3
1 Center of radiophysical sounding the Earth of name Kalmikova NAS of Ukraine and NSA of Ukraine
2National Aerospace University
3 Air Force University, Kharkov Named After Ivan Kozgedub
The method of digital synchronous detecting of broadband signals is offered. The main attention is given simplification of hardware realisation of detecting of broadband signals for which condition where and − the central frequency and width a spectrum of a signal is satisfied.
The idea of an offered way is based on setover phases of a basic signal in the channel of formation of an imaginary component of the detector on corner . It becomes possible at a choice of a step digitization of broadband signals , − where intermediate -frequency. In that case the orthogonal components used at phase detecting, will be transformed to sequence 0, 1 and -1, that corresponds to the admission, to leave without change and to inverting of corresponding readout. Zero readout quadrature components and inverting are offered for considering in the pulse characteristic of the filter of low frequencies. Possibility decimate quadrature signal components at a filtration stage that allows to lower necessary requirements to computing expenses is shown.
Taking into account specified above features, from the pulse characteristic of the filter it is necessary to allocate such subpulse characteristics
and
where − the pulse characteristic of the filter of the size ; and − readout of entrance signal , ; − operation of division of number on module (shows a remainder of division); − factor decimate. Orthogonal component is formed similarly, sequence on changes only.
The received theoretical conclusions are confirmed by mathematical modelling. The quantity of operations of product decreases to with originally necessary . Application of filters of low frequencies on the basis of atomic functions of family Is offered. Their use allows to change a kind of the peak-frequency characteristic of the filter flexibly.
ОЦЕНКА МГНОВЕННОЙ ЧАСТОТЫ СИГНАЛА
Злобин В.А.
Вятский государственный университет
Мгновенная частота сигнала - параметр, имеющий значительную практическую важность и является хорошим объяснением некоторых физических явлений, наблюдаемых в биомедицине, связи, сейсмологии, гидролокации, радиолокации и в других областях исследований. Радиосигналы могут представлять собой колебания по очень сложному закону: быть модулированы одновременно по амплитуде и частоте (или фазе). Поэтому в задачах распознавания закона модуляции сигнала определение его мгновенной частоты занимает одно из центральных мест. При представлении подобных сигналов в форме: (1),
возникает неоднозначность в выборе функций и , так как при любой функции всегда можно удовлетворить уравнению (1) надлежащим выбором функции [1].
Поэтому при математическом анализе очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразования данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов. Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе сигналов и систем их обработки. Он позволяет определить огибающую сигнала, его мгновенную фазу и мгновенную частоту [2]: (2)
где - вещественный сигнал, -оператор преобразования Гильберта и вычисляется: (3). Мгновенную частоту принято определять как производную мгновенной фазы аналитического сигнала: (4). Мгновенная фаза определяется как аргумент аналитического сигнала: (5).
При цифровой обработке сигнала мы обычно имеем дело не с непрерывной его формой, а с дискретной. Следовательно, мы не сможем точно получить производную, поскольку дискрет времени принимает конечное значение. Тогда синфазная и квадратурная составляющие сигнала будут иметь вид: (6), где - номер отсчета, N – общее число имеющихся отсчетов сигнала, - текущая фаза сигнала.
В дискретном виде производная определяется в форме конечной разности [4], допустим для вычисления мгновенной частоты: - “обратная” разность (7)
– “прямая” разность (8)
- “центрированная” разность (9)
Новый метод вычисления мгновенной частоты.
Вычислим следующие выражения, принимая во внимание, что и , и пользуясь результатами (8) и (9) при вычислении значений фазы: (10)
где нижний индекс «пр» означает, по аналогии с прямой конечной разностью, что используется отсчет в следующий момент времени. Вычислим второе выражение, в котором используется отсчет сигнала в предыдущий момент времени: (11)
Следовательно, выражения (10) и (11) можно применить для оценки мгновенной частоты: (12), (13)
Применение такой оценки МЧ ограничено, поскольку ошибка при вычислении оценки МЧ имеет такую же природу, что и ошибка, возникающая при вычислении оценки производной функции методом конечных разностей. Чтобы вычислить данную ошибку, положим, что фаза сигнала представляет собой полином степени p: (14).
