Программа дициплины Теория вероятностей Лекторы

Рабочая программа дициплины

1. 
   Теория вероятностей
   
2. 
   Лекторы.
   
   1. 
      Докт. физ.-мат. наук, профессор Чуличков Алексей Иванович, кафедра компьютерных методов физики, e-mail: achulickov@gmail.com, телефон 903-570-7550.
      
   2. 
      Канд. физ.-мат. наук, доцент Сердобольская Мария Львовна, кафедра компьютерных методов физики, e-mail: [email protected], телефон 916-853-43-18.
      
3. 
   Рассматриваются основные математические методы описания неопределенности, прежде всего с помощью понятия случайности. Изучаются аксиоматические основы теории вероятностей, теория случайных величин, асимптотические теоремы (закон больших чисел и центральная предельная теорема), а также базовые математические модели случайных экспериментов – схема независимых испытаний и цепи Маркова. Рассматривается альтернативное теории вероятностей описание неопределенностей – теория возможностей. Курс состоит из теоретической (лекции) и практической (семинарские занятия) частей.
   
4. 
   Целями освоения дисциплины является ознакомление студентов с современными методами математического моделирования и исследования понятия неопределенности применительно к задачам анализа и интерпретации физического эксперимента.
   
5. 
   Задачи дисциплины: обучение навыкам создания и анализа математических моделей физических явлений и экспериментов на основе понятия случайности, формирование способности к самостоятельному решению сложных математических задач.
   
6. 
   Компетенции
   
   1. 
      Компетенции, необходимые для изучения дисциплины: ОНК-1, ОНК-6, СК-3
      
   2. 
      Компетенции, формируемые в результате изучения дисциплины:ОНК-1, СК-2, ПК-2, ПК-3
      
7. 
   В результате освоения студент должен:
   

знать основные положения и методы исследования в теории вероятностей, а также базовые понятия смежных дисциплин: теории случайных процессов, математической статистики, теории возможностей

уметь решать задачи и доказывать утверждения по теории вероятностей

владеть

иметь элементарный опыт использования прикладных пакетов по теории вероятностей и математической статистике

8. 
   Содержание и структура дисциплины.
   

Вид работы	Семестр 6	Всего
Общая трудоемкость, акад. часов	144	144
Аудиторная работа	68	68
Лекции, акад. часов	34	34
Семинары, акад, часов	34	34
Самостоятельная работа, акад. часов	76	76
Вид итогового контроля	зачёт, экзамен	зачёт, экзамен

№ раздела	Наименование раздела	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий			Форма текущего контроля
		Аудиторная работа		Самостоятельная работа
		Лекции	Семинары
1	Основания теории вероятностей.	2 часа Вероятность как модель описания неопределённости, частотная интерпретация вероятности. Понятие пространства элементарных исходов.	2 часа Задачи по классической и геометрической вероятностям.	4 часа Решение задач по классической и геометрической вероятностям	ДЗ
		2 часа Элементы теории множеств. Понятие предела последовательности множеств.	2 часа Задачи по операциям над множествами. Вычисление предела последовательности множеств.	4 часа Решение задач по теории множеств.	ДЗ, КР
		2 часа Алгебры и сигма-алгебры. Аксиоматика вероятности и простейшие следствия из аксиом.	2 часа Задачи по аксиоматике вероятности	4 часа Проработка лекционного материала: аксиоматика вероятности. Решение задач по аксиоматике вероятности.	ДЗ, КР
		2 часа Непрерывность вероятности. Понятие случайной величины. Свойства функции распределения. Типы распределений.	2 часа Задачи по аксиоматике вероятности. Вычисления распределения случайных величин.	4 часа Решение задач по аксиоматике вероятности. Вычисление распределений случайных величин.	ДЗ, КР
		2 часа Независимость событий и случайных величин. Условная вероятность и условное распределение.	2 часа Задачи на расчет условных вероятностей и условных распределений.	6 часов Решение задачи на расчет условных вероятностей и условных распределений. Проработка лекционного материала: базовые понятия теории случайных величин.	ДЗ, КР
		2 часа Схема независимых испытаний. Распределения Бернулли и Паскаля. Теорема Пуассона. Теоремы Муавра–Лапласа.	2 часа Задачи на расчет вероятностей в схеме Бернулли. Использование асимптотических теорем Пуассона и Муавра–Лапласа.	6 часов Решение задач на расчет вероятностей в схеме Бернулли и использование асимптотических теорем. Проработка лекционного материала: теоремы Пуассона и Муавра–Лапласа.	ДЗ, КР

