Вырожденная модель

Вырожденная модель
Ниже мы рассмотрим точно решаемую модель, которую впервые изучал Дж. Рака в 1949 г. По-видимому, это была первая разумная микроскопическая модель сверхпроводи­мости, хотя это не было осознано в то время.

Предположим, что вблизи поверхности Ферми ме­жду частицами есть взаимодействие спаривательного типа. Величина взаимодействия, даваемая парными эффектами в массовой формуле, мала по сравнению с и даже по срав­нению с расстоянием между главными оболочками. Однако она может быть сравнима с расстояниями между j-уровнями внутри главной оболочки. В грубом приближении мы будем считать все уровни внутри некоторого интервала вокруг по­верхности Ферми вырожденными, с энергией . Полное число состояний в этом слое обозначим как Ω.

Спаривательное взаимодействие является притя­жением и имеет большие матричные элементы между со­стояниями, сопряжёнными по времени. Оно может либо ос­тавить пару в тех же состояниях, что соответствует диагональным матричным элементам, либо перебросить её в другую пару состояний. Матричные элементы пере­хода в состояния с разорванной парой малы в силу меньшего перекрытия пространственных волновых функ­ций и мы ими пренебрегаем.

Ещё одно приближение. Матричные элементы спари­вательного взаимодействия



мы заменим на некоторую среднюю константу

, 

где G > 0. В силу того что взаимодействие короткодействующее, индивидуальные матричные элементы  малы и обратно пропорциональны объёму ядра. Действительно, каждая из четырёх волновых функций нормирована на объём ядра, поэтому их произведение содержит в знамена­теле объём ядра в квадрате. Интегрирование в матричном элементе  идёт по координатам двух частиц. Переходя к интегрированию по относительному расстоянию и координате центра масс пары, легко увидеть, что интегрирование по относительному рас­стоянию ограничено малым объёмом, где отлично от нуля взаимодействие, а интегрирование по координате центра масс даст объём ядра в числителе. Грубая оценка из экспериментальных данных даёт МeV.

Гамильтониан системы частиц, который в представле­нии вторичного квантования имеет вид

, 

с учётом наших приближений (вырождение, , матричный элемент – константа) заметно упрощается:

. 

Диагонализацию гамильтониана  можно про­вести аналитически, операторным методом. Коммутаторы операторов



вместе с коммутатором  образуют замкнутую алгебру. Если ввести три оператора

, 

то мы придём к алгебре углового момента. Этот «угловой момент» носит название квазиспин.

Проекция квазиспина определяется числом час­тиц и доступным объёмом одночастичного пространства. Поэтому является точным интегралом движения, кото­рый имеет одно и то же значение для всех состояний дан­ного ядра. По мере заполнения оболочки меняется от для пустой оболочки, N = 0, до для полностью заполненной оболочки, ; = 0 для оболочки запол­ненной наполовину, .

Другим интегралом движения является квадрат ква­зиспина

. 

Он принимает значения , где L – целое или полуце­лое, в зависимости от значения . В данном ядре различ­ные состояния имеют различное L, которое может меняться от , до максимального значения :

. 

Таким образом, каждое N-частичное состояние харак­теризуется квантовыми числами квазиспина L и . Среднее значение гамильтониана  определяет, со­гласно формуле , энергию состояния

. 

При данном N основному состоянию отвечает максималь­ное . Предположим для примера, что чётное и число частиц тоже чётное. Тогда оба и L тоже чётные и основное состояние имеет .

Квантовое число сеньорити, введённое выше, также выражается через L:

. 

Оно равно удвоенному отличию квазиспина L от его макси­мального значения. Как следует из уравнения , s меняется от 0 в основном состоянии до полного числа частиц N для обо­лочки, заполненной меньше, чем наполовину: , или до полного числа дырок, , если . Для чётных N, сеньорити также чётное. Как функция сеньорити, энерге­тический спектр  принимает вид

. 

Как видно из уравнения , квантовое число сеньорити описывает сужение фазового пространства, доступного для взаимодей­ствующих пар, из-за блокировки s орбит s частицами (для ), которые не участвуют в парных корреляциях. Ненулевое s в уравнении  соответствует замене в энергии основного состояния при нулевом s, что уменьшает число матричных элементов пе­рехода пар и эффективно уменьшает притяжение.

В данном ядре энергия возбуждения состояний с нену­левым сеньорити есть

. 

До тех пор пока , энергия возбуждения растёт, как , т. е. пропорционально числу разорванных пар. Уменьшение связи при разрыве первой пары s = 2



есть энергия связи пары. Она определяет энергетическую щель в спектре парных возбуждений, видимую в экспери­ментах. Отметим, что эффект пропорционален объёму фа­зового пространства Ω. Коллективная природа связи обя­зана когерентной комбинации всех доступных состояний в волновой функции пары  и . Пользуясь эмпириче­скими оценками G и Δ из парной энергии в массовой фор­муле, находим, что .

Добавим теперь нечётную частицу к чётной системе, . Для нового (нечётного) числа частиц квазиспин L полуцелый и s нечётно. Максимально возможное значе­ние квазиспина , что соответствует s = 1, т. е. одна неспаренная частица блокирует одну пару состоя­ний. Энергия основного состояния нечётной сис­тему получается из выражения  при . Она может быть выражена через энергию основного состояния чётного соседа

. 

Потери в энергии связи опять носят коллективный характер, будучи пропорциональными числу пар ; каждая из них теряет по одному состоянию в матричных элементах воз­можных переходов.

Сравнение энергий основных состояний двух соседних чётных ядер даёт

. 