Теперь найдем значение фазы в следующий момент времени и в предыдущий с помощью формулы бинома Ньютона: (15)
В предыдущий момент времени значение фазы будет: (16)
Подставим полученные выражения значений фазы в (7)-(9) для вычисления конечных разностей: - “обратная” разность (17)
- “прямая” разность (18)
- “центральная” разность (19)
В выражениях (17), (18) и (19) фигурируют функции ошибки rem2(n), rem1(n) и rem(n) соответственно, зависящие от n: (20), (21),
(22)
Проанализировав выражения (20) - (22) можно сделать вывод о том, что при использовании конечной разности при вычислении мгновенной частоты:
а) не присутствует ошибка, если степень образующего полинома фазы p<2, т.е. это функции постоянной величины или равномерно изменяющиеся (гармонический сигнал): ;
б) При вычислении производной через прямую или обратную конечную разность ошибка присутствует и не зависит от номера отсчета при степени образующего полинома фазы p=2 (ЛЧМ сигнал): . При вычислении через центральную конечную разность ошибки нет: ;
в) ошибка присутствует и зависит от номера отсчета при степени образующего полинома p>2 (нелинейный закон изменения частоты).
Устранить постоянную ошибку, которая будет возникать при ЛЧМ сигнале (при степени образующего полинома фазы p=2), которая, как описывалось ранее, будет равна , поможет «центрирование», т.е. полусумма оценок (12) и (13): (23)
Выводы:
Предложенный метод оценки мгновенной частоты не зависит от закона изменения амплитуды сигнала и не требует вычисления оценок фазы сигнала в каждый отсчет времени.
Литература
Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] : учеб. пособие для вузов / И. С. Гоноровский. - 5-е изд., испр. - М. : Дрофа, 2006. - 719 с. - ISBN 5-7107-7985-7 : 352.11
Финк, Л. М. Сигналы, помехи, ошибки… : заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи / Л.М. Финк. – М.:1984. – 256 с.
Boashash B. Estimating and Interpreting The Instantaneous Frequency of a Signal – Part 1:Fundamentals. - Proceedings of IEEE, 1992, v. 80, № 4, p. 520 - 538.
Boashash B. Estimating and Interpreting The Instantaneous Frequency of a Signal – Part 2:Algorithms and Applications. - Proceedings of IEEE, 1992, v. 80, № 4, p. 540 - 568.
ESTIMATING OF INSTATANEOUS FREQUENCY OF SIGNALS
Zlobin V.
Vyatka State University
The new algorithm of estimating of instantaneous frequency of signals is presented in this paper. Algorithm is based on development of well-known method of mapping of the differentials.
Estimation of instantaneous frequency of signal is callculated by expression: where , - instantaneous amplitude of , - Hilbert transform of .
СИНТЕЗ НОВЫХ КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ РЕКУРСИВНЫХ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
Лесников В.А., Наумович Т.В., Частиков А.В.
Вятский государственный университет
Известно, что цифровые фильтры (ЦФ) с заданной передаточной функцией могут быть реализованы с помощью большого числа структурных схем [1 - 4]. Структуры ЦФ различаются чувствительностью к точности представления коэффициентов, уровнем шумов округления результатов арифметических операций. Среди структур рекурсивных ЦФ известны так называемые канонические формы, определяемые как структуры, характеризующиеся минимальным числом блоков задержки (равным порядку фильтра) и минимальным числом блоков умножения [1, 2]. Для ЦФ -го порядка с передаточной функцией . (1). Широко известны две классические канонические формы – каноническая форма I и каноническая форма II, получаемая из формы I при помощи транспонирования [1 – 4]. В работах [6, 7] лестничные канонические структуры. Но, в отличие от классических структур, лестничные канонические структуры требуют большего числа операций сложения.
