Задачи для подготовки к олимпиаде по астрономии О

Задачи для подготовки к олимпиаде по астрономии

1. О. В день летнего солнцестояния на антарктической станции «Восток» наблюдалась яркая звезда. Измерения показали, что ее нижняя кульминация произошла в 8^h 40^m местного времени на высоте 4250 над горизонтом, а верхняя на высоте 7754. Каковы координаты (, ) этой звезды и широта станции «Восток»?
Задачу проще решить, изобразив на рисунке расположение элементов небесной сферы для наблюдателя, находящегося в южном полушарии Земли.

При этом необходимо учесть, что и широта и склонение отрицательны. Из рисунка следует:

.

Решая оба уравнения относительно  и , получим:


Местное время кульминаций не зависит от места наблюдения. Применив подвижную карту звездного неба для широты Могилева, находим, что в 8^h 40^m в день летнего солнцестояния (22 июня) в нижней кульминации находятся звезды с прямым восхождением  = 14^h 40^m

Т.о. звезда имеет координаты:  = 14^h 40^m,  = – 6022, по которым находим на звездной карте, что это  Центавра, ближайшая к солнцу и одна из самых ярких звезд неба.
2. О.. Можно ли увидеть в Могилеве красный гигант  Центавра ( = – 3622  = 5354)?
Находим высоту звезды в верхней кульминации.

.

Казалось бы, увидеть эту звезду в Могилеве нельзя, но, на самом деле увидеть можно. Следует учесть, что атмосферная рефракция приподнимает светило над горизонтом на угол равный , при нормальных атмосферных условиях 0^o 35^/. В нашей задаче светило кульминирует вблизи горизонта. Поэтому видимое положение звезды в момент кульминации будет:

^.

По этому в принципе эту звезду в Могилеве увидеть можно. Правильнее сказать на широте Могилева, т.к. в самом городе с его высокими зданиями горизонт не виден.
3. О. Г. Математический горизонт делит небесную сферу на два равных полушария. Предполагая, что общее число звезд, видимых на небе обоих полушарий, равно N (при наблюдении невооруженным глазом N  6000), и что звезды распределены по небу равномерно, найти, сколько звезд мы видим над горизонтом и какое число звезд мы не видим под горизонтом.




Казалось бы, число звезд, видимых над горизонтом, должно равняться числу звезд, которых мы увидеть не можем, т.к. они находятся под горизонтом. На самом деле из-за атмосферной рефракции мы можем увидеть над горизонтом не только звезды верхней половины небесной сферы (их число равно N/2), но и звезды, находящиеся в поясе шириной  = 0^o 35^/ под математическим горизонтом (имеется в виду угловая ширина). Подсчитаем число этих звезд. Пусть R – радиус небесной сферы (конечно, его величина неопределенная, но это для решения задачи не играет роли). Тогда площадь поверхности небесной сферы будет , а площадь пояса под горизонтом

,

где ^/ – угол  в минутах дуги и учтено, что 1 рад = 3438^/. Отсюда число звезд в поясе под горизонтом будет равно:

.

Отсюда следует, что над горизонтом мы увидим

звёзд,

а под горизонтом не увидим

звёзд.

Над горизонтом мы увидим на 1 % больше звезд, чем не увидим под горизонтом. При наблюдении невооруженным глазом это примерно 60 звезд.
4. О. Г. День – это промежуток времени между восходом и заходом Солнца. Сколько времени длится день на земном экваторе в день весеннего равноденствия? На сколько он длиннее ночи?




Казалось бы, ответ тривиален. Мы ведь знаем, что день равноденствия именно и назван днем равноденствия, так как в эту дату день равен ночи. К тому же на экваторе в любую дату года день равен ночи. Да, действительно, это было бы так, но при условии, если светило не имеет заметных видимых размеров и отсутствует атмосферная рефракция. Под восходом Солнца понимают появление верхнего края его диска над горизонтом, а под заходом его исчезновение под горизонтом. Из-за рефракции в момент восхода и захода верхней край солнечного диска находится на глубине  = 35 под горизонтом. Следовательно, центр Солнца в эти моменты находится ниже горизонта на

.

Следовательно, от восхода до захода центр солнечного диска описывает не дугу EZW как на первый взгляд можно было бы ожидать, а дугу BEZWЗ. Отсюда длительность дня:



Соответственно ночь будет длиться:



День, длиннее ночи на 13^m 36^s. Это вполне ощутимая разница.
5. О. Г. Сколько времени длится закат Солнца в Могилеве? Под закатом Солнца понимается промежуток времени между касанием горизонта нижним краем Солнца и исчезновением под горизонтом его верхнего края.
Из чертежа видно, что за время заката центр солнечного диска «прокатит» по небесной параллели угловой путь примерно равный:



Отсюда время заката (∆T_зак) будет равно:



Закат на широте Могилева длится чуть больше трех с половиной минут. Можно в качестве олимпиадной задачи предложить, измерив, время заката (это легко сделать на открытой местности), найти широту места наблюдения.

Длительность заката обратно пропорциональна косинусу широты наблюдателя. Это значит, в высоких широтах время заката может быть значительным, достигать десятков минут и даже несколько суток.

Надо также иметь в виду, что полученный результат является приближенным, т.к. на самом деле небесная параллель светила – это окружность, а не прямая линия. Мы получим сравнительно достоверные результаты, если l достаточно мало. На широте Могилева это действительно так.
6. О. В перигелии скорость максимальна, в афелии минимальна. А в какой точке траектории скорость равна своему среднему значению v_a?




Применим закон сохранения энергии к двум точкам траектории: произвольной точке М и перигелию П. Учитывая полученное соотношение для

,

получим:



Отсюда для величины скорости в любой точке траектории имеем:



Из чертежа видно, что скорость в точке B, для которой r = а, в точности равна своему среднему значению.
7. O. Обычно наиболее точные данные о движении кометы получаются при прохождении кометы через перигелий. Для этого как можно точнее измеряют перигелийное расстояние и скорость в перигелии. Например, перигелийное расстояние и скорость относительно Солнца кометы Хейла-Боппа, измеренные в момент прохождения ее через перигелий 1 апреля 1997 года, оказались равными: q = 0,9180262 а.е. v_п = 43,876 км/с. Такая точность в измерении q и v_п необходима, т.к. эксцентриситет впервые наблюдаемых планет очень близок к единице. Недостаточная точность в измерении q и v_п приводит к большим ошибкам при вычислении параметров движения. Учитывая это, вычислить большую полуось, эксцентриситет и афелийное расстояние орбиты, кометы Хейла-Боппа, а также период ее обращения вокруг Солнца.
Воспользуемся формулой для скорости небесного тела относительно Солнца:

,

где мы учли, что множитель перед скобками это квадрат средней орбитальной скорости Земли

Отсюда:



.



Наконец, пользуясь третьим законом Кеплера, находим период обращения:

.
8. O. Показать, что у Луны не может быть стационарного спутника и, следовательно, глобальное лунное телевидение необходимо осуществлять иными способами, чем спутниковое телевидение на Земле.
Вычислим селеноцентрическое расстояние до стационарного спутника Луны, предложив, что таковой возможен. Применяя 3-й закон Кеплера (уточненный), запишем:



где мы учли, что

Как известно, период обращения Луны вокруг собственной оси равен сидерическому лунному месяцу Т_Л. Третье тело, которое может нарушить устойчивость системы спутник-Луна – это Земля. Ускорения, которые сообщают Луна спутнику и Земля спутнику и Луне, равны:



Из-за действия Земли на Луну и спутник, спутник приобретает относительно Луны приливное ускорение, направленное от Луны.



Сравним это с ускорением, с которым спутник «падает» на Луну:

.



Приливная сила в три раза превосходит силу притяжения стационарного спутника к Луне. Следовательно, такой спутник не может существовать и селенитам необходимо искать иные способы осуществления вселунного телевидения, чем спутниковое телевидение на Земле.
9. O. Исследование годового движения Солнца позволяет сделать вывод, что по эклиптике движется не само Солнце, а некоторая точка, относительно которой Солнце совершает колебания с амплитудой 6^//,5 и периодом 27,32 с.с.с. Какова причина этих колебаний? Как, используя это явление, измерить массу Луны?




Годовое движение Солнца отражает годовое движение Земли относительно Солнца. Колебания Солнца относительно эклиптике означают, что Земля совершает колебания относительно точки на своей орбите с амплитудой:

_.