№ раздела	Наименование раздела	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий			Форма текущего контроля
		Аудиторная работа		Самостоятельная работа
		Лекции	Семинары
2	Теория случайных величин. Асимптотические теоремы.	2 часа Функции от случайных величин. Моменты случайных величин.	2 часа Расчет распределений случайных величин, заданных как функции от других случайных величин.	4 часа Расчет распределений случайных величин, заданных как функции от других случайных величин.	ДЗ, КР
		2 часа Свойства моментов. Характеристические функции и их свойства.	2 часа Расчет моментов случайных величин.	4 часа Проработка лекционного материала: свойства моментов случайных величин. Расчет моментов случайных величин.	ДЗ, КР
		2 часа Типы сходимостей последовательностей случайных величин: по вероятности, по распределению. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.	2 часа Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы.	6 часов Проработка лекционного материала: асимптотические теоремы теории вероятностей. Решение задач на применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы.	ДЗ, КР
		2 часа Многомерное нормальное распределение и распределения, с ним связанные.	2 часа Задачи о случайных величинах, имеющих нормальное распределение.	4 часа Решение задач по свойствам нормального распределения. Проработка лекционного материала по нормальному распределению.	ДЗ, КР
		2 часа Задачи аппроксимации случайных величин по наблюдениям других случайных величин.	2 часа Расчет условных математических ожиданий.	4 часа Решение задач по расчету условных математических ожиданий.	ДЗ, КР
		2 часа Однородные цепи Маркова с конечным числом состояний.	2 часа Задачи по цепям Маркова.	4 часа Проработка лекционного материала и решение задач по цепям Маркова.	ДЗ, КР

№ раздела	Наименование раздела	Трудоёмкость (академических часов) и содержание занятий			Форма текущего контроля
		Аудиторная работа		Самостоятельная работа
		Лекции	Семинары
3	Элементы теорий, идейно связанных с теорией вероятностей.	2 часа Основы математической статистики. Выборочные характеристики случайных величин. Примеры точечных и интервальных оценок.	2 часа Расчет статистических характеристик выборки. Расчет точечных и интервальных оценок.	4 часа Нахождение статистических характеристик выборки.	ДЗ, КР
		2 часа Понятие о задачах проверки статистических гипотез. Критерий хи-квадрат.	2 часа Решение задач проверки статистических гипотез	4 часа Проработка лекционного материала: основы математической статистики. Проверка гипотез с помощью критерия хи-квадрат.	ДЗ, КР
		2 часа Основы теории случайных процессов. Процессы Пуассона и Винера. Марковские случайные процессы.	2 часа Расчет простейших характеристик случайных процессов.	4 часа Проработка лекционного материала по теории случайных процессов. Расчет многомерных функций распределения и моментов случайных процессов.	ДЗ, КР
		2 часа Элементы теории возможностей.	2 часа Упражнения по теории возможностей.	4 часа Решение задач по основам теории возможностей.	ДЗ, Об.
		2 часа Стохастические модели возможности.	2 часа Построение возможностных моделей, согласованных с вероятностными моделями.	6 часов Расчет возможностей, максимально согласованных с вероятностью. Проработка лекционного материала: основы теории возможностей.	ДЗ, КР

9. 
   Место дисциплины в структуре ООП ВПО.
   
   1. 
      Обязательная дисциплина
      
   2. 
      Базовая часть
      
   3. 
      Завершающая часть модуля «Математика»
      
      1. 
         Дисциплины, которые должны быть освоены для начала освоения данной дисциплины: «Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра».
         
      2. 
         Дисциплины, для которых освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее: «Математическая статистика», «Теория случайных процессов», «Термодинамика и статистическая физика», «Квантовая механика».
         
10. 
    Образовательные технологии: применение компьютерных симуляторов
    
11. 
    Оценочные средства для текущего контроля в промежуточной аттестации.
    

Образцы контрольных вопросов: дать определение следующих понятий.

1. 
   Случайное событие.
   
2. 
   Операции над событиями (объединение, пересечение, дополнение). Формулы де
   
3. 
   Моргана (двойственности).
   
4. 
   Алгебра событий.
   
5. 
   Сигма-алгебра событий.
   
6. 
   Борелевская алгебра подмножеств действительной прямой.
   
7. 
   Аксиомы вероятностного пространства.
   
8. 
   Аддитивность вероятности.
   
9. 
   Счетная (сигма-) аддитивность вероятности.
   
10. 
    Верхний, нижний пределы последовательности событий. Предел последовательности событий.
    
11. 
    Условная вероятность как вероятностное пространство.
    
12. 
    Независимость событий
    
13. 
    Последовательность независимых испытаний как вероятностное пространство.
    
14. 
    Случайная величина.
    
15. 
    Функция распределения случайной величины.
    
16. 
    Плотность распределения случайной величины, распределенной абсолютно
    
17. 
    непрерывно.
    
18. 
    Случайный вектор (n-мерная случайная величина).
    
19. 
    Функция условного распределения случайной величины.
    
20. 
    Независимость случайных величин: попарная и в совокупности.
    
21. 
    Математическое ожидание случайной величины.
    
22. 
    Дисперсия случайной величины.
    
23. 
    Коэффициент ковариации (ковариация) случайных величин.
    
24. 
    Коэффициент корреляции (корреляция) случайных величин
    
25. 
    Характеристическая функция случайной величины.
    
