Задачи для подготовки к олимпиаде по астрономии О

31. О. 1999. Из не столь отдаленного будущего. Вова, наконец, перешел во второй класс и довольный папа решил подарить ему за это звездолет типа «Школьник 0,99с». Звездолет был очень красив. Вова размалевал его яркими разноцветными формулами и картинками, чтобы всем было ясно – это звездолет ученика 2 класса! «Мама, можно я на нем полетаю. Я недалеко: до Сириуса, потом к Веге и оттуда сразу же домой. Мария Ивановна на уроке про нашу любимую Родину Галактику рассказывала про эти звезды, и я запомнил их адреса: Большой Пес, 9 св. лет, 7^h, – 17^о, Лира 26 св. лет, 19^h, 39^о. «Хорошо» – ответила мама – «Полетай немного. Только будь внимателен, когда будешь летать через пояс астероидов. А чтобы мы не беспокоились, посылай нам весточки, когда минуешь пояс астероидов, а также Сириус и Вегу». Через какое время мама получит первую, вторую и третью радиограммы, и когда Вова снова увидит свою любимую учительницу Марию Ивановну?
Поскольку разность прямых восхождений Сириуса и Веги 12^h, то обе звезды всегда находятся в плоскости одного и того же большого круга. Вова летит по сторонам треугольника с углом  = 158^о ( = 180^о – 39^о + 17^о = 158^о) Можно считать, что скорость Вовиного звездолёта  с.

(

сигнал, посланный при пересечении пояса астероидов). Т₂ = 92 = 18 лет (сигнал, посланный при подлете к Сириусу). Как следует из треугольника СВТ,

(сигнал, посланный при подлете к Веге).

(время, прошедшее от старта до возвращения по земным часам).

(по Вовиным часам).

Вова увидит Марию Ивановны спустя 9,8 года, а Мария Ивановна Вову, через 69,5 лет. В «не столь отдаленном будущем» средняя продолжительность жизни будет около 300 лет, так что Вова все-таки увидит свою любимую учительницу в добром здравии. Сам Вова повзрослеет за время полета лишь на 9,8 года. Таков эффект СТО, ведь звездолет летит со скоростью близкой к скорости света.
32. О. 1999. На каком расстоянии от центра Марса должен обращаться космический аппарат по стационарной орбите? Период вращения Марса вокруг оси считать известным – 24^h37^m. Масса Земли в 9,35 раз больше массы Марса.
Применяем 3 уточненный закон Кеплера:

Отсюда, пренебрегая m_сп, М₎,

.

После подстановки значений, находим

.

33. Г. 1999. Назовите созвездия, которые будут пересекаться дугой небесного меридиана в полночь 5 декабря и расположенные: а) к югу зенита; б) к северу от зенита; в) в зените. Какие интересные объекты входят в эти созвездия? Наблюдатель находится в Могилеве.
а) Возничего, Тельца, Ориона, Зайца;

б) Жирафа, Цефея, М. Медведицы, Дракона, Геркулеса, Змееносца, Скорпиона;

в) Жирафа. Чтобы найти положение зенита, необходимо на карте звездного неба провести небесную параллель через звезду  Б. Медведицы, т.к. ее склонение очень близко к широте Могилева. Точки пересечения этой параллели с небесным меридианом дают положение зенита (к югу от северного полюса мира, в созвездии Жирафа) и надира (к северу от северного полюса мира, в созвездии Дракона).
34. Г. 1999. Наблюдатель измерил 3 декабря полуденную высоту Солнца в Могилеве и получил 14^о06^/. На какой широте в эту же дату года начнется полярная ночь, а на какой широте – полярный день? Сколько суток они продлятся?
В полдень Солнце в верхней кульминации. Поэтому:

полярная ночь начинается (и заканчивается) в тот момент, когда высота Солнца в верхней кульминации обращается в ноль. Отсюда широта, где 5 декабря начинается полярная ночь.

.

День зимнего солнцестояния 21 декабря – это середина полярной ночи. Отсюда продолжительность полярной ночи

.

В южном полушарии на широте – 68^о 3 декабря начинается полярный день, т.к. в этот день высота Солнца в нижней кульминации

,

обращается в ноль. Длительность полярного дня, как и ночи – 36 суток. (Мы везде пренебрегаем астрономической рефракцией).
35. Г. 1999. Каждые 46 лет наблюдается интересное явление: по яркому солнечному диску пробегает круглое темное пятнышко. Какова природа этого явления? В каком созвездии оно происходит, если последний раз оно наблюдалось 15 ноября 1999 года? Какое минимальное увеличение необходимо применить, чтобы увидеть это пятнышко в телескоп, если глаз не отличает от точки объекты, угловые размеры которых меньше 1^/?
Это прохождение по диску Солнца Венеры или Меркурия. Т.к. явление повторяется каждые 46 оборотов Земли относительно звезд, то и Земля и внутренняя планета должны каждые 46 лет занимать одно и то же расположение относительно Солнца и звезд (планета в нижнем соединении с Солнцем). Это будет тогда, если период повторения явления кратен сидерическому (и синодическому) периоду планеты. Проверяем это для Меркурия:

Таким образом, для Меркурия условия кратности выполняется достаточно точно. Легко проверить, что для Венеры этого не будет.

Найдем угловые размеры Меркурия в момент прохождения его по диску Солнца:

Отсюда минимальное необходимое увеличение:

Расчет велся при среднем расстоянии от Меркурия до Солнца. На самом деле, расстояние от Меркурия до Солнца при эксцентриситете его орбиты e = 0,21 заключено в пределах 0,30  r  0,46 астрономических единиц. Поскольку в условии задачи расстояния Меркурия до Солнца не задано, то найденное увеличение можно принять лишь в качестве примерной оценки необходимого минимального увеличения.
36. Г. 1999. Экватор Плутона наклонен к плоскости его орбиты под углом 172^o. Каковы минимальная и максимальная высота Солнца на экваторе Плутона в полдень?
Высота Солнца в верхней кульминации:

.

Из чертежа видно, что:

.

На экваторе  = 0, поэтому:

.

Максимальное же значение

,

как и для наблюдателя на земном экваторе.
37. Г. 1999. Сколько стационарных спутников следовало бы поместить на орбиту над экватором Венеры, чтобы охватить наблюдением весь ее экваториальный пояс?
Период обращения стационарного спутника равен периоду вращения планеты вокруг оси (P). Применяя 3-й обобщенный закон Кеплера, можем записать, учитывая, что

.

Подставляя значения (см. справочные данные), получим:

Отсюда следует, что один стационарный спутник Венеры может охватить наблюдением почти половину экваториального пояса Венеры. Для полного охвата необходимы 3 стационарных спутника.

38. О. 2000. Заполнить таблицу 1, куда занесены некоторые результаты наблюдений на небе Могилева  = 54^о планеты «Х». Показать конфигурацию 1 и 2 на рисунке 1.
Таблица 1

«Х» (верхняя кульминация)
№ п/п	Дата	Время	Угол диам. d^//	Х^// созвезд.	 созвезд.	Конфигурация	h_в.к
1	24/VIII	6^h	40^//,6
2	23/Х	0^h	49^//,9

«Х» верхняя кульминация

«Х» (верхняя кульминация)
№ п/п	Дата	Время	Угол диаметр d^//	Х^// созвездия	 созвездия	Конфигурация	h_в.к
1	24/VIII	6^h	40^//,6	Овна	Рака	Западная квадратура	50^о
2	23/Х	0^h	49^//,9	Овна	Девы	Противостояние	48^о

Воспользовавшись подвижной картой звездного неба, мы убеждаемся, что угол между направлениями на Солнце и планету «Х» 24/VIII равен 90^о к западу (западная квадратура), а 23/Х составляет 180^о (противостояние). По карте же определяем созвездия, в которых находятся планета и Солнце, и очень приближенные значения склонения планеты в указанные даты (₁ = 14^о, ₂ = 12^о). Вычисляем

.

39. О. 2000. Вычислить, пользуясь таблицей 1, расстояние от «Х» до Солнца в а. е. и ее радиус в радиусах Земли (R_ = 6378 км). Какой древнегреческий бог скрывается под псевдонимом «Х»?

«Х» (верхняя кульминация)
№ п/п	Дата	Время	Угол диам. d^//	Х^// созвезд.	 созвезд.	Конфигурация	h_в.к
1	24/VIII	6^h	40^//,6
2	23/Х	0^h	49^//,9

Как следует из рис. 1,

Вычисляем радиус планеты в радиусах Земли.

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что под «Х» скрывается главный бог греков Зевс, переименованный римлянами в Юпитера.

40. О. 2000. Наблюдая «Х» в телескоп, можно увидеть четыре звездоподобных объекта, которые периодически появляются то справа, то слева от планеты, проходя при этом по ее диску или скрываясь за ним. Что это? Кто и когда впервые наблюдал? Имена, каких персонажей древнегреческой мифологии использованы для их названий? На рис.2 приведена развертка во времени положения одного из объектов (назовем его «Y») относительно планеты «Х».