Эти точки есть центр массы системы Земля-Луна, а r_ц – расстояние от центра массы до центра Земли. Отсюда:



Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли.
10. O. Начертить видимый путь Плутона в координатах ,  с 1 января 1989 г. по 31 декабря 1989 г. и объяснить появление петли. В каком созвездии находился Плутон в 1989 г.?

Дата	Прямое восхождение 	Склонение 	Гелиоцентрическое расстояние r	Примечание	Плутон 1989 год
1 января	15h0,7m,2	– 1o 19	29,659
19 февраля	15h09m,9	– 0о 07	29,658	Стояние
6 мая	15h05m,0	– 0о 23	29,657	Противостояние
11 июня	15h01m,4	– 0о 16	29,656
28 июля	14h59m,3	– 0о 29	29,656	Стояние
6 ноября	15h08m,4	– 1о 54	29,656	Соединение
31 декабря	15h16m,0	– 2o 15	29,657

Предположим, в течение достаточно длительного промежутка времени, например, года, систематически через определенные интервалы времени измеряются координаты небесного тела, его угловой диаметр, яркость и, возможно, еще другие величины. Получается таблица эфемерид. Она чрезвычайно важна, т.к. из нее можно извлечь любую необходимую информацию о движении и других характеристиках небесного тела.

Ниже представлена краткая таблица эфемерид Плутона
Причина возникновения петли – годичное параллактическое смещение Плутона, возникающее из-за того, что наблюдатель, находящийся на Земле, видит Плутон под разным углом из разных точек земной орбиты.

Дата	Прямое восхождение 	Склонение 	Гелиоцентрическое расстояние r	Примечание	Плутон 1989 год
1 января	15h0,7m,2	– 1o 19	29,659
19 февраля	15h09m,9	– 0о 07	29,658	Стояние
6 мая	15h05m,0	– 0о 23	29,657	Противостояние
11 июня	15h01m,4	– 0о 16	29,656
28 июля	14h59m,3	– 0о 29	29,656	Стояние
6 ноября	15h08m,4	– 1о 54	29,656	Соединение
31 декабря	15h16m,0	– 2o 15	29,657

1 1. Р. Изобразить примерное относительное расположение Солнца, Плутона и Земли 1 января 1989г. и 31 декабря того же года, пренебрегая наклоном плоскости орбиты Плутона к плоскости земной орбиты. Каково примерно геоцентрическое расстояние Плутона  в эти даты в а. е.? Чему примерно равно перигелийное расстояние Плутона? Когда Плутон проходит через свой перигелий?
Из таблицы эфемерид следует, что на временном промежутке июнь-ноябрь. Плутон проходит свой перигелий на расстоянии примерно q = 29,656 а. е. от центра Солнца. 6 ноября Земля находилась в соединении с Плутоном. За 55 дней до 31 декабря Земля сместится по своей орбите на 55^о. По теореме косинусов можно найти расстояние от Земли до Плутона 1/I, 31/XII.



Заметим, что из-за большого расстояния до Солнца, Плутон очень медленно перемещается по своей орбите. Поэтому при вычислении мы приняли, что он за время с 6/XI по 31/XII не сместился заметно из точки П.

12. Р. Вычислить угловое перемещение Плутона по небесной сфере за год с 1/I по 31/XII, угловое перемещение его по орбите за этот же промежуток времени и орбитальную скорость в перигелии.

Дата	Прямое восхождение 	Склонение 	Гелиоцентрическое расстояние r	Примечание	Плутон 1989 год
1 января	15h0,7m,2	– 1o 19	29,659
19 февраля	15h09m,9	– 0о 07	29,658	Стояние
6 мая	15h05m,0	– 0о 23	29,657	Противостояние
11 июня	15h01m,4	– 0о 16	29,656
28 июля	14h59m,3	– 0о 29	29,656	Стояние
6 ноября	15h08m,4	– 1о 54	29,656	Соединение
31 декабря	15h16m,0	– 2o 15	29,657

Найдем изменение координат Плутона за год с 1/I по 31/XII:



Отсюда угловое перемещение Плутона за год для наблюдателя на Земле:

.

Угловое перемещение обратно пропорционально расстоянию от наблюдателя до Плутона. Отсюда угловое перемещение Плутона по орбите вокруг Солнца будет:

.

Чтобы найти скорость необходимо разделить  на число секунд в году, перевести в радианную меру и умножить на q (1 рад = 57^о).