А. А. Самарский Об однородных разностных схемах в статье [1] была поставлена задача

^{Доклады Академии наук СССР. Том 122, № 4, 1958}

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

Об однородных разностных схемах

В статье [1] была поставлена задача об отыскании разностных схем, пригодных для единообразного решения дифференциальных уравнений в возможно более широком классе коэффициентов. Настоящая работа яв­ляется дальнейшим развитием работы [1].

§ 1. Рассмотрим уравнение

, (1)

где L - некоторый линейный дифференциальный оператор.

Пусть- разностная сетка;

(2)

разностное уравнение, соответствующее уравнению (1).

Линейный разностный оператор определяется при помощи матрицы коэффициентов системы линейных уравнений (2), являющихся функция­ми шага разностной сетки . Для получения разностных уравнений (2), кроме того, необходимо задать функционалы , определенные в некотором классе , и граничные условия.

§ 2. Рассмотрим класс уравнений

. (3)

Функции назовем коэффициентами уравнения (3).

Класс дифференциальных уравнений (3) будет определен, если фикси­рован тип оператора L и указан класс, к которому принадлежат коэффициенты .

Пусть обозначает класс разностных операторов , элементы матри­цы которых являются функционалами, определенными в рассматривае­мом классе коэффициентов и зависящими от параметра h. Такую матрицу-функционал = будем называть разностной схемой.

§ 3. Введем необходимые для дальнейшего определения :

1. 
   Назовем класс функций , имеющих m-ю производную, удовлетворяющую на отрезке [0,1] условию Гельдера порядка .Если m-я производная непрерывна, то соответствующий класс функций будем обозначать . В частности, есть класс непрерывных функ­ций.
   

2. Будем говорить, что принадлежит классу , если и ее m производных кусочно-непрерывны на (0,1). Если, кроме того, m-я производная в каждом из интервалов непрерывности удовлетворяет усло­вию Гельдера порядка , то соответствующий класс назовем . В част­ности, - класс кусочно-непрерывных функций.

3. Пусть есть некоторое решение уравнения ; -соответствующее решение уравнения - функция, равная при и линейная между соседними узловыми точками сетки. Будем говорить, что разностный оператор сходится к дифференциальному оператору L, если функция равномерно стре­мится к нулю при и произвольной функции из некоторого клас­са, т. е.

, где при .

Если = или , где M - положительная постоянная, зависящая от выбора функции , то будем говорить, что имеет n-й (интегральный) порядок точности относительно L.

4. Разностный оператор имеет n-й порядок аппроксимации относи­тельно оператора L, если найдется такое m, что для любой функции из класса при всех значениях N и во всех точках разностной сетки будем иметь

,

где М - положительная постоянная, зависящая от выбора . Аналогично можно говорить о порядке аппроксимации на некотором отрезке [a,b] [0,1] .

5. Если при любом выборе коэффициентов из заданного функ­ционального класса разностная схема дает разностный оператор , схо­дящийся к оператору L , который соответствует выбранным коэффициентам , то разностную схему будем называть сходящейся в данном классе коэффициентов. Аналогично будем говорить, что разностная схема имеет n-й интегральный порядок точности (или n-й порядок аппрокси­мации) в данном классе коэффициентов, если для любых функций из этого класса разностный оператор имеет n-й интегральный порядок точности (n-й порядок аппроксимации).

6. Разностные схемы и эквивалентны в смысле сходимости в некотором классе коэффициентов , если для любых функций из этого класса разность равномерно стремится к нулю при .

Если ( или - ) при лю­бой функции из данного класса, то разностные схемы и имеют n-й интегральный ( или локальный) порядок эквивалентности.

Очевидно, что:

Если иимеют n-й порядок точности, то они имеют n-й ин­тегральный порядок эквивалентности.

Если иимеют n-й интегральный ( или локальный) порядок экви­валентности и имеет n-й порядок точности ( или n-й порядок аппрокси­мации), то и обладает тем же свойством.

7. Будем называть разностную схему

=

симметричной схемой, если разностный оператор остается неизменным при изменении направления оси x. Условия симметрии имеют вид:

1) ;

2) .

8. Разностная схема называется однородной схемой, если элементы матрицы во всех точках i определяются единообразно для всех функций , т. е. являются функционалами вида

.

Если однородная схема симметрична, то

1) ;

2) .

§ 4. Рассмотрим на отрезке первую краевую задачу для класса уравнений

. (4)

Пусть

(5)

трехточечная однородная разностная схема, коэффициенты которой



где - суть функционалы от функции , за­данной для .

Для того чтобы разностная схема имела в классе k-й порядок аппроксимации, необходимо и достаточно, чтобы вы­полнялись условия

(6)

(7)

Лемма 1. Если разностная схема (5) имеет k-й порядок аппрокси­мации, то и схема

(8)

обладает тем же свойством.

§ 5. Однородную разностную схему (8) будем называть p- линейной (или просто линейной), если: 1) являются линейными ре­гулярными функционалами [2]; 2) при имеет место представ­ление

(9)

где ; - постоянная, зависящая от выбора , причем все коэффициенты при степенях являются линейными регулярны­ми функционалами.

Линейная разностная схема

(10)

называется канонической, если функционалы не зави­сят от h.

Лемма 2. Если линейная разностная схема вида (8) имеет k-й порядок аппроксимации ( k=1,2) , то и соответствующая ей каноническая схема, у которой , также имеет k-й порядок аппрокси­мации.

Отметим, что для схемы первого порядка аппроксимации должны выполняться условия



а для схемы второго порядка аппроксимации - условия

.

Лемма 3. Если каноническая схема первого порядка аппроксимации симметрична, то она имеет второй порядок аппроксимации.

§ 6. Требование определенности в означает, что ни в одной точке разностной сетки для любой функции . Эти условия будут выполнены, если функционалы A и B являются положи­тельными (при ) (см. [2] ).

Если каноническая схема симметрична и функционалы положительны, то такая разностная схема называется нормальной. В дальнейшем мы будем рассматривать нормальные схемы.

Связь между порядком аппроксимации и порядком точности устанав­ливает следующая теорема:

Теорема. Сходимость нормальной разностной схемы в смысле ап­проксимации необходима и достаточна для интегральной сходимости, точнее:

1) Если нормальная схема сходится в , то она имеет первый порядок аппроксимации в и, в силу симметрии, второй порядок аппроксимации для .

2) Если нормальная схема имеет второй порядок аппроксимации в , то она сходится в , имеет первый порядок точности в и второй порядок точности в .

Вопросы о сходимости и порядке точности нормальных разностных схем в классе будут рассмотрены отдельно.
Литература

1. 
   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 108, №3, 1956.
   
2. 
   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 122, № 2, 1958.