Задачи второго уровня (6 класс) Задачи второго (конструктивного) уровня

Задачи второго уровня (6 класс)
Задачи второго (конструктивного) уровня предполагают, что ученик готов применить свои знания в измененной ситуации, где надо узнать образец. Ребятам для решения задач приходится использовать несколько алгоритмов, формул, теорем, анализировать возможные общие пути решения, отыскивать характерные признаки и связи познавательного объекта с другими, т.е. узнать образец. Это значит: понял, запомнил, воспроизвел, применил знания по образцу в измененной ситуации.

Задачи второго уровня могут быть включены в контрольные работы последним заданием или (и) использоваться при подготовке к контрольной работе в ходе формирования учебной самостоятельности, а также могут быть предложены учителем на уроках обобщения и повторения. Такие задачи развивают детей, помогают повысить интерес к предмету.
Предлагаю банк задач второго уровня по всем основным темам курса математики 6 класса.
Тема: Делимость чисел.

1. 
   Запишите все делители произведения а) 6аb, б) 8xyz.
   

2. 
   Из 156 чайных, 234 белых и 390 красных роз сделали букеты, причем во всех букетах роз каждого вида было поровну и число таких букетов было больше 50. Сколько букетов сделали из этих роз и сколько роз каждого вида было в одном букете?
   

3. 
   В киоск привезли тетради. Если их разложить в пачки по 15 тетрадей в каждую или по 20 тетрадей, то в обоих случаях лишних тетрадей не окажется. Сколько тетрадей привезли в киоск, если их было больше 900, но меньше 1000?
   

4. 
   Проверьте равенство НОД(56, 196)НОК(56, 196)=56196.
   
5. 
   Возьмите любые значения переменных а,b и проверьте равенство НОД(а,b)НОК(а,b)=аb.
   
6. 
   Сформулируйте новый алгоритм нахождения НОК(а,b).
   

7. 
   НОК(а,b)=а. Найдите НОД(а,b).
   

8. 
   НОД(а,b)= b. Найдите НОК(а,b).
   

9. 
   НОД(а,b)=4, НОК(а,b)=120. Найдите b, если а=24.
   

10. 
    Запишите первых восемь натуральных чисел, кратных 25. Обратите внимание на две последних цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 25.
    

11. 
    Определите, может ли число, составленное из одних четверок, делиться на число, составленное из одних девяток? А наоборот? Ответ объясните.
    

12. 
    Может ли число, составленное из одних восьмерок, делиться на число, составленное из одних троек? А наоборот?
    

13. 
    Мальчик и девочка измерили одно и то же расстояние в 143 м шагами, причем 20 раз их следы совпали. Найдите длину шага мальчика, если шаг девочки равен 55 см.
    

14. 
    Отец и сын измерили шагами одно и то же расстояние, причем 10 раз их шаги совпали. Отец прошел 110 шагов. Найдите длину шага сына, если шаг отца равен 65 см.
    

15. 
    Замените звездочки цифрами так, чтобы число 81 делилось на 45. Укажите все возможные решения.
    

16. 
    Замените звездочки цифрами так, чтобы число 32 делилось на 30. Укажите все возможные решения.
    

17. 
    Замените звездочки четырьмя одинаковыми цифрами так, чтобы числа 3 и 6 были взаимно простыми. Укажите все возможные решения.
    

18. 
    Замените звездочки четырьмя одинаковыми цифрами так, чтобы числа 1 и 4 были взаимно простыми. Укажите все возможные решения.
    

19. 
    Задача из старинных рукописей.
    

Старуха принесла на рынок кошелку яиц. Не успела разложить их, как богатый купец ненароком зацепил кошелку, и все яйца разбились. Прибежал городовой, ухватил купца и приказал возместить убытки. А тот спрашивает:

- Сколько было всего яиц?

- Не знаю, не считала,- отвечает старушка. – Зато дома я все яйца раскладывала на кучки. Сначала разложила на две кучки, и осталось одно яйцо. Потом на три. Опять одно осталось. Тогда разложила на четыре, на пять, на шесть, на семь кучек, но каждый раз оставалось одно яйцо. В последний раз на восемь разложила. И что же! Опять лишнее яйцо. Я рассердилась и больше не считала…

- Ясно, - сказал купец и протянул деньги.

- Правильно, - подтвердил городовой, и все разошлись добром.

А ты сможешь высчитать, сколько было яиц в кошелке?

20. 
    «За какое время окупятся куры?» (из «Арифметики» Магницкого, 1703 г.)
    

Один человек купил три курицы и заплати за них 46 копеек. Первая курица несла по три яйца через четыре дня, вторая по два яйца через три дня, а третья – по одному яйцу через два дня. Продавал он яйца по пять штук за полкопейки. За какое время окупятся куры?

Ответы.

2. 156=22313, 234=23313, 390=23513.

НОД(156,234,390)=2313=78

Если из разложения НОД на простые множители убрать хотя бы один из них, то результат будет меньше 50, что не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, из роз сделали 78 букетов, в каждом букете 2 чайных, 3 белых и 5 красных ОРЗ.

3. 
   Количество тетрадей кратно 15 и кратно 20.
   

НОК(15, 20)=60.

90060n1000, nN

n=16 6016=960 тетрадей.

6. 
   Алгоритм нахождения НОК(а,b)
   
   • 
     Найти НОД(а,b)
     
   • 
     Найти произведение чисел а,b
     
   • 
     Произведение чисел а,b разделить на их наибольший общий делитель.
     

6. 
   НОД(а,b)== b
   
7. 
   НОК(а,b)=а
   
8. 
   b=20
   
9. 
   Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две последние цифры его образуют такое двузначное число, которое делится на 25.
   
10. 
    да, нет
    
11. 
    да, нет
    
12. 
    65 см, задача корректна, если не считать совпадение шагов в начале отсчета
    
13. 
    55 см
    
14. 
    0 и 0, 9 и 0, 4 и 5
    
15. 
    1 и 0, 4 и 0, 7 и 0
    
16. 
    1 или 7
    
17. 
    9
    
18. 
    НОК(2,3,4,5,6,7,8)+1=840+1=841
    
19. 
    Чтобы возместить сумму 46 копеек, надо 46:5=460 яиц.
    

НОК(4,3,2)=12. За 12 дней первая курица снесла 9 яиц, вторая – 8, третья -6.вместе они снесли 23 яйца. Так как =20, то за 2012=240 дней курицы снесут 2320=460 яиц. Значит, куры окупятся за 240 дней.

Тема: Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей.

1. 
   Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, овца – за три. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
   
2. 
   Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за год, второй плотник может построить дом за два года, третий – за три года, а четвертый– за 4 года. Однако строили дом четыре плотника вместе. За какое время они выстроили дом?
   
3. 
   Старинная задача (Китай, II век). Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней, а дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?
   
4. 
   Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона. Лев может съесть овцу за два часа, волк – за три часа, а собака – за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
   
5. 
   За единицу длины в Древнем Египте принимали «царский локоть», равный м и «локоть простолюдина»-м. Предположим, что купец должен отдать дань фараону материей 75 «царских локтей», а продать ему посчастливилось 80 «простолюдиновых локтей» материи. Сравни количество проданной материи с количеством материи, отданной в дань.
   
6. 
   Сравните дроби, учитывая их удаленность от единицы: .
   
7. 
   Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби: .
   
8. 
   Среднее арифметическое четырех чисел равно 3, а среднее арифметическое трех из них равно1. Найдите четвертое число.
   
9. 
   Найдите значение выражения: .
   

Ответы

1. 
   Лошадь съедает за один месяц 1 воз, коза 12 воза, овца 13 воза. Вместе за месяц =воза. За 1месяца съедят трое воз сена.
   
2. 
   За один год четверо построят совместно дома. Один дом построят за . Ответ: 175,2 дней.
   
3. 
   .
   
4. 
   12 часть съест лев за 1 час, 13 овцы съест волк за час, 16 часть овцы съест собака за час, вместе они за час съедят 12+13+16=1 овцу.
   
5. 
   75325=39 м должен отдать дань, 80920=36 м продал. 39>36.
   
6. 
   Дополним данные дроби до единицы: . Аналогично получаем, что .
   
7. 
   Дополним данные дроби до единицы: . Аналогично получаем, что .
   
8. 
   Среднее арифметическое =(сумма чисел):(количество слагаемых). Следовательно,
   

Сумма чисел =(количество слагаемых) (среднее арифметическое)

34=12 – сумма четырех чисел

1- сумма трех чисел

12-4- четвертое число.

9. 0,7
Тема: Нахождение части от числа и нахождение числа по его части.

1. 
   Найдите равны 40.
   
2. 
   Найдите число, 25% которого равны 6,25% от 2.
   
3. 
   Турист прошел 1/3 намеченного пути, а затем 60% оставшейся части. После этого он выяснил, что пройденный путь на 8 км больше, чем оставшийся. Сколько километров наметил пройти турист?
   
4. 
   Сумма истраченных денег составляет 25% оставшихся денег. После того, как истратили еще 5 руб., сумма истраченных денег составила 1/3 оставшихся денег. Сколько денег было первоначально?
   
5. 
   За три дня магазин продал 60 компакт-дисков. Сколько дисков было продано в каждый из дней, если 13 проданного в первый день равна 40% проданного во второй день и половине проданного в третий день?
   
6. 
   Проехав треть пути, пассажир заснул и спал до тех пор, пока не осталось проехать пятую часть того пути, который он проехал спящим. Найдите длину всего пути, если спящим пассажир проехал 40 км.
   
7. 
   Один трактор может вспахать поле за 6часа, а другой за то же время выполняет этой работы. За сколько времени оба трактора могут вспахать поле, работая совместно?
   
8. 
   Задача Древней Греции.
   

- Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы?

- Вот сколько,- ответил философ, - половина моих учеников изучают математику, четвертая часть – природу, седьмая часть проводит время в молчаливом размышлении и еще три девы.

Сколько учеников у Пифагора?

9. 
   Из «Курса чистой математики» Войтяховского (1811 г.)
   

Капитан на вопрос, сколько имеет в своей команде людей, отвечал, что две пятых его команды в карауле, две седьмых – в работе, одна четвертая – в лазарете и 27 человек налицо. Сколько человек в его команде?

10. 
    Во время гонок по бездорожью 0,2 всего пути автомобиль двигался со скоростью 64 км/ч, 15% всего пути – со скоростью 60 км/ч, а остальные 260 км – со скоростью 52 км/ч. Найдите длину дистанции и время, за которое она была пройдена автомобилем. Какова была средняя скорость автомобиля на этой дистанции? (632 М)
    

11. 
    Свежий виноград содержит 90% воды, а изюм 55%. Сколько изюма получится из 13,5 кг винограда? Сколько винограда надо взять, чтобы получить 10 кг изюма? (573 М)
    

12. 
    На столе лежал расколотый арбуз массой 10 кг, содержащий 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась и ее процентное содержание в арбузе понизилось до 96%. Найдите новую массу арбуза. (575)
    

13. 
    Число увеличили на 10%, потом еще на 10%. На сколько % увеличили число за два раза?
    

14. 
    Некий леспромхоз решил вырубить сосновый лес, но экологи запротестовали. Тогда директор леспромхоза их успокоил, сказав, что в лесу 99% сосны, а после рубки сосна будет составлять 98% всех деревьев. Какую часть леса может вырубить леспромхоз?
    

Ответы

1. неизвестного числа равны 40:2027=54, х=54:1811=33.

2. Найдем 6,25% от 2: 0,0625-это 25% искомого числа, -искомое число.

3. Пусть х км – весь путь, тогда км –первая часть пути, км –остаток, - это 60% остатка, вторая часть пути, км – третья часть пути. Зная, что длина третьей части на 8 км меньше суммы длин первых двух, составим уравнение:

Ответ: 17км – намеченный путь.

Ответ в первоисточнике -40 км (Ершова, Самостоятельные и контрольные работы для 6 класса, к. р. № 5, вариант В1-2, №3)
4. Пусть х руб. осталось после первой покупки, тогда 0,25х руб. истрачено на нее, (0,25х+5) руб. истрачено всего, это 1/3 остатка, а осталось (х-5) руб. Составим уравнение: (0,25х+5)3=х-5, х=80 руб.

Следовательно, первоначально было 80+0,2580=100 рублей.

Ответ в первоисточнике 80 руб. (Ершова, Самостоятельные и контрольные работы для 6 класса, с-14, вариант 2, № 2)

5. 
   Пусть х дисков продали в третий день, тогда - это 40% проданного во второй день и 13 проданного в третий день. Значит, во второй день продали 0,4= дисков, 3= дисков продано в третий день. Зная, что за три дня продали 60 дисков, составим уравнение , х=16. Ответ: 24, 20,16 дисков.
   
6. 
   40:5=8 км осталось, 40+8=48 км –это 23 пути, 48:23=72 км –весь путь.
   
7. 
   Обозначим весь объем работы через 1.
   

1:поля за час-производительность первого трактора,

-производительность второго трактора

-совместная производительность труда

114=4 часа потребуется.

5. 
   1-(12+14+17)=328 составляют три девы, 3328=28 человек посещают школу.
   

5. 
   27 человек составляют 1-(25+27+14)=9140 всей команды, 279140=420 человек в команде.
   

5. 
   400 км – длина дистанции,7 ч 15 мин - время в пути, средняя скорость 55,17кмч.
   
6. 
   10% сухого вещества в винограде, 45% сухого вещества в изюме,
   

13,50,1=1,35 кг сухого вещества в 13,5 кг винограда

1,350,45=3 кг изюма получится из 13,5 кг винограда

100,45=4,5 кг сухого вещества в 10 кг изюма

4,50,1=45 кг винограда надо взять, чтобы получить 10 кг изюма

5. 
   2,5 кг
   

5. 
   Пусть число было равно х.. сначала его увеличили на 10%, т. е. на 0,1х. Получили 1,1х. Теперь полученное число увеличим на 10%: 1,1х+0,11,1х=1,21х. Последний результат на 21% больше данного числа.
   

5. 
   Если бы экологи лучше знали проценты, то директору леспромхоза не удалось бы их так легко перехитрить. Ведь условию задачи можно удовлетворить, оставив в лесу 49 сосен и 1 березу.
   

Решение задач с помощью уравнений

1. 
   Задача, которую предложил маленькому Александру Пушкину великий полководец А. В. Суворов.
   

Летела стая гусей, а навстречу им гусь.

- Здравствуйте, сто гусей! – говорит он им.

- Нас не сто гусей, - отвечают они ему. – Вот если бы нас было столько, сколько есть, да еще раз столько, да полстолько, да четверть, да ты с нами, тогда было бы сто.

Сколько гусей было в стае?
2. Старинная задача.

Для перевозки 25 зеркал нанят извозчик с условием заплатить ему по 1 руб. за доставку каждого зеркала в целости и вычесть по 5 руб. за каждое зеркало, разбитое им. При расчете он получил 18 руб. Сколько зеркал доставлено им в целости?
3. Из «Всеобщей арифметики» Ньютона.

Некто желает распределить между бедными деньги. Если бы у него было на восемь динариев больше, то он мог дать каждому по три, но он раздает лишь по два и у него остается три. Сколько было бедных?
4. Задача Ал-Каши (xv век).

Плата работнику за месяц, то есть за тридцать дней, - десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?

5. 
   На математической олимпиаде было предложено решить 12 задач. За каждую правильно решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за каждую нерешенную задачу списывалось 3 очка. Сколько задач правильно решил ученик, если он получил за свою работу 36 очков?
   

5. 
   Найдите два числа, если их разность равна 5, а 80% одного числа равны 23 другого. Сколько решений имеет задача?
   

Ответы.
1. 36 гусей.

2. 
   Пусть было х целых, тогда (25-х) –разбитых зеркал,
   

1,5х-5(25-х)=18, х=22.

3. х бедных, 3х-8=2х+3, х=11.

4. х динаров стоит платье, (х+10)30 динаров – дневной заработок, , х=динаров.

5. 9 задач решено верно

6. Пусть х –одно число, тогда х-5 – другое. Условию задачи соответствуют два уравнения: 0,8х= или 0,8(х-5)=. Значит, задача имеет два решения: (-25, -30), (30,25).