Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса

Задания I тура (школьного) олимпиады по математике для 10 класса

1. 
   Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти 2, разность которых делится на 10.
   
2. 
   Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи? Движение Ахиллеса и черепахи проходило по одной прямой.
   
3. 
   Рассматриваются квадратичные функции y=x²+px+q, для которых p+q=2009. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.
   
4. 
   На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P = 5 и площади S = 25. Взяли круг радиуса с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника, и закрасили его. Найдите площадь закрашенной фигуры F.
   
5. 
   Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?
   

Решение. 10 класс

1. 
   Докажите, что среди любых 11 целых чисел можно найти 2, разность которых делится на 10.
   

Если взять последовательно 11 чисел, то у двух из них обязательно будет одинаковое число единиц в разряде единиц, т.к. различных цифр всего – 10; это – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, т.е. среди 11 чисел какая-то цифра в последнем разряде встретится дважды. Эти два числа и дадут разность, которая делится на 10.

2. 
   Обнаружив в 64 метрах от себя уползающую черепаху, Ахиллес начал ее преследовать. Сократив расстояние до черепахи в 8 раз и осознав свое превосходство, он прекратил погоню. Какой путь проделал Ахиллес с начала погони, если его скорость в 15 раз больше скорости черепахи? Движение Ахиллеса и черепахи проходило по одной прямой.
   

За время t черепаха прошла путь vt и оказалась в точке D, а Ахиллес – 15 vt и оказался в точке B. По рисунку видно, что





(м) – прошла черепаха.

Тогда Ахиллес прошел

м

Ответ: 60 м.

3. 
   Рассматриваются квадратичные функции y=x²+px+q, для которых p+q=2009. Найдите точку, в которой пересекаются все графики таких функций.
   

I способ.

Подберем такое значение x, чтобы выражение p + q было связано со значением квадратичной функции y=x²+px+q в точке x.

Возьмем x=1.

Тогда

y(1) = 1+p+q = 1+2009=2010, (по условию)

Итак, для всех выписанных квадратичных функций выполнено

y(1)=2010.

Но это означает, что каждый из графиков этих квадратичных функций проходит через точку (1, 2010) координатной плоскости.

II способ.

Пусть - точка, в которой пересекаются все параболы. Тогда ее координаты удовлетворяют уравнению:

,

где .

Решим уравнение относительно х₀.



,

т.к М – единственная точка, тогда:



Построив график этой функции, видим, что она имеет максимум в вершине параболы, т.е. при:

. При этом

Абсциссу точки найдем их уравнения:









Итак, в точке: пересекаются все графики функций.

4. 
   На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P = 5 и площади S = 25. Взяли круг радиуса с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника, и закрасили его. Найдите площадь закрашенной фигуры F.
   

Для определенности возьмем шестиугольник.

Закрашенную фигуру F можно разбить на несколько фигур:

1. 
   сам многоугольник M, его площадь:
   

S₁ = 25

2. 
   n прямоугольников, площадь каждого из которых: , а общая их площадь:
   

3. 
   n секторов круга; Найдем сумму углов этих секторов:
   

,

где β – внутренний угол многоугольника. Сумма внутренних углов многоугольника равна:



Таким образом, сумма градусных мер всех секторов равна сумме внешних углов многоугольника M, т.е. равна 360⁰.

Значит, сектора составляют полный круг радиуса R, следовательно, их суммарная площадь равна площади круга радиуса R, т.е. равна:



Итак, сложив все найденные площади, получим:



Ответ:

5. 
   Какое наибольшее число фишек можно поставить на клетки шахматной доски так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали находилось четное число фишек?
   

На шахматной доске имеется 64 клетки. 16 диагоналей, содержащих нечетное число клеток и не имеющих общих клеток. Следовательно, число фишек не может быть более, чем 64-16=48.

Можно поставить по фишке на каждую клетку доски, кроме клеток двух главных диагоналей, получится 48 фишек.