1. Теория функций комплексного переменного Лекторы
1. Теория функций комплексного переменного
2. Лекторы.
2.1 д.ф.-м.н., профессор Попов Виктор Юрьевич, кафедра математики физического факультета МГУ, popovvyu@phys.msu.ru, 84959391351.
2.2 д.ф.-м.н., профессор Неделько Илья Витальевич, кафедра математики физического факультета МГУ, [email protected], 84959391033.
2.4. к.ф.-м.н., доцент Кравцов Андрей Владимирович, кафедра математики физического факультета МГУ, [email protected], 84959391033.
2.4. к.ф.-м.н., доцент Майков Андрей Ростиславович, кафедра математики физического факультета МГУ, [email protected], 84959391033.
3. Аннотация дисциплины.
В курсе излагаются основные понятия теории функций комплексной переменной. Изучаются комплексная арифметика, дифференцирование и интегрирование функций комплексного переменного, свойства и приложения аналитических функций. Рассматривается теория вычетов и ее приложения к вычислению контурных и несобственных интегралов. Конформные отображения и метод перевала также достойно представлены в этом курсе. Большое внимание уделяется приложениям методов теории функций комплексного переменного в различных областях фундаментальной и прикладной науки, например, в теории дифференциальных уравнений, теории чисел, теории вероятностей, при моделировании и анализе результатов физических экспериментов, в аэродинамике, гидродинамике, электродинамике и др. Курс состоит из теоретической (лекции) и практической (семинарские занятия) частей.
4. Цели освоения дисциплины.
Цели освоения дисциплины «Теория функции комплексного переменного» состоят в изложении основных принципов анализа комплексных чисел с целью развития у студентов навыков работы с объектами более сложной структуры, чем действительные числа и их функции, которые находят практическое применение практически во всех дисциплинах цикла «Теоретическая физика» и в особенности в классической механике, электродинамике и квантовой теории.
5. Задачи дисциплины.
Задачи дисциплины «Теория функций комплексного переменного» в программе интегрированного бакалавра по направлению «Физика» определяются как необходимостью воспитания общей математической культуры, так и задачей формирования представлений о фундаментальных и прикладных математических конструкциях и моделях, используемых в современной физике.
6. Компетенции.
7.1. Компетенции, необходимые для освоения дисциплины.
ОНК-1, ОНК-6, СК-3
7.2. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины.
ОНК-1, СК-2, ПК-1, ПК-2, ПК-3
7. Требования к результатам освоения содержания дисциплины
Компетенция ПК-1.
В результате освоения дисциплины студент должен
Знать: 1. понятия комплексных чисел; 2. понятие последовательности и ряда комплексных чисел; 3. понятие стереографической проекции, сферы Римана; 4. понятие комплексной плоскости; 5. понятие функции комплексной переменной и понятие отображения, 6. понятие многозначных функций, ветвей и областей однолистности многозначных функций; 7. понятие производной, 8. понятие аналитической функции, 9. условия Коши - Римана, 10. понятие конформного отображения, сферы Римана; 11. понятие неопределенного интеграла, первообразной; 12. свойства интеграла Коши, следствия из формулы Коши; 13. принцип максимума модуля аналитической функции; 14. понятие высших производных аналитической функции; 15. Понятие числового ряда, 16. условия сходимости числовых рядов; 17. понятие функционального ряда; 18. Теоремы Абеля, Тейлора; 19. понятие нулей аналитической функции; 20. теорему о единственности определения аналитической функции; 21. определение и область сходимости ряда Лорана; 22. понятие особых точек, их классификация; 23. определение вычета; 24. Основная теорема теории вычетов; 25. Понятия логарифмической производной и логарифмического вычета; 26. Понятие конформного отображения;
Уметь: 1. выполнять основные алгебраические операции с комплексными числами, 2. использовать алгебраическую, показательную, тригонометрическую формы записи комплексного числа; 3. задавать области комплексной плоскости; 4. извлекать корень из ком-
плексного числа; 5. выделять действительную и мнимую части комплексных функций; 6. определять области аналитичности функций комплексных переменных; 7. вычислять производные от комплексных функция явным образом и с использованием условий Коши –Римана; 8. вычислять интегралы от комплексных функций; 9 . исследовать сходимость числовых рядов; 10. проводить разложение функции в ряд Тейлора; 11. проводить разложение функции в ряд Лорана; 12. определение характера особых точек; 13. вычисление вычетов прямым разложением в ряд Лорана; 14. уметь вычислять простейшие контурные и несобственные интегралы с использованием вычетов.