Узкая полоска изображает диск планеты в соответствующем масштабе. Воспользовавшись, рис. 2, вычислить массу планеты и ее среднюю плотность по отношению к соответствующим величинам для Земли

.

Звездоподобные объекты, наблюдаемые около Юпитера это его спутники Ио, Каллисто, Европа и Ганимед, впервые увиденные в телескоп Галилеем в 1610 году.

Из рисунка 2 можно получить размеры большой полуоси орбиты спутника «Y» и период его обращения вокруг Юпитера.

Для определения массы планеты «Х» воспользуемся 3 законом Кеплера:

Наконец, находим отношение плотности планеты «Х» к плотности Земли:

41. О. 2000. Фотометрические измерения показывают, что яркость объекта «Y» в 1687 раз меньше яркости планеты «Х», причем «Х» отражает 0,52, а «Y» 0,64 падающего на эти тела солнечного света. Какова примерно величина радиуса объекта «Y»? Возможно, Вы догадались, как называется этот объект. Какие интересные сведения появились о нем в последнее время в печати?
Яркость объекта, освещаемого Солнцем, пропорциональна его альбедо A и площади сечения, которая в свою очередь пропорциональна R². Отсюда:

Объект «Y» – это спутник Юпитера Европа. В последнее время этот спутник приковывает к себе внимание в связи с тем, что на нем под слоем поверхностного льда может находиться океан воды, в котором нельзя исключить присутствие каких-то форм жизни.
42. О. 2000. По данным «Пионера-10» верхние слои атмосферы «Х» имеют температуру на 30 K выше той, которая получается из предложения, что единственным источником нагрева является излучение Солнца. Каков по Вашему мнению механизм подогрева планеты «Х»: термоядерный синтез, как у Солнца; радиоактивный распад тяжелых элементов, как у Земли; гравитационное сжатие, как у протозвезды; приливное трение, как у Ио и т. д? Приведите предельно кратко хотя бы один довод, подтверждающий Ваше мнение.
Не термоядерный синтез т.к. температура даже вблизи центра Юпитера не превосходит нескольких десятков тысяч K; не ядерный распад тяжелых элементов, т.к. их у Юпитера очень мало; не приливное трение, т.к. масса спутников Юпитера очень мала по сравнению с массой Юпитера. Остается гравитационное сжатие, которое из-за большой массы Юпитера может обеспечить необходимый подогрев.

43. O. 2003. Астрология утверждает, что нами руководят небесные светила, и поэтому успех любого дела предопределен их положением на небесном своде. Какие звезды находятся вблизи зенита в начале олимпиады (10^оо) и предвещают высокие баллы ее участникам?
 – Дракона,  – Дракона,  – Дракона.
44. O. 2003. По какой широте в день олимпиады проходит граница полярной ночи? В каком направлении и с какой скоростью (км/сут) она перемещается по поверхности земного шара, если склонение Солнца в олимпиадный полдень равно –23^о, а его суточное изменение  = 0^о,1?

км.
На границе полярной ночи

.

Отсюда

км/сут.
45. O. 2003. Весь январь 2003 года почти всю ночь на звездном небе будет сиять очень яркая планета. В каком созвездии, в какое время суток и на какой высоте над горизонтом Могилева ( = 54^о) можно будет увидеть эту планету в дату олимпиады (3 января) в верхней кульминации, если 1 января 2002 года она находилась относительно Солнца (С) и Земли (Т) в положении (Х). Как называется такое положение планеты? Результат занести в таблицу. Какая это планета?

Согласно чертежу

.

Что соответствует планете Юпитер. Находим угловое перемещение Земли и Юпитера за 368 сут (1/I – 02 – 3/I – 03):

.

Строим на чертеже положение Юпитера относительно Земли и Солнца и с помощью транспортира определяем угол

.

Планета видна вблизи эклиптики на 155^о к западу от Солнца, вблизи границы созвездий Рака и Льва. Ее склонение находим по карте  15^о. Она кульминирует на высоте

примерно в 2^ч 30^м.

46. O. 2003. Средняя орбитальная скорость Земли равна 29,78 км/с. Вычислить хотя бы приблизительно орбитальную скорость Земли в день олимпиады, учитывая, что она в этот день проходит перигелий. Эксцентриситет земной орбиты e_ = 0,17.
Задачу можно решить разными способами.

а) Воспользуемся законом сохранения энергии и вторым законом Кеплера.