В данной работе выясняется, возможны ли другие канонические формы.
В работах [4, 7 - 11] показано, что любая структура ЦФ может быть описана топологической матрицей , элемент которой представляет собой коэффициент передачи от узла с номером к узлу с номером (предполагается, что все узлы структуры ЦФ пронумерованы рядом натуральных чисел, начиная с единицы).
Работу ЦФ на структурном уровне можно описать [4, 7] разностным матричным уравнением , (2), где – вектор отсчетов, вычисляемых во всех узлах ЦФ в момент времени ; – интервал дискретизации; - часть топологической матрицы, соответствующая структуре ЦФ, из которой исключены блоки задержки; - часть топологической матрицы, которая определяет положение блоков задержки; ; - вектор, все элементы которого равны нулю, за исключением равного единице элемента с номером ; - номер входного узла ЦФ; – отсчеты входной последовательности ЦФ. Взяв от (2) - преобразование, получим выражение , (3), где - -преобразование входной последовательности ; - вектор, компоненты которого равны - -преобразованиям последовательностей , вычисляемых в узлах структурной схемы ЦФ.
Из уравнения (3) получим , (4), где - единичная матрица. Передаточная функция ЦФ будет равна , (5), где - номер выходного узла ЦФ.
Матрица для любого ЦФ с узлами в результате соответствующей перенумерации узлов может быть приведена к виду нижней треугольной матрицы (на диагонали – нулевые элементы). Для эта матрица имеет вид . (6)
Матрица для канонических структур после перенумерации будет содержать элементов выше главной диагонали, причем в одной строке и в одном столбце может быть не более одного элемента , остальные элементы матрицы равны нулю [4, 8 – 10].
Поставленная задача решается перебором различных возможных положений элементов и номеров входных и выходных узлов и анализом соответствующих топологических матриц. В работах [4, 8 – 10] описаны методы, позволяющие уменьшить количество рассматриваемых вариантов. Для каждого варианта при помощи систем математических расчетов, поддерживающих символьные вычисления (Maple, Matlab, MathCAD), рассчитываются формулы для передаточных функций ЦФ, выраженных через коэффициенты ЦФ .
Например, для , , , , топологическая матрица имеет вид , (7), а уравнение (3) приводится к системе уравнений (8)
Из этого уравнения получаем выражение для передаточной функции
(9), и неопределенную систему пяти уравнений с шестью неизвестными для вычисления коэффициентов (10).
Для того, чтобы система стала определенной, а структура – канонической, необходимо задать один из шести коэффициентов. Для обеспечения минимальности числа операций сложения эти коэффициенты необходимо принять равными нулю. В рассматриваемом примере принимаем . В результате получаем структурную схему, представленную на рис. 1, коэффициенты которой можно рассчитать по следующим формулам: (11)
| | |
| Рис. 1. Каноническая структура | Рис. 2. Каноническая структура |
Анализ показывает, что для ЦФ второго порядка с четырьмя узлами существует шесть канонических структур с минимально возможным числом слагаемых, равным пяти. Две из этих канонических структур известны, а четыре являются новыми. Еще одна новая каноническая структура изображена на рис. 2. Остальные новые канонические структуры могут быть получены из представленных путем транспонирования.
Подобный анализ проведен и для структурных схем с пятью узлами. Этот анализ показал, что получить новые канонические структуры с минимальным числом слагаемых не удается, так как в полученных выражениях для расчетов коэффициентов обнуление некоторых избыточных коэффициентов приводит к необходимости деления на нуль. Но избыточные коэффициенты можно не обнулять, а принимать равными единице. В этом случае мы получаем структуры, подпадающие под определение канонических, но в них увеличивается число слагаемых. Такая же ситуация повторяется при дальнейшем увеличении числа узлов структурной схемы.