Владеть: 1. навыками работы с комплексными числами; 2. различными методами вычисления производных от комплексных функций, 3. методами вычисления простейших контурных и несобственных интегралов.
Компетенция ПК-2
В результате освоения дисциплины «Теория функции комплексного пе-
ременного» обучающийся должен:
Знать: 1. свойства основных элементарных функций комплексного переменного; 2. принципы конформного отображения, 3. продолжение функциональных соотношений с действительной оси; 4. понятие функций многих комплексных переменных; 5. определения аналити-
ческих функций их производных 6. принципы построения конформных отображений; 7. понятие дробно-линейной функции. 8. связь аналитических и гармонических функций; 9. преобразование и основные свойства преобразования Лапласа.
Уметь: 1. работать с кривыми (контурами); 2. решать алгебраические уравнения с комплексными числами; 3. работать с элементарными функциями комплексных переменных; 4. вычислять контурные интегралы с помощью формулы Коши; 5. вычислять вычеты специальными методами; 6. вычислять интегралы, включая несобственные, от функций
специального вида (рациональные, тригонометрические, степенные); 7. Вычислять образы функций. 8. Решать линейные дифференциальные уравнения методами операционного исчисления; 9. Использовать конформные отображения при решении задач гидромеханики и электростатики. 10. Использовать метод перевала для построения асимптотик.
Владеть: 1. различными методами вычисления интегралов от комплексных функций и несобственных интегралов; 2. методами решения линейных дифференциальных уравнений методами операционного исчисления. 3. аппаратом конформных отображений. 4. методом перевала.
Иметь опыт практического применения аппарата теории функций комплексного переменного к задачам фундаментальных и прикладных наук, таких как теоретическая и экспериментальной физика (классическая механика, электродинамика и квантовая теория, моделирование и анализе результатов физических экспериментов, аэродинамика, гидродинамика), теория дифференциальных уравнений, теория вероятностей др.
8. Содержание и структура дисциплины.
| Вид работы | Семестр | Всего |
| 3 | ||
| Общая трудоёмкость, акад. часов | 144 | 144 |
| Аудиторная работа: | 72 | 72 |
| Лекции, акад. часов | 36 | 36 |
| Семинары, акад. часов | 36 | 36 |
| Лабораторные работы, акад. часов | - | - |
| Самостоятельная работа, акад. часов | 72 | 72 |
| Вид итогового контроля (зачёт, зачёт с оценкой, экзамен) | зачёт, экзамен | зачёт, экзамен |
| N раз- дела | Наименование раздела | Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий | Форма текущего контроля | ||
| Аудиторная работа | Самостоятельная работа | ||||
| Лекции | Семинары | ||||
| 1 | Комплексные числа и функции комплексного переменного (ФКП). | 2 часа. Комплексные числа и действия с ними. Множества точек на комплексной плоскости. Последовательности комплексных чисел. | 2 часа. Действия с комплексными числами. Множества точек на комплексной плоскости. | 4 часа. Работа с лекционным материалом. Отработка практических навыков действий с комплексными числами. Решения задач по теме семинарского занятия. Топология комплексной плоскости | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 2 часа. Понятие ФКП. Однозначные и однолистные отображения. Обратные функции. Элементарные функции комплексного переменного. Предел ФКП. Непрерывность и равномерная непрерывность. | 2 часа. Элементарные функции комплексного переменного. | 2 часа. Работа с лекционным материалом. Визуализация ФКП в математических пакетах. | |||
| 2 | Дифференцирование ФКП. | 2 часа. Дифференцируемость по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Аналитические функции и их свойства. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Понятие конформного отображения.. | 2 часа. Аналитические функции и их свойства. Исследование на аналитичность. Восстановление аналитических функций. | 6 часов. Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. R-дифференцируемость, C-дифференцируемость. Производная по направлению. Голоморфность и конформность отображений расширенной комплексной плоскости | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 3 | Интегрирование ФКП | 2 часа. Интеграл от ФКП по кривой на комплексной плоскости, его свойства, связь с криволинейными интегралами, сведение к интегралу по действительной переменной, замена переменной. Интегральная теорема Коши. Неопределенный интеграл, первообразная, формула Ньютона-Лейбница, интегральная формула Коши-Адамара. | 2 часа. Интеграл по кривой на комплексной плоскости. | 6 часов. Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. Лемма Гурса. Теорема Коши о гомотопии. | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 2 часа. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. Формула среднего значения. Принцип максимума модуля аналитической функции. | 2 часа. Теорема Коши. Интегральная формула Коши. | ||||
| 2 часа. Интеграл типа Коши и возможность его дифференцирования под знаком интеграла. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Морера. Теорема Лиувилля. Интегралы, зависящие от параметра. | | ||||
