Задачи для подготовки к олимпиаде по астрономии О

13. Р. Найти основные элементы орбиты Плутона: большую полуось и эксцентриситет. Найти период обращения Плутона вокруг Солнца.

Дата	Прямое восхождение 	Склонение 	Гелиоцентрическое расстояние r	Примечание	Плутон 1989 год
1 января	15^h0,7^m,2	– 1^o19	29,659
19 февраля	15^h09^m,9	– 0^о07	29,658	Стояние
6 мая	15^h05^m,0	– 0^о23	29,657	Противостояние
11 июня	15^h01^m,4	– 0^о16	29,656
28 июля	14^h59^m,3	– 0^о29	29,656	Стояние
6 ноября	15^h08^m,4	– 1^о54	29,656	Соединение
31 декабря	15^h16^m,0	– 2^o15	29,657

Чтобы найти большую полуось орбиты Плутона воспользуемся формулой:

Мы учли, что

– квадрат средней орбитальной скорости Земли (v_ = 29,77 км/с), и что

Отсюда:

Для определения эксцентриситета воспользуемся тем, что перигелийное расстояние

. Отсюда:

Наконец, период находится из третьего закона Кеплера:

Как мы видим, пользуясь таблицей эфемерид, можно довольно точно определить элементы орбиты самой далекой планеты Солнечной системы. Табличные значения элементов орбиты и периода:

.

14. Г. 1997. Каков горизонтальный параллакс Нептуна в противостоянии, если он находится от Солнца на расстоянии 30 а. е.? (Параллакс Солнца 8^//,8.)
Горизонтальный параллакс обратно пропорционален расстоянию до небесного тела. Поэтому:

.
15. Г. 1997.В Одессе ( = 46^о33^/) в полдень Солнце наблюдалось на высоте 67^о. Определить склонение Солнца и дату наблюдения.
Воспользуемся формулой для нахождения высоты светила в верхней кульминации:

.

Отсюда

.

Подставив данные, получим:

.

Дата наблюдения – день летнего солнцестояния 21 июня.
16. Г. 1997. В Харькове полдень, а в Казани в то же время часы показывают 12^h46^m. Какова долгота Казани от Гринвича? (Долгота Харькова от Гринвича 2^h25^m.)
Разность местных времен равна разности долгот точек наблюдения.

Отсюда:

.

Подставив данные, получим:

.

Долгота Казани – 47^о45^/.
17. Г. 1997. Какова была бы большая полуось орбиты планеты, если бы синодический период ее обращения равнялся одному году?
Из уравнений синодического движения находим сидерический период обращения планеты. Возможны два случая:

Второй случай не реализуется. Для определения «а» воспользуемся третьим законом Кеплера.

В солнечной системе такой планеты нет.
18. Г. 1997. 21 марта в Москве наблюдается восход Солнца. Можно ли в этот момент в Иркутске видеть созвездие Тельца?
В день весеннего равноденствия 21 марта Солнце восходит в 6 часов утра местного времени. Иркутск расположен восточнее Москвы. Поэтому, когда в Москве 6 утра и только-только взошло Солнце, в Иркутске уже день и звезды на небе не видны, в том числе и звезды созвездия Тельца.
19. О. 1998. В какое время суток, и в какой точке небосвода происходит верхняя и нижняя кульминация Сириуса ( = –16^o39^/,  = 6^h39^m) в Могилеве ( = 53^o54^/) в день олимпиады. Решить ту же задачу для антипода (жителя Земли находящегося на противоположном конце ее диаметра). Примечание: положение светила на небосводе определяется его горизонтальными координатами.

.

Подставляя данные, получаем:

Время кульминации определяем с помощью подвижной карты звездного неба.

.

Как видно из чертежа:

.

Т

аким образом, верхняя кульминация Сириуса в Могилеве проходит в точке небосвода с координатами

местного солнечного времени, а нижняя кульминация – в точке с координатами

.

Как видно из чертежа, верхняя кульминация для антипода происходит в точке с координатами

,а нижняя – в точке с координатами

.

При определении времени было учтено, что время кульминаций не зависит от положения наблюдателя (имеется ввиду местное время).
20. О. 1998. На какой наибольшей высоте над горизонтом может находиться полная Луна для наблюдателя на земном экваторе? В какие дни года и в какое время суток это возможно? Решить ту же задачу для наблюдателя в Могилеве, широта которого 53^о54^/.
Максимальная высота означает, что светило находится в верхней кульминации. Поэтому:

.