Еще большее число новых канонических структур получается для ЦФ более высоких порядков.
Таким образом, предложена методика синтеза новых канонических структур рекурсивных ЦФ. Новые структурные схемы позволяют увеличить число альтернатив при практической реализации ЦФ.
Литература
Введение в цифровую фильтрацию/ Под ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. – М.: Мир, 1976. – 216 с.
Mitra S. K. Digital signal processing: A computer-based approach. – Singapore: McGraw-Hill Book Co, 2001. – 866 pp.
Антонью А. Цифровые фильтры: Анализ и проектирование. – М.: Радио и связь, 1983. – 320 с.
Лесников В. А., Наумович Т. В. Структурный синтез цифровых фильтров. Учебное пособие. – Киров: Изд-во ВятГУ, 2006. – 196 c.
Mitra S. K., Sherwood R. J. Canonic realizations of digital filters using the continued fraction expansion. – IEEE Trans., 1972, v. AU-20. – p. 185 – 194.
Mitra S. K., Sagar A. D. Additional canonic realization of digital filters using the continued fraction expansion. – IEEE Trans., 1974, v. CAS-21. – p. 135 – 136.
Crochier R. E., Oppenheim A. V. The analysis of linear digital circuits. - Proceedings of IEEE, vol. 63, no. 4, pp. 581 - 595, 1975. Крошьер, Оппенгейм. Анализ линейных цифровых цепей. - ТИИЭР, 1975, т. 63, № 4, с. 45 - 60.
Лесников В. А., Наумович Т. В. Теоретико-числовые аспекты структурного синтеза цифровых фильтров. – Труды РНТОРЭС им. А. С. Попова. Серия: Цифровая обработка сигналов и ее применение. – М., - 2004. Выпуск: VI – 1. – с. 36-38.
Лесников В. А., Наумович Т. В. Теоретико-числовые и алгебро-топологические аспекты структурного синтеза цифровых фильтров. – Сборник трудов X-ой международной научно-технической конференции “Радиолокация, навигация и связь”. Т. 1, Воронеж, 2004. –
с. 209-217.
Lesnikov V., Naumovich T. Number-theoretic and algebraic aspects of structural synthesis of digital filters. - Proc. GSPx-2004, Pervasive Signal Processing, The 2nd International Signal Processing Conference, Santa Clara, CA USA, September 27 – 30, 2004; paper 1374.
Ritzerfeld J. H. F. Noise gain formulas for low noise second-order digital filter structures // Proc. ProRISC99, Utrecht: SRW, Technology Foundation, 1999. – p. 383 – 388.
SYNTHESIS OF NEW CANONIC FORMS OF IIR DIGITAL FILTERS
Lesnikov V., Naumovich T., Chastikov A.
It is known that digital filters described by the transfer function may be generally realized in the large number of block diagrams. Among structures of IIR digital filters so-called canonic structures are known. They are characterized by the minimal number of a delay elements (equal to the order of the filter) and the minimal number of multipliers.
In this paper it is found out, whether implementation of other canonic structures of digital filter is possible.
For decision of this problem description of structure of IIR digital filter by topological matrix is used.
Synthesis of new canonic structures is reduced to the solving of system of equations which describe the calculations of signal samples in nodes of block diagram of filter.
Thus, the technique of synthesis of structures of IIR digital filters with general transfer function with the minimal number of nodes, multipliers and delay elements is offered.
СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Михайлов Б.А.
ООО НПП «ИНФОТ», г. Зеленоград
Введение. Известные методы решения обратной задачи в линейных системах характеризуются тем, что полоса частот восстановленного сигнала не превышает физической полосы частот системы. Общим наименованием и отражением сущности этих методов является «редукция к идеальному прибору (РИП)» [1]. К тому же, решения, получаемые посредством РИП, принципиально отягощены искажениями, в первую очередь, межсимвольной интерференцией (МСИ) и осцилляциями Гиббса (ОГ).
Попытки получить более широкополосное решение (сверхразрешение) не только не удались, но и незаслуженно дискредитировали (например, [1, 2, 3]) в глазах научных работников и инженеров практическую ценность теоремы Винера-Пэли [4] о возможности аналитического продолжения спектра.
Удалась попытка НПП «ИНФОТ». Разработанный метод [5] назван «редукцией к совершенному прибору (РСП)». При обработке узкополосного выходного сигнала линейной системы метод дает широкополосный результат без МСИ и ОГ.
Теоретическая и практическая возможность сверхразрешения в задаче РСП обеспечивается учетом следующих факторов:
- аппроксимация входных сигналов системы финитными базисными сигналами не только позволяет решать обратную задачу подменой узкополосных реакций системы на базисные сигналы (в силу их попарного взаимнооднозначного соответствия) самими этими сигналами, но и делает решение инвариантным к виду передаточной характеристики системы;
- влияние нефинитности (точней, выхода за финитную операционную область) входных для системы сигналов имеет ту же природу, что и влияние краевых эффектов в традиционных задачах обработки сигналов; эти влияния обусловлены МСИ и убывают с увеличением перекрытия фрагментов обработки, деление на которые протяженного обрабатываемого сигнала практически неизбежно;
- при той же спектральной плотности шума сокращение физической полосы частот системы повышает отношение сигнал/шум.
Метод РСП решения обратной задачи. Входной для линейной системы представимый преобразованием Фурье сигнал х) может быть описан приемлемой (с проектным допуском) его оценкой как суперпозицией (1) финитных базисных сигналов с весами , которые зависят от и недоступного на выходе системы сигнала х).
Но выходные реакции системы на сигнал и на его оценку есть , где – операция свертки; х – импульсная реакция системы (импульсная функция, импульсная характеристика, функция рассеяния точки).
Следовательно, веса являются также коэффициентами разложения сигнала в ряд Фурье по базисным сигналам , если последние попарно ортогональны.
Поэтому в методе РСП обратная задача (задача определения оценки входного сигнала по реакции на него системы) решается последовательным выполнением следующих действий:
1. выбор финитных базисных сигналов (I – число базисных сигналов на операционном интервале);
2. ортогонализация [6] (в общем случае, необходимая) реакций системы на базисные сигналы , где – обозначение множества элементов, – операция ортогонализации;
3. определение коэффициентов разложения реакции системы х на сигнал f(x) в ряд Фурье по ортогональным базисным сигналам , где A – область определения сигналов и ;
4. определение оценки входного сигнала в виде (1) при , где – коэффициенты веса (относительные уровни) сигналов в , определяемые конкретным их видом.
C повышением детальности системы базисных сигналов, с уменьшением зашумленности реакций и системы на сигналы f(x) и оценка сходится к сигналу . Таким образом, относительно восстановления входного сигнала система с РСП является совершенной [5].
Это означает, что граничная частота физической полосы пропускания системы перестает быть особой точкой, определяющей предел достижимого разрешения элементов сигнала.
РСП в системах телевидения и связи. Применение РСП представляет собой самостоятельную, не всегда простую задачу решения вопросов реализационного характера, например, вопросов выбора базисных сигналов, обеспечения линейности системы, соблюдения положений теории [7] дискретной (цифровой) обработки сигналов, принятия достаточных антишумовых мер. Обозначенные системы интересны для анализа тем, что различаются не только видом информационного сигнала, но и особенностями среды его передачи. В первом случае оптическая компонента как среда передачи является безраздельной принадлежностью системы, во втором случае эфир является средой передачи коллективного пользования, что требует электромагнитной совместимости одновременно работающих систем.
В рассматриваемом аспекте системы телевидения хорошо представляются системами дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ), в том числе, системами ДЗЗ с разверткой изображения за счет движения средств их базирования.
До появления РСП для получения приемлемой экспозиции, понижения уровня МСИ и ОГ приходилось в 1.5÷5 раз увеличивать (рис. 1а) полосу пространственных частот оптического тракта по сравнению с полосой частот оптико-электронных преобразователей (ОЭП). Этот экстенсивный подход позволял решать практическую задачу получения отсчетов широкополосного сигнала посредством узкополосных ОЭП, но такое вынужденное отступление от требований теории цифровой обработки сигналов являлось чрезвычайно затратным и не позволяло улучшать характеристики систем обработкой изображений.
РСП исключает эти недостатки и сопровождается отраженными в [5, 8] положительными эффектами. Эти эффекты становятся особенно значимыми при построении ОЭП на основе полилинейных фоточувствительных приборов с зарядовой связью и режимом временной задержки и накопления (полилинейных ФПЗС ВЗН), в которых шаг дискретизации и размер чувствительного элемента задаются взаимонезависимо соответственно необходимым разрешению и экспозиции. При этом, соответственно общей длине столбцов полилинеек ВЗН, повышаются требования к вектору скорости движения изображения в фокальной плоскости оптики, что неизбежно, но обычно приемлемо (реализуемо).
Компьютерное моделирование иллюстрирует (таблица 1) превосходство системы, построенной соответственно принципам рис. 1б, по качеству выходного изображения.
| Таблица 1. Восстановление методом РСП объектов (трехшпальных меандровых мир) по их изображениям, полученным полилинейными ФПЗС ВЗН | ||||||
| Число фаз полили-нейки | Полосы частот оптики и ОЭП одинаковы (апертура оптики минимизирована благодаря РСП – частотный план по рис. 1б) | Полоса частот оптики в 3.2 раза шире по-лосы частот ОЭП (традиционный выбор оптики – частотный план по рис. 1а) | ||||
| | Выход ОЭП | Выход вос-становителя | | Выход ОЭП | Выход вос-становителя | |
| 3 | 12 | | 10 | | ||
| 7 | 12 | | 11 | | ||
Аналогичная картина частотного плана и эффективности использования полосы частот присуща и системам связи.
Без применения методов кодирования современные системы связи имеют [9] символьную пропускную способность меньшую физической полосы частот Найквиста примерно на 8 дБ. Но уже имеются публикации [10] о возможности символьной скорости передачи, превосходящей физическую полосу частот Найквиста, а РСП восстановление в настоящее время дает, согласно компьютерному моделированию (таблица 2), на порядок лучшие результаты (жирным шрифтом в таблице помечен максимальный выигрыш в фиксированной физической полосе частот).
| Таблица 2. Восстановление методом РСП данных, передаваемых по радиолинии | |||||
| Число NS бит в символе | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| Коэффициент ssf повышения символьной скорости передачи (по отношению к физической полосе частот Найквиста), при котором сбои еще отсутствуют, а внеполосные излучения соответствуют ограничительной кривой по ГОСТ 30318-95 | 13 | 20 | 30 | 30 | 40 |
| NS*ssf | 65 | 80 | 90 | 60 | 40 |
При моделировании для обеспечения континуального формирования реакции на передаваемые сигналы при простом ее аналитическом описании применены (на передающей и приемной сторонах) аналоговые резистивно-емкостные фильтры низких частот.
Литература
Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов. О редукции к идеальному прибору в физике и технике. - М.: Сов. радио, 1979, с. 109-121.
Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Перевод с англ. – М.: «Мир», 1982, 2 тома.
Финк Л. М. Сигналы, помехи, ошибки. Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи. – М.: Радио и связь, 1984, 256 с.
Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости: Пер. с англ. – М.: Наука, 1964, 267 с.