| 4 | Ряды ФКП. | 2 часа. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций. | 2 часа. Функциональные ряды. Исследование на равномерную сходимость. Почленное интегрирование и дифференцирование равномерно сходящегося ряда. | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. НеравенстваКоши. Аппроксимация голоморфных функций полиномами. | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 2 часа. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Теорема о представлении аналитической функции рядом Тейлора. | 2 часа. Степенные ряды комплексной переменой. Радиус сходимости. Разложение в ряд Тейлора. | ||||
| 5 | Единственность задания аналитической функции | 2 часа. Правильные и особые точки функции. Нули аналитической функции. Теорема о нулях аналитической функции. Единственность определения аналитической функции. Множества задания аналитической функции. | | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. | Об, |
| 6 | Аналитическое продолжение | 2 часа. Понятие аналитического продолжения. Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей. Теорема о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда для аналитической функции. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей. Аналитическое продолжение с действительной оси. Распространение на комплексную плоскость соотношений, справедливых на действительной оси. Понятие римановой поверхности и точки ветвления многозначных функций. | | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Теория Вейерштрасса. Аналитическое продолжением по цепочке областей. Римановы поверхности и точки ветвления многозначных функций. | Об |
| 7 | Ряд Лорана. | 2 часа. Ряд Лорана, область его сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения. | 2 часа. Разложение ФКП в ряд Лорана. Классификация особых точек. | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. Связь рядов Лорана и Фурье. | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 8 | Особые точки | 2 часа. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Их классификация по поведению функции и ряду Лорана. Теоремы об устранимой особой точке и о полюсе. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса о существенно особой точке. Бесконечно удаленная точка как особая. | |||
| 9 | Вычеты и их приложения | 2 часа. Понятие вычета. Основная теорема теории вычетов. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов. Лемма Жордана. | 4 часа. Вычисление вычетов. Вычисление контурных и несобственных интегралов с помощью вычетов. | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. Приложения теории вычетов к физическим задачам. | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 2 часа. Вычисление интегралов с помщью леммы Жордана. | |||||
| 2 часа. Интегралы от многозначных ФКП. | |||||
| Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры. | | ||||
| 10 | Конформные Отображения и их приложения | 2 часа. Конформные отображения. Необходимое и достаточное условие конформности отображения. Основные принципы конформных отображений: принцип соответствия границ, теорема Римана (без доказательства). Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Дробно-линейная функция и ее свойства. Общий вид дробно-линейного отображения круга на себя и верхней полуплоскости на круг. Функция Жуковского и ее свойства. | 4 часа. Решение прямой и обратной задач конформного отображения. | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. Доказательство теоремы Римана. Визуализация конформных отображений на компьютере. | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 2 часа. Гармонические функции на плоскости, их связь с аналитическими функциями. Преобразование оператора Лапласа при конформном отображении. Применение конформных отображений в задачах электростатики. Задача Дирихле, применение конформных отображений для ее решения. Формулы Пуассона для круга и для верхней полуплоскости. Задача Робэна- определение плотности распределения заряда на идеально проводящем проводнике. | 4 часа. Применение аппарата конформных отображений к решению физических задач. | ||||
| 11 | Операционное исчисление. | 2 часа. Преобразование Лапласа и его свойства. Изображение элементарных функций. Свойства изображения. Теорема Меллина, формула обращения преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений. Изображение произведения. | 4 часа. Нахождение изображений и оригиналов Решение задач Коши для линейных обыкновенных дифферециальных уравнений операторным методом. Решение линейных интегральных уравнений.. | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Решение задач по теме семинарского занятия. Применение операционного исчисления в физике. Операционное исчисление в пакетах программ. | ДЗ, КР, Об, РС. |
| 12 | Метод перевала. | 2 часа. Формула Лапласа. Асимптотика гамма-функции. Формула Стирлинга. Метод перевала. | | 6 часов Работа с лекционным материалом. Самостоятельное доказательство заданных теорем. Построение асимптотик специальных функций математической физики. | Об |
9. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Обязательная дисциплина.
