Учебное пособие по курсу «Математика»

Поскольку в одном испытании случайная величина может принять одно и только одно возможное значение, события образуют полную группу, поэтому: .

ПРИМЕР: В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 1000 рублей и 10 выигрышей по 100 рублей. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша владельца одного лотерейного билета.

Возможными значениями величины Х являются: х₁ = 1000, х₂ = 100, х₃ = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р₁ = 0,01; р₂ = 0,1 и р₃ = 1 – (р₁ + р₂) = 0,89. Поэтому искомый закон распределения можно представить в виде:

Х	1000	100	0
Р	0,01	0,1	0,89

Кроме закона распределения дискретную случайную можно характеризовать числовыми характеристиками: математическим ожиданием и дисперсией.
Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется число, определяемой формулой:

Математическое ожидание имеет смысл среднего значения случайной величины. Если число возможных значений случайной величины Х конечно и равно n, а вероятности этих значений p_n = 1 / n, то математическое ожидание совпадает с обычным средним значением величин , т.е. .
Математическое ожидание обладает следующими основными свойствами:

М(С) = С, где С – постоянная величина.
М(СХ) = СМ(Х), где С – постоянная величина.
М(Х  Y) = M(X)  M(Y) для любых величин Х и Y.
M(XY) = M(X)M(Y), если Х и Y – независимые величины.

Для оценки степени рассеивания значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится понятие дисперсии.
Дисперсией D(X) случайной величины Х называется число, равное математическому ожиданию квадрата разности [X – M(X)], для дискретных случайных величин дисперсия определяется формулой:

Для практических вычислений дисперсии обычно используют более удобную формулу:

Дисперсия обладает следующими основными свойствами:

D(C) = 0, где С – постоянная величина.
D(CX) = C²D(X), где С – постоянная величина.
D(X  Y) = D(X) + D(Y), если Х и Y – независимые величины.

Другой мерой рассеивания случайной величины, имеющей ту же размерность, что и сама случайная величина, является среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением (Х) случайной величины Х называется число, определяемое формулой:

ПРИМЕР: Для дискретной случайной величины Х – стоимости выигрыша владельца одного лотерейного билета предыдущего примера имеем:

Для дискретной случайной величины с известным законом распределения функция распределения будет являться кусочно-постоянной функцией с ординатами: