Учебное пособие по курсу «Математика»

В этой формуле приняты следующие обозначения:

Функцию Φ(х) называют интегральной функцией Лапласа, а ее значения можно найти в соответствующих таблицах.

При вычислениях по интегральной формуле Лапласа следует иметь в виду, что интегральная функция Лапласа является нечетной функцией, т.е. .

ПРИМЕР: Вероятность выпуска цехом завода бракованных деталей постоянна и равна 0,1. Найти вероятность того, что среди изготовленных цехом 100 деталей будет не менее 85 стандартных.

По условию задачи: n = 100, р = 0,9, q = 0,1, l = 85, m = 100. Найдем аргументы функции Лапласа:

По таблице, например, приложения 3 к пособию [2], найдем для этих значений аргумента значения интегральной функции Лапласа:
,
и окончательно получим:
Для относительной частоты m / n появления события А в n испытаниях по схеме Бернулли справедлива приближенная формула:

ПРИМЕР: Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что относительная частота выпадения герба отличается от вероятности 0,5 по модулю не более чем на .

С использованием приведенной формулы можно записать:

,откуда получим:

.

По таблицам значений функции Лапласа найдем: . Но тогда: .

Рекомендуемая литература по теме 1.2: [2, 4, 8, 9].
ВОПРОСЫ:

1. 
   Можно ли считать схемой Бернулли многократное бросание игральной кости?
   

2. 
   Может ли в схеме Бернулли при n = 10 и р = 0,1 наивероятнейшее число успехов быть больше 2?
   

3. 
   Как находится параметр х в локальной формуле Лапласа?
   

4. 
   Какая функция используется для оценки вероятности в интегральной формуле Лапласа?
   

5. 
   По какой формуле оценивается вероятность заданного отклонения относительной частоты от вероятности в схеме Бернулли?
   

6. 
   В каких случаях более предпочтительно применение локальной формулы Лапласа, а не формулы Бернулли?
   

ТЕМА 1.3. Случайные величины
Случайной величиной называется величина, которая в результате одного испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
ПРИМЕРЫ:

1. 
   Количество родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть случайная величина, а числа от 0 до 100 – возможные значения этой случайной величины.
   
2. 
   Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой располагаются в пределах отрезка с границами, соответствующими минимальной и максимальной дальности полета снаряда.
   

Случайные величины принято обозначать прописными латинскими буквами: X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – строчными буквами: x, y, z и т.д.
Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), определяющая вероятность того, что величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = P(X < x).
1.3.1. Дискретные случайные величины
Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга возможные значения, или множество ее возможных значений является конечным или счетным.

3. 
   ПРИМЕР: В предыдущем примере количество родившихся мальчиков среди 100 новорожденных есть дискретная случайная величина, а числа от 0 до 100 – возможные значения этой дискретной случайной величины.
   

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется соответствие между ее возможными значениями и их вероятностями, т.е. вероятностями событий (Х = х). При этом закон распределения может быть задан таблично (в виде таблицы), аналитически (в виде формулы для расчета вероятностей) и графически (в виде полигона).

Наиболее часто закон распределения дискретной случайной величины задается в виде таблицы:

Х	х1	х2	…	хn
Р	р1	р2	…	рn