Базовая часть, общенаучный блок, модуль "Математика" .
Дисциплина «Теория функции комплексного переменного» базируется на курсах цикла дисциплин общенаучного блока,входящих в модуль "Математика"
Дисциплины, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины: «Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра».
Дисциплины, для которых освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее: дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, вариационное исчисление, методы математической физики, основы математического моделирования, численные методы в физике, теоретическая механика, электродинамика, квантовая теория.
Образовательные технологии
Курс имеет электронную версию для презентации. Лекции читаются с использованием современных мультимедийных возможностей и проекционного оборудования.
11. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации
Образцы контрольных вопросов:
Определение комплексного числа. Операции сложения, умножения.
Мнимая единица. Комплексное сопряжение. Алгебраическая форма записи комплексного числа.
Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая и показательная форма.
Свойства операций с комплексными числами. Деление.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Извлечение корней из комплексных чисел (примеры).
Последовательности комплексных чисел. Определение предела последовательности. Условия сходимости последовательности.
Критерий Коши сходимости последовательностей.
Расширенная комплексная плоскость. Бесконечно удаленная точка. Стереографическая проекция.
Определение функции комплексной переменной. Области, границы областей.
Функции комплексной переменной – однозначные, многозначные функции. Обратная функция. Однолистные функции.
Предел функции. Непрерывность в точке, условия непрерывности. Свойства непрерывных функций.
Элементарные функции и их свойства (на примере заданной функции)
Многозначные функции: ветви, точки ветвления.
Производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана.
Условия Коши-Римана : полярные координаты, условия для модуля и аргумента функции.
Аналитические функции. Определение, свойства.
Примеры производных элементарных функций.
Геометрический смысл производной функции комплексной переменной.
Определение и условия конформного отображения.
Конформные отображения: соотношения для площади и длины образа кривой.
Интеграл по комплексной переменной – определение, свойства. Примеры для элементарных функций.
Интегральная формула Коши. Теорема Коши (непрерывная производная). Следствия теоремы Коши.
Неопределенный интеграл. Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница для функций комплексной переменной.
Интеграл Коши
Следствия из интегральной формулы Коши.
Принцип максимума модуля аналитической функции.
Интегралы, зависящие от параметра.
Существование производных всех порядков у аналитической функции.
Ряды комплексных чисел. Условия сходимости. Признаки Коши, Д’аламбера.
Функциональные ряды. Равномерная сходимость, признак Вейерштрасса, критерий Коши.
Теоремы для равномерно сходящихся функциональных рядов.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
Ряд Тейлора. Теорема Тейлора. Примеры
Нули аналитической функции. Теорема единственности.
Аналитической продолжение: продолжение с действительной оси. Примеры продолжения элементарных функций.
Продолжения соотношений.
Ряд Лорана. Определение. Область сходимости.
Разложение аналитической функции в ряд Лорана.
Классификация изолированных особых точек.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса.
Классификация особых точек для бесконечно удаленной точки.
Вычеты: определение, свойства, формулы вычисления.
Основная теорема теории вычетов. Примеры. Вычет в бесконечно удаленной точке.
Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов
Интегралы от многозначных функций; вычисление с помощью вычетов.
Логарифмический вычет: определение, вычисление. Число нулей аналитической функции.
Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.
Преобразование Лапласа. Определение, свойства.
Преобразование Лапласа для элементарных функций.
Формула Меллина.
СПИСОК ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
1. Комплексные числа. Действия с комплексными числами. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Комплексное сопряжение. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Операции возведения в целую степень и извлечение корня, формулы Эйлера и Муавра. Некоторые множества точек на комплексной плоскости.
2. Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности комплексных чисел. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел. Критерий Коши. Понятие бесконечно удаленной точки. Расширенная комплексная плоскость.
3. Понятие функции комплексного переменного. Однозначные и однолистные отображения. Обратные функции. Элементарные функции комплексного переменного: линейная и дробно-линейная функция, экспонента и логарифм, степень с произвольным показателем, функция Жуковского; тригонометрические и гиперболические функции.
4. Предел функции комплексного переменного. Непрерывность и равномерная непрерывность.
5. Дифференцируемость по комплексному переменному. Условия Коши-Римана. Аналитические функции и их свойства. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Понятие конформного отображения.
6. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости, его свойства, связь с криволинейными интегралами, сведение к интегралу по действительной переменной, замена переменной.
7. Интегральная теорема Коши. Неопределенный интеграл, первообразная, формула Ньютона-Лейбница, интегральная формула Коши-Адамара.
8. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши. Формула среднего значения. Принцип максимума модуля аналитической функции.
9. Интеграл типа Коши и возможность его дифференцирования под знаком интеграла. Бесконечная дифференцируемость аналитических функций. Теорема Морера. Теорема Лиувилля.
10. Интегралы, зависящие от параметра.
11. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса о рядах аналитических функций.
12. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости. Ряд Тейлора. Теорема о представлении аналитической функции рядом Тейлора.
13. Правильные и особые точки функции. Нули аналитической функции. Теорема о нулях аналитической функции. Единственность определения аналитической функции. Множества задания аналитической функции.
14. Понятие аналитического продолжения. Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей. Теорема о наличии особой точки на границе круга сходимости степенного ряда для аналитической функции. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей. Аналитическое продолжение с действительной оси. Распространение на комплексную плоскость соотношений, справедливых на действительной оси. Понятие римановой поверхности и точки ветвления многозначных функций.
15. Ряд Лорана, область его сходимости. Разложение аналитической функции в ряд Лорана, единственность разложения.
16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Их классификация по поведению функции и ряду Лорана. Теоремы об устранимой особой точке и о полюсе. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса о существенно особой точке. Бесконечно удаленная точка как особая.
17. Понятие вычета. Основная теорема теории вычетов. Вычисление вычетов. Применение вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов. Лемма Жордана.
18. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Основная теорема высшей алгебры.
19. Конформные отображения. Необходимое и достаточное условие конформности отображения. Основные принципы конформных отображений: принцип соответствия границ, теорема Римана (без доказательства).
20. Конформные отображения, осуществляемые элементарными функциями. Дробно-линейная функция и ее свойства. Общий вид дробно-линейного отображения круга на себя и верхней полуплоскости на круг. Функция Жуковского и ее свойства.
21. Гармонические функции на плоскости, их связь с аналитическими функциями. Преобразование оператора Лапласа при конформном отображении. Применение конформных отображений в задачах электростатики. Задача Дирихле, применение конформных отображений для ее решения. Формулы Пуассона для круга и для верхней полуплоскости. Задача Робэна- определение плотности распределения заряда на идеально проводящем проводнике.
22. Преобразование Лапласа и его свойства. Изображение элементарных функций. Свойства изображения. Теорема Меллина, формула обращения преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений. Изображение произведения.
23. Метод перевала.
Образцы контрольных работ, полный перечень задач зачёта и вопросов к двухступенчатому экзамену, пример билета к первой части экзамена находятся в приложенных файлах. Вопросы теоретического минимума совпадают с вопросами первой части экзамена.
12. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
1. А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов. Теория функций комплексной переменной. М.: Физматлит, 2004.
2. Л.И.Волковыский, Г.Л.Лунц, И.Г.Араманович. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004..
3. А.В.Кравцов, А.Р.Майков. Пособие к курсу теории функций комплексной переменной. М.: Физический факультет МГУ, 2007.
4. М.Л.Краснов, А.И.Киселев, Г.И.Макаренко. Операционное исчисление. Теория устойчивости. Задачи и примеры с подробными решениями М.: Изд-во УРСС, 2003.
5. В.И. Иванов, В.Ю. Попов. Конформные отображения и их приложения. М. : УРСС, 2002.
Дополнительная литература
Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 480 с.
Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсголц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. М.:– «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1968. – 416 с.
Евграфов М.А., Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И.Сборник задач по теории аналитических функций. М.: – «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1972. – 416 с.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, часть 1,2. М.: –«Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1. М.: – Дрофа, 2003. – 704 с.;
Интернет-ресурсы
Сайт кафедры «Математика»: http://matematika.phys.msu.ru/stud_gen/7
http://eqworld.ipmnet.ru,
http://www.srcc.msu.su/num_anal/lib_na/libnal.htm
13. Материально-техническое обеспечение
В соответствии с требованиями п.5.3. образовательного стандарта МГУ по направлению подготовки «Физика». Занятия проводятся в лекционных аудиториях (519, СФА,ЦФА,ЮФА), оборудованными компьютерами и мультимедиа-проекторами и в аудиториях для ведения семинарский занятий (523–527, 544–553) на физическом факультете МГУ.
Стр. из
страница 1
скачать
Другие похожие работы: