А. Н. Тихонов, А. А. Самарский о коэффициенто-устойчивости разностных схем

^{Доклады Академии наук СССР 1960. Том 131, № 6}

А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

О коэффициенто-устойчивости разностных схем

Рассматривается вопрос об устойчивости решения разностных краевых задач относительно коэффициентов разностных схем (о ко-устойчивости). Показано, что необходимым и достаточным условием ко-устойчивости канонической схемы является ее консервативность.
п. 1. Рассмотрим на отрезке класс краевых задач

(1)

Коэффициенты уравнения принадлежат классу кусочно-непрерывных функций и удовлетворяют условиям:

, (2)

где и - положительные постоянные.

Пусть = { } - равномер­ная разностная сетка с шагом , а - однородная трехточечная разностная схема, соответствующая оператору

; (3)



Функционалы , , и удовлетворяют условиям работы [1], т. е. мы рассматриваем тот же исходный класс разностных схем, что и в работе [1]. При этом предполагается, что и - линейные функционалы.
п. 2. Если , то разностный оператор называется консервативным. Консервативный оператор можно записать в самосопряженной форме

,

где (3)

Заметим, что разностная схема (3) может быть консерватизирована путем умножения на множитель

. (4)

В результате получим консервативную, вообще говоря, неоднородную

схему.
п. 3. Разностная функция Грина определяется условиями

(5)

Решение краевой задачи

(6)

дается формулой

. (7)

Функция Грина удовлетворяет следующему условию «симметрии» , где дается формулой (4). Для консервативного оператора , и мы получаем условие симметрии .
Лемма 1. Если коэффициенты из класса удовлетворяют условиям (2) , а - исходная, разностная схема вида (3), то разностная функция Грина , определяемая условиями (5), и ее первые разностные отношения



ограничены по абсолютной величине постоянной, зависящей только от ,.
п. 4. При решении разностных краевых задач может оказаться, что коэффициенты разностных уравнений по тем или иным причинам опреде­ляются неточно. Однако желательно, чтобы при малом искажении коэф­фициентов решение задачи менялось мало.

Пусть и - решения разностных краевых задач

(8)

. (9)

При этом коэффициенты уравнения искажаются либо за счет искажения коэффициентов дифференциального уравнения, либо за счет неточности вычисления функционалов , , и , либо, наконец, в результате обеих указанных причин.

Будем говорить, что разностная схема (3) удовлетворяет принципу ко-устойчивости, если из условий

(10)

где при , следует сходимость решения , разностной краевой задачи (9) к решению задачи (1), т. е.

при . (11)

Отсюда, в частности, следует, что для ко-устойчивой схемы



где при .

Если в условиях (10) и (11) заменить

, (12)

то мы получим принцип ко-устойчивости n-го ранга.
п. 5. Формулируем необходимое условие ко-устойчивости.

Пусть имеет разрыв в точке , , так что . Введем функцию , совпадающую с всюду, кроме интервалов и . Тогда для ко-устойчивости схемы вида (3) необходимо выполнение условия

при . (13)

Нетрудно заметить, что необходимое условие сходимости в классе разрывных коэффициентов, полученное ранее в работах [3,4], является следствием необходимого условия ко-устойчивости (13) (при ).
п. 6. Лемма 2. Любая консервативная схема из исходного семейства схем удовлетворяет необходимому условию ко-устойчивости (13).
Лемма 3. Пусть, - решения краевых задач



где - консервативные разностные операторы вида (3), коэффициенты которых удовлетворяют условиям

. (2)

Тогда имеет место неравенство

(14)

где С - постоянная, зависящая только от и.
Аналогичная лемма имеет место для задачи (1).

Выбирая в качестве точную схему (см. [2]), а в качестве - консервативную схему из исходного семейства схем и опираясь на лемму 3, нетрудно доказать теорему (ср. с [1]).
Теорема 1. Если консервативная схема из исходного семейства имеет в некотором классе n-й интегральный порядок точности, то она имеет этот же n-й порядок точности для коэффициентов из класса^*, т. е. для .

п. 7. Рассмотрим теперь каноническую схему (см. [1])

, (15)

функционалы которой не зависят от h₃, и потребуем, чтобы она удовлетворяла необходимому условию (13).
Теорема 2. Если каноническая разностная схема (15) из исходного семейства схем удовлетворяет необходимому условию ко-устойчивости (13), то она консервативна, т. е. или .
Опираясь на теорему 2 и леммы 2 и 3, можно убедиться в том, что:
Теорема 3. Любая однородная консервативная схема из исходного семейства схем удовлетворяет принципу ко-устойчивости.
В результате приходим к следующей основной теореме.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием ко-устойчивости канонической схемы является ее консервативность.
Теорема 5. Любая консервативная схема имеет 1-й интег­ральный порядок точности в классе^*.
п. 8. Потребуем теперь, чтобы разностная схема удовлетворяла необходимым условиям ко-устойчивости 2-го ранга.
Теорема 6. Существует единственная каноническая схема («наилуч­шая консервативная схема»), имеющая 2-й интегральный порядок точности в и удовлетворяющая принципу ко-устойчивости 2-го ранга; эта схема консервативна и определяется при помощи функционалов

. (16)

Заметим, что при доказательстве этой теоремы используется, в частности, лемма 1.
п. 9. Заменяя интеграл, определяющий в формуле (16), схемой по какой-нибудь квадратурной формуле, мы получим вместо наилучшей канонической схемы неканоническую схему

, где ,

.

Теорема 7. Для того чтобы, определенная выше неканоническая схема имела второй интегральный порядок точности в классе , необходимо и достаточно, чтобы при ().

Аналогичная теорема имеет место и для схемы , функционалы и которой вычисляются по аналогии с функционалом .
п. 10. В работе [1] мы рассматриваем асимптотическое разложение для решения разностной краевой задачи в случае непрерывных коэффициен­тов. Если и - функции из класса , а - наилуч­шая каноническая схема, то решение задачи (8) можно представить в виде

,

где и представляет собой функцию, не имеющую предела при . Отсюда следует, что в случае разрывных коэффициентов реше­ние разностной краевой задачи (8) не имеет при асимптотики 2-го порядка.

Литература

1. 
   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 131, №4, 1960.
   
2. 
   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 131, №3, 1960.
   
3. 
   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 108, №3, 1956.
   
4. 
   А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, ДАН, т. 122, №4, 1959.