26. 
    Сходимость последовательности случайных величин
    
27. 
    по вероятности, по распределению, в среднем квадратичном.
    
28. 
    Биномиальное распределение (распределение Бернулли) .
    
29. 
    Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля).
    
30. 
    Распределение Пуассона.
    
31. 
    Равномерное распределение на отрезке [a,b].
    
32. 
    Нормальное распределение.
    
33. 
    Случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат (Пирсона) с n степенями свободы (без формулы плотности распределения).
    
34. 
    Случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с n степенями свободы (без формулы плотности распределения).
    
35. 
    Однородная цепь Маркова с конечным числом состояний как последовательность случайных величин.
    
36. 
    Матрица перехода цепи Маркова за один шаг и за n шагов.
    
37. 
    Несмещённость точечной оценки
    
38. 
    Состоятельность точечной оценки.
    
39. 
    Случайный процесс.
    
40. 
    Многомерные функции распределения случайного процесса.
    
41. 
    Ковариационная функция случайного процесса.
    

СПИСОК ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ

1. 
   Понятие случайного события. Алгебры и сигма-алгебры событий. Примеры и свойства алгебр и сигма-алгебр.
   
2. 
   Понятие предела последовательности событий. Сходимость монотонных последовательностей событий.
   
3. 
   Аксиомы вероятности и простейшие следствия из них.
   
4. 
   Теорема о непрерывности вероятности для монотонных и произвольных последовательностей событий.
   
5. 
   Пространство условной вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса.
   
6. 
   Вероятностное пространство биномиальной схемы независимых испытаний.
   
7. 
   Биномиальное распределение (распределение Бернулли). Отрицательное биномиальное распределение (распределение Паскаля).
   
8. 
   Биномиальное распределение (распределение Бернулли). Теорема Пуассона.
   
9. 
   Определение случайной величины. Свойства функции распределения. Плотность распределения и ее свойства.
   
10. 
    Независимость событий: попарная и в совокупности. Свойства независимых событий.
    
11. 
    Независимость случайных величин: попарная и в совокупности. Функции от независимых случайных величин. Свойства моментов суммы и произведения независимых случайных величин.
    
12. 
    Математическое ожидание случайной величины и случайного вектора. Свойства
    
13. 
    математического ожидания. Характеристические функции и их свойства
    
14. 
    Дисперсия случайной величины и матрица ковариаций случайного вектора. Свойства дисперсии. Неравенство Коши--Буняковского.
    
15. 
    Условные распределения и условные плотности распределения. Формулы полной вероятности и формулы Байеса для условных плотностей. Условное математическое ожидание.
    
16. 
    Неравенство Чебышева. Типы сходимостей последовательностей случайных величин.
    
17. 
    Закон больших чисел в форме Чебышева. Теорема Бернулли.
    
18. 
    Типы сходимостей последовательностей случайных величин. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра--Лапласа.
    
19. 
    Однородные цепи Маркова с конечным числом состояний. Свойства матриц перехода.
    
20. 
    Однородные цепи Маркова с конечным числом состояний. Финальные вероятности. Теорема о существовании финального распределения. Эргодичность цепи Маркова.
    
21. 
    Задачи наилучшего в среднем квадратичном смысле оценивания (приближения) случайных величин. Линейное оценивание. Условное математическое ожидание как неулучшаемая оценка.
    
22. 
    Постановка задачи точечного оценивания параметров распределений. Несмещённость и состоятельность оценок. Оценка максимального правдоподобия.
    
23. 
    Задачи интервального оценивания. Оценивание параметров нормального распределения.
    
24. 
    Понятие о задачах проверки статистических гипотез. Критерий хи-квадрат.
    
25. 
    Основные понятия теории случайных процессов: многомерные функции распределения, математическое ожидание и ковариационная функция случайного процесса. Процессы Пуассона и Винера.
    

Образцы контрольных работ, полный перечень задач зачёта и вопросы теоретического минимума находятся в приложенных файлах.

12. 
    Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
    

Ю.П. Пытьев, И.А. Шишмарёв, Теория вероятностей, математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков. — М.: Физический ф-т МГУ им. М.В. Ломоносова, 2010 г.

Дополнительная литература.

1. 
   Б.В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005 г.
   
2. 
   Ю.П. Пытьев, Возможность как альтернатива вероятности. Математические и эмпирические основы, применение. — М.: Физматлит, 2007 г.
   
3. 
   В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — М.: Мир, 1984 г.
   
4. 
   А.В. Ширяев, Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004 г.
   

Интернет-ресурсы: материалы по теории вероятностей на сайте кафедры компьютерных методов физики. — http://cmp.phys.msu.ru/jt/ru/probability.

13. 
    Материально-техническое обеспечение: занятия проводятся в лекционных аудиториях (519, СФА,ЦФА) и аудиториях для ведения семинарский занятий (523–527, 544–553) на физическом факультете МГУ.