Это означает, что из-за спаривания энергия основного состояния нечётной системы сдвинута вверх по отношению к средней энергии основных состояний чётных соседей на половину величины щели :

. 

Это соотношение прямо связывает чётно-нечётный эффект в массовой формуле с уменьшением парной энергии связи из-за эффекта блокировки в нечётной системе.
Каноническое преобразование
Наличие парных корреляций влияет на вероятности всех процессов в системе. Простейшим примером является реак­ция передачи пары нуклонов. В реакции между двумя яд­рами пара нуклонов может быть передана от одного ядра к другому с сохранением корреляций между её составляю­щими. Микроскопически этот процесс описывается опера­торами . При этом добавление или удаление пары из конденсата не меняет сеньорити состояний.

Алгебра квазиспина  позволяет воспользоваться матричными элементами углового момента для амплитуд передачи между состояниями с тем же сеньорити:



При малых и будучи далеко от границ оболочек, когда все величины велики по сравнению с , эти мат­ричные элементы равны друг другу и их общее значение приближённо есть

. 

Таким образом, мы получили заметное усиление матричных элементов передачи пары нуклонов. Усиление имеет то же происхождение, что и эффект индуцированного излучения и поглощения бозонов.

Перейдём теперь к одночастичным процессам в при­сутствии конденсата пар. Из гамильтониана  получаем следующие уравнения движения для фермионных операто­ров рождения и уничтожения:

. 

В первом из этих уравнений мы можем взять матричный элемент между состояниями , а во втором – между . В обоих случаях означает со­стояние с одной неспаренной частицей на орбите , но в первом случае конденсат содержит частиц, а во втором –. В результате мы приходим к следующим уравнениям для матричных элементов операторов рождения и уничто­жения: 

Подставляя энергии  и матричные элементы  в первое уравнение, получаем связь между матричными эле­ментами в том же приближении :

. 

Второе уравнение не даёт ничего нового, потому что мы ис­пользовали точные энергии, обеспечивающие обращение в ноль детерминанта системы . Ещё одну связь между матричными элементами можно получить из коммутацион­ных соотношений

. 

Пользуясь тем, что когда есть Т-инвариантность, то мат­ричные элементы связаны соотношением , находим

. 

Как видим, одночастичные амплитуды отнюдь не равны 1 или 0, как это должно было быть для свободных частиц. В присутствии конденсата они являются числами между 0 и 1 (так называемые факторы когерентности).

В приведённом выше анализе мы пренебрегали разли­чием между состояниями конденсата, содержащими частиц. Зависимость от обычно плавная и это приближение оправдано при либо , если оболочка заполнена более чем наполовину. В этом приближении появляются две возможности получить со­стояние с неспаренной частицей на орбите – можно подей­ствовать оператором рождения на состояние с -частицами либо уничтожить частицу в паре на сопря­жённой по времени орбите . Если мы пренебре­гаем различием между состояниями с -части­цами в конденсате, то можно построить оператор, рождаю­щий неспаренную частицу в точном соответствии со стати­стикой Ферми–Дирака, т. е. с амплитудой равной 1. Введём оператор рождения , определив его как

, 

где

. 

Легко убедиться, используя уравнения , что

, 

где символ означает, что мы пренебрегли различием ме­жду состояниями с - и N – 1-частицами. В нашей вырожденной модели не зависят от состояния . В общем случае это не так, тем не менее уравнение  оста­ётся справедливым. Уравнение  можно интерпрети­ровать как уравнение, описывающее рождение одного невзаимодействующего фермиона из «вакуума». Действительно, операторы и эрмитовски сопряжённый оператор имеют антикоммутационное соот­ношение

, 

в силу того что

. 

Остальные антикоммутаторы также воспроизводятся. На­пример:

.

Но поскольку , то



и обращается в ноль при правильном выборе фаз для сопряжённых по времени орбит (если есть Т-инвариантность, то это происходит автоматически). Таким образом, преобра­зование  является каноническим.

Уравнение  можно сделать более строгим, если вместо множества состояний с различным числом частиц в конден­сате ввести их суперпозицию, в которой фиксировано только среднее число частиц ,

, 

где суммирование идёт в интервале таком, что. При этом



фиксировано. Тогда уравнение  можно переписать как

, 

что прямо соответствует рождению из вакуума одного фермиевского возбуждения. Коль скоро оператор рождает возбуждение, то сопряжённый ему оператор уничтожает возбуждение, поэтому его действие на наше основное со­стояние – вакуум – должно давать ноль, так как в основном состоянии возбуждения отсутствуют:

. 

Уравнение  будет ниже использовано для явного по­строения состояния .

Преобразование  было предложено Н. Н. Боголю­бовым в 1958 г. Оно является мощным инстру­ментом в квантовой теории многих тел. Возбуждения, рож­даемые оператором , называют боголюбовскими квазича­стицами.

Уравнение  описывает переход от частиц к ква­зичастицам. Легко написать обратное преобразование от квазичастиц к частицам. Пользуясь уравнениями  и , находим

. 

Теперь мы можем найти средние числа заполнения частиц в основном состоянии . С учётом уравнения  получаем:

. 

В нашей вырожденной модели средние числа заполнения одинаковы для всех состояний

. 

Таким образом, амплитуды и характеризуют распреде­ление частиц в основном состоянии

. 

За исключением специфического вида амплитуд , которые не зависят от одночастичных квантовых чи­сел, большинство результатов остаётся справедливым для произвольной невырожденной схемы одночастичных уров­ней. Любой оператор для системы ферми-частиц может быть переведён на язык квазичастиц с помощью канониче­ского преобразования, что позволяет простым образом вы­числять все матричные элементы физических величин.