Михайлов Б.А. Новый фактор развития систем связи и телевидения интенсивным путем: передача временных и пространственных сигналов в сокращенной полосе частот. – Материалы III НТК «Системы наблюдения, мониторинга и дистанционного зондирования Земли». - М.: МНТОРЭС им. А.С. Попова, 2006 г.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – М.: Наука, 1974.
Богнер Р., Константинидис А. Введение в цифровую фильтрацию. – М.: Мир, 1976, 216 с.
Михайлов Б.А., Скирмунт В.К. Совершенствование сквозного информационного тракта систем ДЗЗ на основе подавления межсимвольной интерференции. – Материалы V НТК «Системы наблюдения, мониторинга и дистанционного зондирования Земли». - М.: МНТОРЭС им. А.С. Попова, 2008 г.
Банкет В.Л., Дорофеев В.М. Цифровые методы в спутниковой связи. – М.: Радио и связь, 1988, 240с.
Mazo G.E. Faster - than Nyquist-Signaling.-The B.S.T.J., New-York, USA: 1975, p. 1451 -1462.
SUPERRESOLUTION IN THE INVERSE PROBLEM FOR LINEAR SYSTEMS
Mikhailov B.
INFOT Co., Ltd, Zelenograd
Known methods of solution of an inverse problem in linear systems are characterised by that the band of frequencies of a solution does not exceed a physical band of frequencies of system. The general name and reflexion of essence of these methods is «the reduction to the ideal part (RIP)». The solutions achieved by means of RIP, are in essence burdened by distortions, first of all, an intersymbolical interference (ISI) and Giebbs oscillations (GO).
Attempts to achieve more broadband solution (superresolution) not only have not gone successful, but also vrongful discredited in the reception of science workcers and engineers practical value of the theorem of Wiener-Paley about a possibility of an analytic continuation of a spectrum.
Attempt Infot Co., Ltd has gone successful. The achieved method is named «by a reduction to the perfect part» (RPP method). At treatment of a narrowband output signal of linear system the method provides broadband result without an ISI and GO.
The theoretical and practical possibility of a superresolution in RPP problem is ensured with the registration of following factors:
- approximation of entering signals of system by a finite basis signals not only allows to solve an inverse problem substitution of narrowband responses of system on basis signals broadband basis signals, but also does a solution invariant to an variety of transmitting characteristic of system;
- influence infinite (more correctly, way out of a finite operational area) output signals of system has the same origin, as influence of frontier effects in traditional problems of treatment of signals; these influences are caused ISI and decrease with extension of crosscover of fragments of treatment;
- at the same spectral density of noise shortening of a band of frequencies increases the ration a signal/noise.
The RPP method of solution of an inverse problem is reduced to following operations:
- a choice of a finite basis signals for approximation of an entering signal of system;
- definition of weight factors at finite basis signals;
- calculation of an estimation of an entering signal in the form of superposition of basis signals with use of the weight factors.
Concerning restoration of an entering signal the system with RPP method is asymptotically (with a increase of detail of basis signals and decrease of noise) perfect. Concerning restoration of an estimation of an entering signal such system is perfect independente of degree of its approach to an entering signal.
In the report the mathematical description of a method, the analysis of its applications to communication systems and TV with estimations and illustrations of a increase of a resolution of elements of a signal ensured in them and data transfer velocities are given at observance of restrictions on outband radiations.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЛЬТРУЮЩИХ СВОЙСТВ СПЛАЙНОВ
Просочкин А.С.
Филиал «Восход» МАИ
468320, Байконур, пр. Гагарина, 5, [email protected]
В работе [1] показано, что если коэффициенты Ci базисных В-сплайнов произвольной степени m определяются в виде взвешенной суммы произведений отсчётов исходного сигнала, которые попадают в интервал носитель i-го B-сплайна, на соответствующие значения B-сплайна (далее индекс m в обозначении опущен) по формуле , (1), где l – число узлов B-сплайна на половине его интервала носителя, то спектр соответствующего полиномиального сплайна описывается следующим выражением (2)
В последнем выражении - значения В-сплайна в его узлах.
