§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными

§ 2. Однородная система двух уравнений

первой степени с тремя неизвестными
Пусть дана система двух однородных уравнений



тремя неизвестными х, у, г. Введём обозначения:

;
Если хотя бы один из определителей _{1 ,} _{2 ,} ₃ , не равен нулю, то все реше­ния системы (1) будут определяться по формулам х =₁t _, х =₂t _, х =₃t _, где t — произвольное число. Каждое отдельное решение получается при ка­ком-либо определённом значении t.

Для практики вычислений полезно заметить, что определители _1, _2, ₃, получаются при помощи поочерёдного вычёркивания столбцов таблицы:



Если все три определителя _1, _2, ₃, равны нулю, то коэффициенты уравне­ний системы (1) пропорциональны. В этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого и система фактически сводится к одному уравнению. Такая система, естественно, имеет бесконечно много решений; чтобы получить какое-нибудь из них, следует двум неизвестным придать произвольно численные значения, а третье найти из уравнения.

1210. Найти все решения каждой из следующих систем урав­нений:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)