§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ 1. Определители второго порядка и система двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными
Пусть дана квадратная таблица из четырёх чисел a1, a 2 , b1, b 2 ,
. (1)
Число a1, b 2 , a2, b 1 , называется определителем второго порядка, соответствую-
щим таблице (1). Этот определитель обозначается символом
соответственно имеем:
= a1 b2 - a2 b1 , (2)
Числа a1 b2 a2 b1 , называются элементами определителя. Говорят, что элементы a1 b2 , лежат на главной диагонали определителя, as, bt — на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,
= — 3* 4 – (—1) 2 = —10 ,
Рассмотрим систему двух уравнений
(3)
с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты a1, b1, а2, b2 и свободные члены
h1, h2 предположим данными.) Введём обозначения
, , . (4)
Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель получается путём замены элементов первого столбца определителя свободными членами системы (3); определитель получается из определителя при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.
Если 0, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами
(5)
Если = 0 и при этом хотя бы один из определителей x, у отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы).
Если же = 0, но также x = y = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).
Пусть в уравнениях системы (3) h1=h2 = 0; тогда система (3) будет иметь вид:
(6)
Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение: х = 0, у = 0. Если 0, то это решение является единственным; если же = 0, то система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.
1204. Вычислить определители:
1) ; 2) ; 3)
4) ; 5) ; 6)
7) ; 8) .
1205. Решить уравнения:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6)
7) ; 8) .
1206. Решить неравенства:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
1207. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
1208. Определить, при каких значениях а и b система уравнений
1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений.
1209. Определить, при каком значении а система однородных уравнений
имеет ненулевое решение.
страница 1
скачать
Другие похожие работы: