Задача 40 Условие: Предприятие изготавливает продукцию, спрос на которую в каждом из месяцев планируемого периода d t

Математическое программирование и исследование операций в экономике - решение задач, контрольных и курсовых работ.

Задача 40

Условие:

Предприятие изготавливает продукцию, спрос на которую в каждом из месяцев планируемого периода D_t (t = ) тыс. ед. Запас продукции на складе на начало планируемого периода i₀ тыс.ед. Затраты на производство продукции складываются из условно постоянных затрат, равных k ден.ед., и пропорциональных затрат, равных L_xt . Затраты на хранение 1 тыс. ед. продукции составляют h ден.ед. Складские площади позволяют хранить не более М тыс.ед. продукции. Производственные мощности ограничены, и в каждом месяце предприятие может произвести не более В тыс.ед. продукции. Требуется разработать производственную программу изготовления продукции x_t удовлетворяющую спрос в каждом из месяцев планируемого периода и обеспечивающую минимальные затраты на производство продукции и содержание запасов. Запас продукции на складе в конце планируемого периода должен быть равен нулю.

Все необходимые числовые данные приведены в таблице 4.1

Таблица 4.1

T	D1	D2	D3	D4	i0	k	L	h	M	B
3	3	5	4	-	2	4	1	1	6	7

Решение:

Для решения задачи методом динамического программирования и записи рекуррентного соотношения будем использовать следующие обозначения: n — номер планового отрезка времени периода; j — уровень запаса на конец отрезка; d_n — спрос на продук­цию на n-м отрезке; c_n(x,j)= c(x)+jh — затраты, связанные с выпуском х единиц продукции на n-м отрезке и содержанием запасов, объем которых на конец n-го отрезка равен единицу j; f_n(i)— значение функции, равное затратам на производство и хранение продук­ции за последние п месяцев при условии, что уровень запасов на начало n-гo месяца составляет i единиц; x_n(i) — производство про­дукции на n-м отрезке, если уровень запасов на начало отрезка равен i единиц. Изобразим плановый период на рисунке и для на­глядности нанесем на него числовые данные
D₁ = 3 D₂ = 5 D₃ = 4




i₀ = 2 n =3 n = 2 n = 1 j₄ = 0

d₃ = 3 d₂ = 5 d₁ = 4

x₃ x₂ x₁
Т.к. c(x)=k+Lx то c(0)=0; c(l)=5; c(2)=6; c(3)=7; c (4)=8; c(5)=9; c(6)=10; c(7)=11; Уровень запасов на конец планового периода должен быть равен нулю, то для n=0 имеем f₀(0)=0. Перейдем к рассмотрению первого отрезка, т.е. n=1.

Тогда функциональные уравнения Беллмана для рассматриваемой задачи имеют следующий вид: для n =1

f₁ (i)=c₁(d₁-i, 0) = c₁(d₁-i, 0) , где i может принимать значения 0, 1,2, 3, 4. Расчет всех значений выполним в виде таблицы 4.2.

Таблица 4.2

x i	X1* (i)	f1 (i)
0	4	8
1	3	7
2	2	6
3	1	5
4	0	0

Переходим к анализу периода, состоящего из двух последних месяцев, т.е. n= 2. Тогда уравнение Беллмана примет вид

(с₂(x) + h(i +x- d₂ ) + f₁(i +x - d₂)) , где i уровень запаса сырья на начало предпоследнего месяца может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4 ,5,6, а x будет равняться 7, 6, 5, 4 ,3 2, 1, 0. Расчет всех значений выполним в виде таблицы. Таб. 4.3

Таблица 4.3

x i	0	1	2	3	4	5	6	7	X2(i)	f2(i)
0	-	-	-	-	-	9+0+8=17	10+1+7=18	11+2+6=19	5	17
1	-	-	-	-	8+0+8=16	9+1+7=17	10+2+6=18	11+3+5=19	4	16
2	-	-	-	7+0+8=15	8+1+7=16	9+2+6=17	10+3+5=18	11+4+0=15	3	15
3	-	-	6+0+8=14	7+1+7=15	8+2+6=16	9+3+5=17	10+4+0=14	-	2	14
4	-	5+0+8=13	6+1+7=14	7+2+6=15	8+3+5=16	9+4+0=13	-	-	1	13
5	0+0+8=8	5+1+7=13	6+2+6=14	7+3+5=15	8+4+0=12	-	-	-	0	8
6	0+1+7=8	5+2+6=13	6+3+5=14	7+4+0=14	-	-	-	-	0	8

Последнему шагу (n=3) будет соответствовать функциональное уравнение,

(с₃(x) + h(2 +x- d₃ ) + f₂(2 +x – d₃)), где i уровень запаса сырья на начало предпоследнего месяца может принимать значение 2, а x будет равняться 7, 6, 5, 4 , 3, 2, 1. Расчет всех значений выполним в виде таблицы. Таб. 4.4

Таблица 4.4

x i	1	2	3	4	5	6	7	x4(i)	f4(х)
i0 = 2	5+0+17	6+1+16	7+2+15	8+3+14	9+4+13	10+5+8	11+6+8	1	22

Из таблицы 4.4 видно, что в первом месяце оптимальной будет поставка x₃(2)=1 единицам. С учетом запаса 2 единиц, общее коли­чество составит 3. За этот месяц будет израсходовано 3 единицы, так что к началу второго месяца запас составит i=0 единиц. По таб. 4.3 находим x₂(0)=5, за этот месяц будет израсходовано 5 единиц. Останется 0 единица. В третьем месяце с учетом остатка 0 единиц будет поставка x₁(0)=4 единицы, что достаточно для удовлетворения потребностей в третьем месяце. При этом к концу третьего месяца уровень запаса будет равен 0 ед.

Минимальные затраты, связанные с производством и хранением продукции за три месяца, составят 22 единицы.

Помощь на экзамене онлайн.