А. Н. Тихонов, А. А. Самарский о сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов

^{Доклады Академии наук СССР 1959. Том 124, № 3}

А.Н. Тихонов, А.А. Самарский
О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов
Многие разностные схемы, применяемые для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и сходящиеся в классе гладких коэффициентов, являются расходящимися в случае разрывных коэффициен­тов. Цель настоящей статьи - установить необходимые условия сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов для уравнения

, (1)

а также дать общую характеристику класса нормальных [1] схем, удовле­творяющих необходимому условию сходимости.
п.1. Рассмотрим класс дифференциальных операторов , определен­ных на интервале , и соответствующую нормальную разностную схему (см. [1]) , определенную на равномерной разностной сетке

:

, (2)

где при ; А и В - нормальные, т. е. линейные регулярные, положительные и не завися­щие от h функционалы, удовлетворяющие условию взаимной симметрии [2].

п. 2. Будем называть квазиконсервативной разностной схемой, если или в классе. Если А и В - линейные регулярные функционалы, то условие квазиконсервативности означает, что: 1) функционал определен для функций , заданных на интервале , а - на интер­вале ; 2) в классе разрывных коэффициентов , где - нуль-функционал (см. [2]).

Если условие выполняется и в классе , то разностную схему мы будем называть консервативной схемой. В этом случае для , и разностный оператор можно представить в виде

.
п. 3. Перейдем к изучению вопроса о сходимости в нормальной разностной схемы (2), имеющей 2-й порядок точности в (). Предположим, что имеет разрыв 1-го рода в точке , причем , где - узловая точка разностной сетки (). Очевидно, что .

Вычислим погрешность схемы в окрестности точки . Если (), то погрешность аппроксимации

,

где - решение дифференциального уравнения (1).

Для и получаем выражения

(3)

(4)
где .

Если , то при К - положительная постоян­ная, зависящая от выбора функции .
п. 4. Рассмотрим отрезок , целиком лежащий внутри отрезка [0,1] и содержащий фиксированную точку . Точка при­надлежит некоторому интервалу сетки , так что . Рассмот­рим разностное уравнение

(*)

и предположим, что коэффициенты и правая часть удовлетворяют условиям:


I. Существуют такие m>0 и M>0, что .

II. Существует такое b>0, чтопри ;при;.

III. , где при , если и .

Пусть - решение уравнения (*), а – полигональная функция.

Лемма 1. Если, для уравнения (*) выполнены условия I, II, III и су­ществует некоторая последовательность решений уравнения (*), равномерно сходящаяся к нулю при , то выполняется условие

при . (5)

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1 и, кроме того: 1) или при , 2) на некоторой последовательности сеток , то выполняются условия

. (6)

п. 5. Обозначая решение дифференциального уравнения , а - решение уравнения , где F – нормальный симметричный функционал, удовлетво­ряющий условию нормировки F[1]=1, получим для разности уравнение

.

Пусть - нормальная схема 2-го порядка аппроксимации; . Если - точка разрыва и то при (условие III). Нетрудно убедиться в том, что условия II и III из п. 4 также выполнены. Подставляя в формулу (5) выражения (3) и (4) для и и учитывая, что , получим необходимое условие сходимости однород­ной разностной схемы в классе кусочно-непрерывных и кусочно-гладких коэффициентов . Это условие имеет вид:

при. ()

Аналогично, подставляя в (6) выражения (3) и (4) для и полу­чим, в силу леммы 2, необходимые условия 2-го интегрального порядка точности схемы в :

.

п. 6. Пусть - нормальная, сходящаяся в схема. Представим в виде суммы , гдe при ; при , а функция непрерывна, причем , . Поэтому , и, следовательно, , где

.

Пользуясь функцией при , при , можно написать . Тогда будем иметь , где , - характеристические функции регулярных линейных функцио­налов А и В [2].

Аналогично находим

,.

Необходимое условие сходимости () можно записать в виде
. ()
Нашей задачей является предельный переход при () в условии (). При этом необходимо сначала рассмотреть возможные пределы функции , когда , пробегая какую-либо последовательность возрастающих чисел .

В дальнейшем мы будем опираться на следующую теорему П. Л. Чебышева [4]:

Если a - количество несоизмеримое, то найдется бесконечное множество таких целых чисел x,y , при которых выражение будет раз­ниться с каким-либо данным количеством b менее, чем на 2/x. Одни из этих величин x,y будут давать > b, другие

Из теоремы Чебышева следует, что для иррационального и любого : 1) существует бесконечная последовательность таких сеток с шагом , что , т. е. справа; 2) существует бесконечная последовательность таких с шагом , что слева при .

Отметим, что: а) если - рациональное число, то найдется такое , что равенство имеет место для бесконечного множества раз­ностных сеток ; б) если - иррациональное число, то, каково бы ни было , равенство возможно не болeе, чем для одного значения N, т. е. не более, чем для одной разностной сетки.
п. 7. Потребуем теперь, чтобы наша нормальная схема удовлетво­ряла необходимому условию () в . Выбирая произвольное и совершая предельный переход по последовательности сеток (или ) при , а также учитывая симметрию схемы, условия нормировки и положительность функционалов A и B, получим: 1) при ; при ; 2) в точках непрерывности и

Отсюда следует, что условию сходимости () удовлетворяет только

квазиконсервативная схема , где - нуль-функционал. В силу значения б) п. 6 суммирование проводится только по иррациональным особым точкам функцио­нала .
Лемма 3. На любой последовательности разностных сеток

при .

Отсюда следует, что найденной нами схеме эквивалентна консервативная схема, для которой при всех . Учитывая усло­вие симметрии, найдем , где - произвольная нечетная функция ограниченной вариации: , удовлетво­ряющая условию нормировки .
п. 8. Рассматривая сходимость для однородного уравнения и пользуясь следующим определением сходимости: разностная схема сходится к дифференциальному оператору в заданном классе коэффициентов (), если для любого решения уравнения с коэффициентами из заданного класса найдется такое решение разностного уравнения , что на любой последовательности сеток полигональная функция равномерно сходится к при , т. е. , можно формулировать теоремы:
Теорема 1. Если нормальная разностная схема сходится в , то она квазиконсервативна.

Теорема 2. Для всякой сходящейся в квазиконсервативной нормальной схемы существует эквивалентная ей в смысле сходимости консервативная схема

.
Математический институт им. В. А. Стеклова Поступило

Академии наук СССР 13.Х.1958

Литература

1. 
   А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, ДАН, 122, №4, 1958.
   
2. 
   А.Н. Ти­хонов, А. А. Самарский, ДАН, 122, №2, 1958.
   
3. 
   А. Н. Тихонов, А А. С а м а р с к и й, ДАН , 108, № 3, 1956.
   
4. 
   Л. Л. Чебышев, Полн. собр. соч., 1, М.-Л., 1944, стр. 271.