Амплитудные спектры полиномиальных сплайнов различных степеней m, приближающих одиночную импульсную функцию [1] с равномерным спектром, определённые в соответствии с формулой (2) для d=4, приведены на рис. 1.
Рис. 1 Амплитудный спектр одиночной импульсной функции, приближённой с помощью базисных В-сплайнов различных степеней при d=4.
Предположим, что в качестве системы базисных функций на равномерной сетке ti (i=0, 1, …,N; Δti=ti+1-ti=const) используется совокупность некоторых F-функций, для которых справедливы следующие свойства:
1. Каждая функция состоит из участков, которые образуют её интервал носитель , при этом за пределами интервала носителя F-функция тождественно равна нулю (локальные свойства F-функций).
Учитывая, что интервал носитель F-функции состоит из участков, в качестве системы базисных функций на равномерной сетке ti далее будем рассматривать только функции , соответствующие нечётному значению m (здесь и далее индекс m в обозначении F-функции опущен).
2. F-функции удовлетворяют условиям интерполяции , для i=0, 1, …,N; .
Здесь - символ Кронекера, т.е.
Таким образом, каждая из F-функций принимает значение равное единице лишь в одном узле, соответствующем середине его интервала носителя, и нулевые значения в остальных узлах.
3. Функции симметричны относительно середины их интервала носителя
Функции нормированы, т.е. , или
Такие функции называются фундаментальными базисными функциями и в соответствии с теоремой 1.4 [2] образуют базис в пространстве сплайнов, который может быть использован для построения фундаментальных сплайнов.
Очевидно, что фундаментальные базисные F-функции, как и В-сплайны являются финитными функциями, которые имеют локальный характер (свойство 1) и симметричны относительно середины интервала носителя (свойство 3). Поэтому, если их коэффициенты определять в соответствии с выражением (1), то для оценки спектра фундаментального сплайна может использоваться формула (2).
В формуле (2) в соответствии со свойством 2 F-функций
Следовательно, сумма в первых квадратных скобках формулы (2) равна нулю, а изменение спектра исходного сигнала описывается выражением . (3)
Можно показать, что амплитудный спектр (3) сигнала, представленного через фундаментальные базисные F-функции, коэффициенты которых определяются по формуле (1), имеет затухающий характер (низкочастотная фильтрация) с граничной частотой .
Существуют разные способы построения F-функций.
Например, в работе [3] приведён общий подход к конструированию локально-многочленных сплайнов достаточно высокой степени гладкости, свойства которых соответствуют свойствам F-функций. Если (m-1) – число непрерывных производных сплайна (степень гладкости сплайна), то базисная сплайн-функция локально-многочленного сплайна на каждом участке Δti описывается полином степени , и представляется в виде , для , (4)
В качестве F-функций можно использовать функции, построенные на основе соотношения , умноженного на некоторую функцию , параметры которой выбираются таким образом, чтобы выполнялись свойства 1 – 4. Например, если в качестве использовать функцию вида с параметрами, приведёнными в таблице (здесь m определяет только интервал носитель F-функции), то амплитудные спектры фундаментальных сплайнов, построенных на основе таких F-функций, приближающих одиночную импульсную функцию, приведены на рис. 3.
| Параметр | m=3 | m=5 | m=7 | m=9 | m=11 |
| A | 0,156 | 0,16628 | 0,06907 | 0,03798 | 0,02401 |
| p1 | 2 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| p2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Рис. 2. Амплитудный спектр одиночной импульсной функции, приближённой с помощью F-функций, построенных на основе соотношения при d=4.
Для вычисления кусочно-полиномиальных функций (i=0, 1, …, N) произвольной нечётной степени m можно использовать пару преобразований [4]
(5)
Цифровая обработка сигналов и ее применение
Digital signal processing and its applications
страница 1
скачать
Другие похожие работы: