Задача 10. Для заданного на рис. 10 пространственного стержня постоянного поперечного сечения диаметром d требуется

Сопромат - решение задач, контрольные работы.

Задача 10.

Для заданного на рис. 10 пространственного стержня постоянного поперечного сечения диаметром d требуется :

1. Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов ;

2. На каждом участке стержня выявить опасное сечение и составить условие прочности по третьей гипотезе прочности ;

3. Определить диаметр стержня при R=210 МПа.

Дано : F=20 кН ; q=1 кН/м ; a=51 см ; b=60 см ; c=40 см.

Решение.

1. Построим эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Чтобы построить эпюры изгибающих моментов М и крутящих моментов Т, будем рассматривать участки стержня со стороны свободного конца. В этом случае не требуется определять опорные реакции в защемлении. Эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон.

На участке AB стержня сосредоточенная сила F приложена перпендикулярно продольной оси стержня и подвергает его плоскому изгибу. В сечении А изгибающий момент М_А=0, в сечении B изгибающий момент M_B=bF=0.6×20=12 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты нижние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем снизу от оси. На этом участке крутящий момент Т=0. Помощь на экзамене онлайн.

На участке CD стержня равномерно распределённая нагрузка q приложена вдоль продольной оси и подвергает его изгибу в вертикальной плоскости. Изгибающие моменты M_C=0 ; M_D=q(0.5a)²=1×(0.5×0.51)²=0.065 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты верхние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем вверх. Крутящий момент на этом участке Т=0.

На участке DE стержня равномерно распределённая нагрузка q приложена перпендикулярно продольной оси и подвергает его плоскому изгибу в вертикальной плоскости. Изгибающие моменты : M_D=q(0.5a)²=1×(0.5×0.51)²=0.065 кН·м ; M_E=0. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты верхние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем вверх. Крутящий момент T=0.

На участке DB стержня сосредоточенная сила qa=1×0.51=0.51 кН приложена перпендикулярно продольной оси и подвергает его плоскому изгибу в вертикальной плоскости. Изгибающие моменты : M_D=0 ; M_B=qac=0.51×0.4=0.204 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты верхние волокна. Поэтому ординаты эпюры М откладываем вверх. Крутящий момент Т=0.

На участке BG изгибающий момент : M_B=Fb=20×0.6=12 кН·м ; M_G=F(a+b)-qa²=

=20×(0.51+0.6)-1×0.51²=21.94 кН·м. Этот участок стержня изгибается так, что растянуты нижние волокна. Поэтому, ординаты эпюры М откладываем вниз. Крутящий момент Т=qac=1×0.51×0.4=0.204 кН·м.

Эпюры показаны на рисунке.



На каждом участке стержня выявим опасное сечение и составим условие прочности по третей теории прочности.

На участке AB опасным сечением является сечение B, где изгибающий момент максимален. Условие прочности по третьей гипотезе прочности имеет вид :



где M₃ – приведённый момент по третьей гипотезе прочности ; W – осевой момент сопротивления (для круглого сечения W=0.1d³).

M₃= кН·м

где М_y – изгибающий момент в плоскости xz ; M_z – изгибающий момент в плоскости xy ; T – крутящий момент.

На участке BG опасным сечением является сечение G, где изгибающий момент наибольший :

M₃= кН·м

На участке BD опасным сечением является сечение B, где изгибающий момент наибольший :

M₃= кН·м.

На участке CE опасным сечением является сечение D :

M₃= кН·м

Определим диаметр стержня. Для наиболее нагруженного сечения G :

0.1d³=

Отсюда диаметр стержня : d= м=101 мм.
Помощь на экзамене, зачете, тесте.