Для экватора

(Луна в зените), что возможно, если

, т.к. широта экватора равна нулю. Если бы Луна двигалась строго по эклиптике, то такое возможно тогда, когда Луна проходит через точку весеннего или осеннего равноденствия. Так как в полнолуние Солнце находится в противоположной в отношении к Луне точке неба, то максимальная высота полной Луны на экваторе наблюдалось бы в день осеннего и весеннего равноденствий ровно в полночь. Из-за того, что плоскость лунной орбиты слегка наклонена к плоскости земной орбиты (

), то максимальная высота Луны на экваторе наблюдается, как правило, не в дни равноденствий, а в соседние дни года.

Максимальная высота Луны в Могилеве наблюдается при максимально возможном ее склонении

и равна

.

Это будет тогда, когда Луна проходит вблизи точки летнего солнцестояния в день зимнего солнцестояния в полночь.

21. О. 1998. В марте 1997 года произошло редкое событие: затмение звезды PPM6915 – ( = 5^h06^m08^s,  = 33^о55^/) астероидом Вашингтон 88. Затмение продолжалось 6^s,5. В каком созвездии произошло это явление? Оценить линейные и угловые размеры (диаметр) астероида, предположив, что орбита астероида находится внутри пояса астероидов.
Как видно из первого рисунка, затмение продолжается столько времени, сколько Земле нужно, чтобы пройти по своей орбите расстояние, равное диаметру астероида. Скорость астероида относительно Солнца

Здесь учтено, что средняя скорость Земли относительно Солнца

.

Поэтому при положении астероида в противостоянии (рис. 2) в момент затмения

.

В этом же положении угловые размеры астероида:

Заметим, что полученные результаты носят лишь оценочный характер. Для более точного решения необходимо знать более точное положение астероида относительно Земли в момент затмения.
22. О. 1998. Космический телескоп Хаббл в 1994 году получил фотографии самой далекой планеты Солнечной системы Плутона и его Спутника Харона. Анализ снимков позволил сделать выводы, что диаметр Плутона 2390 км, а Харона 1192 км, среднее расстояние между Плутоном и Хароном 19405 км, Харон обращается вокруг Плутона с периодом 6,387 суток. По уточненным данным массы Плутона и Харона относятся как 11:1. Из какого вещества, скорее всего, сложен Плутон?
Для определения массы системы Плутон-Харон применяем третий уточненный закон Кеплера:

Отсюда: M_п = 12,8410²¹ кг, М_х = 1,1610²¹ кг,

Судя по средней плотности, Плутон и Харон, скорее всего, сложены изо льда (Н₂О) с примесью других замерзших газов (аммиак, метан и др.).
23. О. 1998. Какое минимальное число геостационарных спутников ретрансляторов телевидения должно одновременно находиться на орбитах, чтобы в любой точке экваториального пояса Земли можно было бы принимать передачи спутникового телевидения, пользуясь антенной, установленной на балконе второго этажа?
Период обращения стационарного спутника равен периоду вращения планеты вокруг оси. Учитывая это и применяя 3 закон Кеплера, можем записать:

Если пренебречь массами спутника и Луны то:

.

П

одставив сюда: a_л = 384400 км, Т_л = 27,32 сут, получим:

Из чертежа видно, что:

.

Антенна на втором этаже находится практически на поверхности Земли. Поэтому один ретранслятор охватывает 162^о окружности экватора. Для того, чтобы обеспечить телевизионным вещанием весь экваториальный пояс Земли только с помощью спутников, их необходимо как минимум три.
24. Г. 1998. Что вы можете рассказать о звездах, кульминирующих около полуночи 1 января на небе Могилева?
Воспользовавшись подвижной картой звездного неба, находим, что в указанное время кульминируют две самые яркие звезды, видимые на небе Могилева: Сириус (в.к.) и Вега (н.к.). Далее, ответ зависит от эрудиции и фантазии участников олимпиады.
25. Г. 1998. Каковы условия наилучшей видимости верхней планеты? В какую дату года и в какое время суток возможна наилучшая видимость Марса? В каком созвездии и на какой высоте над горизонтом Могилева он будет виден: а) если пренебречь наклонением его орбиты; б) если учесть, что она наклонена к плоскости земной орбиты под углом 1^о51^/?
Светило лучше всего наблюдать при его максимальной яркости (для Марса это будет в противостоянии, т.к. тогда он ближе всего к Земле) и на максимально возможной высоте над горизонтом, т.е. в верхней кульминации. Высота в верхней кульминации

максимальна, при наибольшем значении  планеты. Марс движется вблизи эклиптики. Его склонение будет максимальным, когда он будет находиться вблизи точки летнего солнцестояния, склонение которой 23^о26^/. Следовательно, максимальное склонение Марса без учета наклонения орбиты можно принять равным 2326, с учетом наклонения оно на 1^о51^/ больше и равно 25^о 17^/. Отсюда максимально возможная высота Марса над горизонтом Могилева:

(без учёта наклонения)

(с учётом наклонения).

В противостоянии Солнце находится в оппозиции Марсу. Это значит, что оно будет в точке зимнего солнцестояния и в нижней кульминации. Резюмируя, имеем: Марс лучше всего наблюдать в день зимнего солнцестояния (22 декабря) в полночь. В это время он будет находиться в созвездии Близнецов (там находится точка летнего солнцестояния) на высоте 59^о32^/ (без учета наклонения), или 61^о38^/ (если учесть наклонение).
26. Г. 1998. 16 сентября 1997 года на небе Могилева наблюдалось полное лунное затмение. В каком созвездии оно было видно? Что увидел бы на лунном небе в этот же момент астронавт, находящийся на поверхности Луны и в каком созвездии?
16/IХ Солнце находится в созвездии Девы вблизи звезды . Поэтому Луна находится в созвездии Рыбы вблизи точки весеннего равноденствия (лунное затмение возможно в полнолунии, когда Луна находится в оппозиции Солнцу, т.е. в противоположной ему точке неба). Наблюдатель, находящийся на Луне, увидит солнечное затмение в созвездии Девы вблизи  Девы.
27. Г. 1998. Весной 1997 года на небе Могилева была видна великолепная комета. Кто и когда ее впервые обнаружил, и как она была названа? Ниже приведены гелиоцентрические расстояния кометы за период с 1 марта по 30 апреля (в астрономических единицах), а также эксцентриситет ее орбиты. Каков примерно период обращения кометы и ее максимальное расстояние до Солнца?

Дата	1	6	11	16	21	26	31	5	10	15	20	25	30	e
R	1,07	1,03	0,99	0,96	0,94	0,92	0,91	0,92	0,93	0,95	0,97	1,01	1,05	0,99

Как следует из данных, приведенных в таблице, минимальное расстояние кометы до Солнца

Отсюда большая полуось кометной орбиты:

Период находим из третьего закона Кеплера:

Максимальное (афелийное) расстояние до Солнца будет:

28. О. А. 1999. Чему равна высота верхней и нижней кульминации звезды  Кентавра  = – 6050 на антарктической научной станции Восток  = – 7228? Чем интересна эта звезда? Можно ли ее увидеть в Могилеве?
На рисунке показано расположение основных элементов небесной сферы для наблюдателя на научной станции «Восток». Из чертежа видно, что:

.

Найдем высоту  Кентавра в верхней кульминации в Могилеве.

.

Увидеть нельзя. Ближайшая к Солнцу из ярких звезд.

29. О. 1999. В декабре 1998 года фазы Луны приходились на даты: 30; 10; 18; 26. В каких созвездиях находилась Луна в этих фазах? В каких созвездиях видел бы Землю астронавт на небе Луны в те же даты?

Фазы	Н	1-я четверть	П	Последняя четверть
Дата	3	10	18	26

Луна с Земли: Н – Тельца, 1-я четверть – Льва, П – Стрельца, последняя четверть – Рыбы.

Земля с Луны: П – Змееносца, последняя четверть – Рыбы, Н – Тельца, 1-я четверть – Девы.
30. О. 1999. Ниже приведены гелиоцентрические и геоцентрические расстояния в астрономических единицах малой планеты Веста в указанные даты 1989 и 1990 гг. Определить примерные значения синодического и сидерического периодов ее движения, а также большую полуось и эксцентриситет орбиты, афелийное и перигелийное расстояния.

Таблица геоцентрических ( a. e.) и гелиоцентрических (r a. e) расстояний Весты.

Год, месяц	1989 апрель			1989 май			1989 июнь			1989 июль	1990 ноябрь
Дата	4	14	24	4	14	24	3	13	23	3	5	15	25
r a.e.	2,149	2,148	2,147	2,148	2,148	2,150	2,152	2,154	2,158	2,161	2,554	2,557	2,561
 a.e.	1,749	1,635	1,527	1,427	1,336	1,259	1,199	1,160	1,143	1,150	1,587	1,576	1,593

Расстояние от Земли до планеты минимально в противостоянии (если пренебречь эксцентриситетом). Имеем минимум 23. VI. 1989 г. и 15. ХI. 1990 г. Отсюда синодический период S = 513 суток или 1,4 года. Чтобы найти сидерический период можно воспользоваться уравнением синодического движения: